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柯西—黎曼方程的补充证明
作者：刘英伟
来源：《教育教学论坛》2016年第10期
摘要：从更一般的意义上说那推导了柯西-黎曼方程，得到了和书中同样的结论，但由于采用任意路径逼近z■，因此更有普遍意义和说服力.
关键词：柯西-黎曼；方程；补充证明
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）10-0196-02
一、前言
柯西-黎曼方程是复变函数中的重要方程，它揭示了一个复变函数连续的充要条件，即复函数的实部和虚部函数必须是有关联的，而不是各自独立的. 假设
f（z ）=u（x ，y ）+iv（x ，y ） （1）
是定义在复平面上的复函数，则这一关联用数学语言描述如下.
■=■，■=-■ （2）
这一结论的简单推导如下：
在复平面上取一点z■=x■+iy■，若f （z ）在z■可导，则有：f ′（z■）=■■ （3） 其中：Δz=z■-z=（x■-x ）+i（y■-y ）=Δx+iΔy （4）
f（z■+Δz）-f （z■）=[u（x■+x，y■+y）+iv（x■+x，y■+y）]-[u（x■，y■）+iv（x■，y■）]
=[u（x■+x，y■+y）-u （x■，y■）]+i[v（x■+x，y■+y）-iv （x■，y■）]
=Δu+iΔv （5）
将式（4）、（5）代入（3）得到：
f ′（z■）=■■ （6）
当Δz→0时有Δx→0Δy→0.此时Δx→0Δy→0表示同时趋于零. 一般教材上[1-3]选择Δz→0的方式有两种：Δy=0，Δx→0和Δx=0，Δy→0，即分别沿x 轴和y 轴.