2.3平面向量的基本定理及其坐标表示(1)

2.3.1平面向量的基本定理

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

编写人：任民扬

一、 学习目标

1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.

2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.

二、学习内容

1. 知识点梳理

(1) 平面向量的基本定理：如果向量e1,e2为同一平面内的两个不共线的向量，那么对于

这个平面内的任意向量a有且只有一对实数1,2使a1e1e

(2) 基底：把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所以向量的一组基底.

(3) 已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则角AOB(0180)

叫做向量a和b的夹角.

(4) 正交分解：把一个向量分解成两个相互垂直的向量，叫做把向量正交分解.

(5) 向量的坐标表示：平面内任意向量a都可以由x，y唯一确定，把有序实数对(x,y)叫

做向量a的坐标表示. 

2. 重点难点点拨

重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示.

难点:平面向量基本定理的运用.

3. 针对性训练

第1题 图

41AB,=AB,用OA、OB表示OP,则OP等于( ) 331414A.OA+OB B.OA+OB 33331414C.- D.- 33331.如图所示,已知AP=

2.已知e1,e2是两非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若c=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则|c|的最大值为( )

A.λ1m+λ2n B.λ1n+λ2m C.|λ1|m+|λ2|n D.|λ1|n+|λ2|m

3.已知G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心,且A1A1=e1,B1B2=e2,C1C2=e3,则C1C2等于( ) A.1121(e1+e2+e3) B.(e1+e2+e3) C.(e1+e2+e3) D.(e1+e2+e3) 2333

4.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(,λ∈［0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的( ) |AB|A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

5. 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

6.如图,ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=1BC,以a,b为基底分3

解向量AM和

HF.

第6题 图

7. i,j是两个不共线的向量,已知=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.

8.设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.

9.已知G为△ABC的重心,设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG.

10.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.

11设e1,e2是平面内不共线的非零向量，且a=e1-2e2,b=e1+3e2

(1) 证明：a,b可以作为一组基底

(2) 用a,b分解向量c=3e1-2e2

(3) 若4e1-3e2=λa-μb，求实数,的值

12.过△OAB的重心G的直线与边OA、OB分别交于P、Q,设OP=hOA,OQkOB,试证:

113 hk

4.拓展提升训练

13. 如图7,M是△ABC内一点,且满足条件230,延长CM交AB于N,令CM=a,试用a表示CN

.

14. 如图,△ABC中,AD为△ABC边上的中线且AE=2EC,求AGBG及的值

. GDGE

5.考题选粹

1.(2007北京)已知O是ABC所在平面内的一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么( )

A AOOD B AO2OD C AO3OD D AO4OD

2.(2005山东高考) 已知向量a、b且=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是( )

A.A、B、D B.A、B、C C.C、B、D D.A、C、

D

3.2007浙江高考,15 如图,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°, 与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.

参考答案:

针对性训练答案

1.B 2.C 3.B 4.B

5. 解: 答案B，平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确. 答案:B

6. 解:由H、M、F所在位置,有

11111AMADDMADba=b+a. 22222

1132 1132

=a1b. 6

7. 解:∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,

又∵A、B、D三点共线, ∴向量与共线.因此存在实数υ,使得=υ,

即3i+2j=υ[-3i+(1-λ)j]=-3υi+υ(1-λ)j.

∵i与j是两个不共线的向量,

3v3,故 v(1)2,

∴v1,∴当A、B、D三点共线时,λ=3.

3.

8. 解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.

又λa+μb=5e1-e2.

由平面向量基本定理,知

解之,得λ=1,μ=-1.

9如图,=325, 451.2, 3而1111a+(b-a)=a+b, 2222

∴22(1a+1b)=1a+1b. 332233

10解：∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).

∵a=,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).

x32,x1,∴2解得 x1或x4.x3x40

∴x=-1.

11.(1)略（2）c=2a+b，（3）3,1

11(OAOB)=(a+b)(图略). 22

211113k∴==(a+b),=(a+b)-kb=a+b, 3333312解:设OA=a,OB=b,OG交AB于D,则OD=

=ha-kb.

∵P、G、Q三点共线,∴.

1h,113k3∴a+b=λha-λkb.∴ 13k33k.3

两式相除,得

∴1hkh3hk., 13kk11=3. hk

拓展提升训练答案

13. 分析:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:

推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.

推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a1,a2,b1,b2,使得

a1b1,a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则 a2b2.

解:∵,NM ∴由23=0,得()2()30. ∴323=0.

又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线,

由平行向量基本定理,设,, ∴BN3NM2BN3NM0.

∴(λ+2)+(3+3μ)=0. 由于和不共线,

∴20,2∴ 330,1

∴.∴2=2a.

点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.

14. 解:设AGBG, GDGE

∵=DC,即AD-=AC-AD, ∴AD=1(AB+AC). 2

又∵=λ=λ(-), ∴=+=. ① 12(1)2(1)

又∵=μ,即-=μ(-),

1 ∴(1+μ)AG=AB+μAE,AG=11

12AB+2. ② 又=,∴=133(1)

比较①②,∵、不共线, 14,2(1)1,AGBG34, ∴解之,得∴3GDGE2.2.22(1)3(1)

点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.

考题选粹答案

1A 2.A 3.6

6.学生反思总结