土地平整问题
摘要
我国疆域辽阔，地形多种多样，为了更好的发展山区城市的经济，土地平整问题显得格外重要，有重要的工程意义。本文主要运用MATLAB 2014a软件进行编程及调试运算，对最值的求解采用枚举法，来确定连片土地的位置。
针对问题一，我们利用MATLAB 2014a直接调用函数surf和contour进行作图，可以分别得到土地的三维图形和三维、二维等高线图。
针对问题二，由于在平整土地的过程中，凸出的部分要挖土，凹陷的部分要填土，所以需要分别考虑挖土的体积和填土的体积，根据问题一的图形，我们采用二重积分思想，对山地进行分割、求和、取极限，将山地分割成无数个矩形柱体，来近似代替山体体积。我们通过编写程序，在给出的1500×100山地中进行枚举，计算出每一位置挖土体积和填土体积，取其最小值，并求出最小值对应的海拔高度，即为连片土地的海拔高度。
针对问题三，类比于问题二，采用相同的方法，在不同海拔高度上进行平整，已满足二层的台阶状地块的要求，达到挖填土石方量最小的目标。
关键字：MATLAB 2014a，枚举法，二重积分思想
目录
一问题的复述 ......................................................................................... 3 二问题分析 ............................................................................................. 3 三问题的假设及说明.............................................................................. 4 四符号说明 ............................................................................................. 4 五模型的建立及求解.............................................................................. 5 5.2问题二模型的建立 ..................................................................... 7 5.3问题三模型的建立 ................................................................... 12 六结果的分析及假设检验 .................................................................... 13 七模型的推广（结论及建议） ............................................................ 13 八参考文献 ........................................................................................... 13 九附录 ................................................................................................... 13
一 问题的复述
十堰市是一个山区城市，向山要地是十堰市发展的一个必然的选择，但是如何在一片山地之中选择合适的方位与开挖深度，从而使总的土石方量最小，就是一个有意义的命题了！
某工厂为了在一片长度为1500米，宽度为1000米的山地之中，开挖出一个800米×600米平坦连续的长方形地块作为工厂的厂房地基，前期已经在本块土地上测量出长、宽每隔30米的网格的对应网格点的海拔高度（详细数据见附件（1））。
问题：
①用附件（1）中的数据画出工厂的这片土地的三维图形与等高线图； ②从什么地方，什么海拔高度平整一块800米×600米的连片土地能使总的土石方量最小？
③如果允许平整出来的土地为二层的台阶状地块，要求各地块的长、宽不少于60米，又将从什么地方、什么海拔高度分别开挖，能使总的土石方量最小？
提示：在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的，假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3。
二 问题分析
2.1问题一
对于问题一，我们利用MATLAB 2014a的绘图函数进行作图，可以分别得到土地的三维图形和三维、二维等高线图。 2.2问题二
对于问题二，要求求出在山地中使得土石方量最小的800×600的一片土地。我们知道，在平整土地的过程中，凸出的部分要挖土，凹陷的部分要填土。采用二重积分，分割、求和、取极限的思想，将山地分割成无数个矩形柱体，来近似代替山体体积。我们通过编写程序，在给出的1500×100山地中进行枚举，计算
出每一位置挖土体积和填土体积，取其最小值，并求出最小值对应的海拔高度，即为连片土地的海拔高度。
2.3问题三
对于问题三，类比问题二，采用相同的方法，在不同海拔高度上进行平整。
三问题的假设及说明
1.在平整土地的过程中，有些地方是要挖山的，但有些地方是要填土的，假设填土的每立方米所需的费用为挖山的每立方米土石方所需费用的1/3。
2.假设在挖土和填土的过程中，由于登高等情况产生的费用与连片土地所处的位置无关，即只需考虑挖土与填土的费用。
3.由于是建设工厂，我们只考虑所需要的连片土地平行于东西方向和南北方向两种情况。
四 符号说明
五 模型的建立及求解
5.1问题一的求解
1.针对问题一，利用MATLAB 2014a软件的调用surf函数和contour函数，得到这片土地的三维图形如图1 山地三维图形 所示。
图1 山地三维图形
2.土地的三维等高线、二维等高线，分别如图2 三维等高线图、图3 二维等高线图 所示。（绘图过程详见附录一）
图2 三维等高线图
图3 二维等高线图
5.2问题二模型的建立
.1 平整块海拔高度的确定
根据土石方量费用最小的原则，确定平整土地海拔的开挖高度。把平整块对应的地面区域记为D，D是一个800m×600m的矩形区域。设顶部海拔高度为一个非负连续函数