2006年 第45卷 第5期数学通报51
解题中的形象思维
李 渺 单
( 数学需要抽象思维,.都是数学中的具体形象(,物中抽象出来的).行形象思维..几何图形常常引起我们的想象,
给我们很多的启迪.本文试图通过几个解题的实例说明我们怎样利用几何图形进行形象思维,为了说明形象思维的过程,所举例题稍有难度与层次.
例1 有两个等腰三角形,一个顶角为α,腰为
a,底为b.另一个底角为α,腰为b,底为a,求α及.b
α=3是一个等腰梯形(由∠BAC=∠∠ACD,得AB∥CD).又AB≠CD.所以∠ABC=∠BAD=2α,∠ACB=∠ABC=2α,从而5α=
180°,α=36°.
题目中没有画出图形,我们应该先将两个等腰三角形画出来以进行形象思维.如果a=b,两个三角形都是正三角形,α=60°.现在设a>b.由于α
的大小均为未知,所以我们画的图只是一个草b
图,未必准确.
图2
,可以将图3的b
位置放得更“正”一些(旋转一
图3
为了求
与
下),得出图4.
从图4不难看出,a2-2
2
=b-
2
2
图4
,
2
从而推出
图1
=.b2
即使不知道a>b,我们还是照图3那样拼合,
利用代数与三角分别处理这两个图形也能得到有用的关系,但比较麻烦.更好的办法是将这两个图形联系起来(本来这两个图形就不是孤立的!).给学生讲解时,可以让同学用硬纸剪下两个三角形
,再将它们拼合起来.
拼合时当然将相等的边拼在一起(有相等的边就是两个三角形之间的一种联系),可以得出图2或图3.
图2中不易看到有用的信息,所以我们摒开不
得出四边形ABCD是等腰梯形.它的两条对角线都等于a.但易知两条对角线的和大于两腰的和,所以一定有a>b.
在例1中,虽然图形只是一个草图,并不一定准确,但这种“形象”已经有助于我们思考.平面几何正是这样一门科学,它也可以利用未必准确的图形推出准确的结果.
这未必准确的图形其实不是完全错误的图形,它像漫画、速写,或者中国的写意画.虽然不是照
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多性质可以利用.例如公共弦与连心线O1O2垂直).因此凡遇到相交圆均需找出它们的公共弦,现在应当找出第二个公共点.
再画一个草图(图7),⊙O1与⊙O2的第二个交点似乎(差不多)在CF上.
形象是这样.(这是一种正常的).G.如,解决将难以措.
片,却也能反映事物的本质,“得其神髓”.培养学生画这种草图的能力也是很重要的.
在例1中,我们不仅要看到两个等腰三角形,更重要的,还要看到这些形象之间的联系.甚至使它们活动起来(如果利用电脑作图,这一过程就很鲜明生动).上面的拼合,就是数学中所说的运动,或者叫做全等变换(我们知道全等变换包括平移、旋转,还有轴对称).这些本来是小孩子就知道的方法.如果有具体的形象在,.
图形的内在联系,要思维的力量,.思维,等于一双慧眼,(表象)
看到本质,把
一切都看得清清楚楚,明明白白.
例2 如图5,平行四边形ABCD中,E为AD上任一点,过E作EF与AB的延长线交于F,连CE,
CF,设△CDE的外心为O1,△EAF的外心为O2,
△CBF的外接圆半径为R,求证:O1O2=R.
图7
图8
所以我们大胆断言G在CF上.当然这一点有待证明.但证明并不难(所谓“只怕想不到,
):设⊙O1与CF不怕证不出”
除C外还有一个交点G,则∠EGC=180°-∠D=∠A.所
图5
图6
以G也在⊙O2上,即⊙O1与⊙O2的第二个交点G在CF上.
图9
原题有图,但这个图并不“完全”,其中半径R并未画出,△CBF的外接圆及⊙O1、⊙O2也都没有画出.
解题的第一步就是将一些隐藏的形象显现出来,以便进行形象思维.
首先定出△CBF的外接圆的圆心O(当然也只是在草图上凭眼睛大致定出,不一定十分准确).
OB、OF、OC都是R.但这三条半径不必全画,有一
进一步,再证明前面的猜测:OO1∥OC(这也是由形象导出的猜测).
由于O1O2⊥EG,所以只需证OC⊥EG.这也是不难证明的:图8中,∠EGC=∠A=∠CBF.
图9中,∠CBF=
∠COF=2
(180°-2
2∠OCF)=90°-∠OCF,所以OC⊥EG.
很多线画在同一个图上,形象就不清楚,不鲜明了.所以图应有分有合,例如上面我们单独画一个图9,以突出∠CBF与∠OCF的关系.
图6还暗示我们四边形O1O2OC是平行四边形,即也应当有OO2∥CO1.这可以用与O1O2∥OC同样的方法证明:⊙O2与⊙O的第二个交点H在
CE上,FH⊥O1C.于是平行四边形O1O2OC的对边
条就足够了.应当画OC,因为看上去OC与O1O2平行.而OB、OF与O1O2没有这种关系.OC∥O1O2,这只是一个猜想,并未证明.值得注意:正是形象思维使我们产生这样的猜想.
⊙O1、⊙O2是相交的圆,E
是它们的一个公共点.
两个相交圆的公共弦在解题中极为有用(有很
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O1O2=CO.
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在上面的证明中,各种形象有隐有显,有分有合.它们帮助我们提出一些猜测,帮助我们找到证明.
例3 如图10,ABCD为正方形.四个小圆与这正方形的边相切,又与大圆相切,A1,B1,C
1,D1为切点.求证:直线AA1,BB1,CC1,DD1共点
.
图13
2BB2、CC2、DD2四条线是否共点
,.
在本例中,原来的图形比较复杂,我们先分出其中的一部分(隐去其余部分),使形象更加鲜明突出.将这部分研究透彻,再结合其余部分研究.这也就是华罗庚先生所说的“退”.
在例1中,图形在运动.在图11中,图形作“变
图
10
图11
换”.图形的变换比运动更为一般.运动只是一种特殊的变换(全等变换),而变换的种类繁多,例如图
11中的位似变换、相似变换(同一城市的比例不同
图中有一个大圆与4个小圆,4个小圆的地位是平等的,我们可以先选定过A1的那个圆来研究,暂时将其它三个圆隐去(以免干扰我们的视线),得到图11.
图11中两个圆内切于A1.这个切点有很多性质.例如它与两个圆的圆心O1、O共线,并且A1O1∶
A1O=R1∶R,其中R1、R分别为⊙O1、⊙O的半
的地图)、仿射变换(例如将圆压成椭圆的压缩变换)、射影变换、拓扑变换等等.
有了变换的观点,就可以更好地进行形象思维.看到相切的圆就会想到位似变换,看到图13,也会想到两个正方形ABCD、A2B2C2D2是位似的
(AA2、BB2的交点P就是位似中心).观点提高了,就
径.观点更高一些,应当看出A1是这两个圆的位似中心.
如果以A1为位似中心,R1∶R为位似比,那么
O1将变为O,⊙O1将变为⊙O,而⊙O1的切线将变
能看到很多原来未看到的东西.
在以上三个例题中,我们对几何图形进行处理,有显有隐,有分有合,有静有动(变换),以使形象更加鲜明,特点更加突出,联系更加紧密,也就是更便于进行形象思维.
平面几何的一个功能就是提供很多形象,培养学生形象思维的能力,如果过于削弱平面几何,而又没有很好的内容代替,对培养学生形象思维的能力是很不利的,一些国家的前车之鉴值得我们警惕.
参考文献
为⊙O的切线,并与原来的切线平行(除非原来的切线过A1).⊙O1的过A的两条切线变为⊙O的两条切线,分别与原来的两条切线平行,因而也是互相垂直的.并且设这两条切线的交点是A2,则A与
A2是一对对应点,直线AA2过位似中心A1,换句话
说,直线AA1就是直线A1A2.
对其它三个圆作同样的处理,可以得出A2、B2、
C2、D2四点,A2B2、B2C2、C2D2、D2A2分别是与AB、BC、CD、DA平行的、⊙O的切线.它们围成一个矩
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形,边长都等于⊙O的直径,因而是一个正方形
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