《函数与方程（1）》教案
灌南县第二中学 任老师
[教学目标]
1、 了解函数零点的概念，理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系； 2、 正确认识零点存在性定理；
3、 能利用函数图像的性质判断零点的个数；切实落实学生作图基本功的培养，渗透分类讨
论、及数形结合的思想.
4、 能顺利地将一个方程求解的问题转化为函数零点的问题，写出与方程对应的函数，并判
断零点所在的区间． [教学重点]
1、零点概念及其与方程的关系； 2、对零点存在定理的深入理解及应用
[教学难点]准确理解零点存在定理，能针对具体的函数求出零点的大致区间 [教法学法]
以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台 [教学过程]
1、 创设问题情境，引入新课 问题1：
问题2：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有什么关系？
问题3：完成表格，并观察一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根与相应二函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 图象与x 轴交点的关系？
表达。
2、建构函数零点概念 函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
思考：（1）零点是一个点吗？
（2）怎样理解“零点”概念双向性呢？
(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）
师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。 知识的延伸，得出等价关系
(1)方程f(x)=0有实数根⇔(2)函数y=f(x)有零点
⇔(3)函数y=f(x)的图象
与x 轴有交点
师生互动:分析等价性：（1）、（2）两个命题的等价是从数的角度来刻画，第（3）个命题是从形的角度来刻画。基于此，我们就可用函数的观点看待方程，方程
f (x )=0的根即函数y =f (x )的零点，可以把解方程f (x )=0的问题转化为函数y =f (x )图像与x 轴的交点问题。
例1：函数f(x)=x(x2－4) 的零点为 （ ） A ．(0，0) ，(2，0) B．0，2 C．(–2，0) ，(0，0) ，(2，0) D．–2，0，2
练习1：
3、探究发现零点存在性定理
问题：
师生互动:
思考：所有函数都存在零点吗？什么条件下才能确定零点的存在呢？
生活实例探究——小马过河
Ⅰ
Ⅱ
（1
）探究
1：将河流抽象成x 轴，将两个位置视为A 、B 两点。请问当A 、B 与x 轴怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的函数图象与x 轴一定会有交点？
师生互动:
（2）探究2：
条件二：图象是连续不断的一条曲线 （3）发现零点存在性定理
如果函数y =f (x )在区间[a , b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
f (a )∙f (b )
思考1： ―连续不断‖与―f(a)f(b)﹤0‖缺一如何？ 思考2： ―有零点‖是指有几个零点呢？只有一个吗？ 思考3： 再加上什么条件就―有且仅有一个零点‖呢？
思考4： 若函数y = f ( x ) 在区间(a , b ) 内有零点，一定能得出f ( a ) ·f ( b )
思考5： 定理的作用？判定零点的存在，并找出零点所在的区间。
4、零点存在性定理应用
例2：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x ) 在区间[a , b ]上连续，且f (a ) ·f (b )
f (x ) 在区间(a , b ) 内有且仅有一个零点. …………………………（ ）
（2）已知函数y=f (x ) 在区间[a , b ]上连续，且f (a ) ·f (b ) ≥0，则
f (x ) 在区间(a , b ) 内没有零点. ……………………………………（ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b ) 内存在零点. ，则f(x)必满足f (a) ·f(b)
(a) ·f(b)
例3
：
分析：从函数零点存在性定理的两个条件考虑。 ―与―‖
例4 求函数f (x )=lnx +2x － 6的零点的个数. 5、练习2、
1：在下列哪个区间内, 函数f (x)= x3＋3x －5 一定有零点（ ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3）
2：已知函数f(x)的图象是连续不断的，
且有如下的x ,f(x)对应值表：
那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点.
A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定
6、归纳小结
通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？
1．函数零点的定义 2．三个等价关系
3. 函数的零点存在性定理
4. 两种思想：函数与方程思想；数形结合思想 布置作业： 必做题:
1、求函数：y=-x2+6x+7的零点 2、方程2x -1+x =5的解所在的区间是
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，3）
（ ） D ．（3，4）
3、若函数f(x)=x2-ax-b 的两个零点是2和3，求log a 25 + b2。