两个平面位置关系复习
二. 知识讲解：
1. 两个平面的位置关系
（1）两个平面平行——没有公共点（（2）两个平面相交——有一条公共直线（2. 两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
）
）
（书例题）
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行
3. 两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
（例题）
（3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面
4. 两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段。
可以证明，公垂线段都相等，定义公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。 5. 两个平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角就说两个平面互相垂直，记作
。
6. 两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
7. 两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
8. 二面角
（1）二面角的概念
① 二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 ② 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角。
③ 二面角大小可用其平面角来度量，取值范围（2）方法提要：作二面角平面角的方法 ① 利用二面角平面角的定义
② 利用三垂线③ 作棱的垂面
（3）二面角平面角的求法
① 定义法：利用图形中的已知点作出二面角的平面角后，通过一个或几个可解的直角三角形或斜三角形解得
② 利用射线面积公式
③ 利用异面直线上两点间距离公式
【典型例题】
[例1] 如果两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线
在第一个平面内。
证：设作
由
，而
垂直，故AB 与
重合，故
，则
有两种情形
和
，经过A 在
内
又由经过一点A 有且只有一条直线与
[例2] 已知的大小。
，PA ⊥面ABC ，PA=AB=BC=，求二面角A —PC —B
解：过A 作AD ⊥PB 交PB 于D （可以证明，AD ⊥平面PBC ）
由
过D 作DE ⊥PC 于E ，连AE ，则AE ⊥PC 故
为二面角A —DC —B 的平面角
在等腰中，，由，则
故另法可证
为二面角A —PC —B 的平面角
在
中，
又法
[例3] 如图，
和
都是直角三角形，AB=BC，
所在平面垂直，若AB=
，把，求C 点到
沿AC 折起，使所在平面与平面ABD 的距离。
解：∵ 面ABC ⊥面ACD ，且交线为AC ，DC DC ⊥AC ∴ DC ⊥面ABC ∴ DC ⊥AB ∵ AB ⊥BC ，
∴ 面ABD ⊥面BCD 且交线BD 过C 作CH ⊥BD 于H ，则CH ⊥面ABD ∵ AB=BC=
，
∴
∴ AB ⊥面BCD
平面ACD
在在
中，中，
∴
[例4] 四边形ABCD 中，AD//BC，AD=AB，，
将沿对角线BD 折起，记折起后A 的位置为P ，且使平面PBD ⊥平面BCD 。
（1）求证：CD ⊥平面PBD ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDC ； （3）求二面角P —BC —D 的大小。
证：（1）
（2）
（3）
作EF ⊥BC 于F ，连结PF ，则
为二面角P —BC —D 的平面角
，即二面角P —BC —D 的大小为
另法，又由
[例5] 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面A BCD ，PD=DC，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。
（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小。
方法一：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 由底面ABCD 是正方形在而EO
中，EO 是中位线平面EDB 且
O 是AC 的中点 PA//EO 平面EDB
PA//平面EDB
（2）证明：
（3）解：由（2）知，PB ⊥DF ，故由（2）知DE ⊥EF ，PD ⊥DB
设正方形ABCD 的边长为，则PD=DC=，
BD=
，
是二面角C —PB —D 的平面角
在中，
在中，
则，所以，二面角C —PB —D 的大小为
另法
[例6] 如图，在CD 将
折起到
中，
，CD 是
的位置，使
的平分线，AC=6，BC=4，沿，求二面角
的大小。
解：过B 、A 两点分别向CD 及其延长线作垂线BE ，AF ，垂足分别为E 、F 在在∴
中，中，
的大小为
，，
设CD 折起后，设二面角
由∴
即二面角
大小是
注1：当异面直线分别在两个相交的半平面内，它们的公垂线在棱上时，由异面直线上两点距离公式，易知大小。
注2：这种求二面角的方法，避开了平面角的作图
此处
是二面角
【模拟试题】 一. 选择题：
1. 一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是两个平面平行的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 正方体
直的平面有（ ）
中，以每两条棱确定的平面中，与对角面
垂
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知下列四个命题，其中真命题的个数为（ ） （1）直线上有三个不同的点到平面（2）过平面
的距离都相等，则
；
外三个不同的点，有且只有一个平面与垂直；
（3）三条共点的直线两两垂直，则所得的三个平面两两垂直； （4）直线和平面
都成等角，则
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一个面距离的2倍，则这个二面角的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 以上都不对
5. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角（ ）
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不能确定
6. 一条线段与一个直二面角的两个面都相交，这条线段与这两个平面所成角的和为（ ）
A. 90° B. 不大于90° C. 大于90° D. 不小于90°
7. 分别表示不同的直线，真命题的个数是（ ）
（1）（2）（3）（4）
； ； ；
表示不同的平面，下面四个命题中
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 直二面角的棱上取一点P ，过P 在射线，则两射线所成的角为（ ）
内分别作与棱成
角的
A. 45° B. 60° C. 120° D. 60°或120° 9. 在空间，下列命题中正确的是（ ） A. 如果两直线与直线所成的角相等，那么 B. 如果两直线
与平面
所成的角相等，那么
C. 如果直线与两平面所成的角都是直角，那么
D. 如果平面与两平面
所成的二面角都是直二面角，那么
10. 下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）过平面外一点有且只有一个平面平行于已知平面； （2）过平面外一点有且只有一个平面垂直于已知平面； （3）过直线外一点有且只有一个平面平行于已知直线； （4）过直线外一点有且只有一个平面垂直于已知直线 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
11. 四面体的四个面中，直角三角形最多有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知直线平面
，直线平面
，有下面四个命题，正确的有（（1）； （2）； （3）； （4）
A. （2）与（4） B. （3）与（4） C. （1）与（2） D. （1）与（3）
二. 填空题
）
1. 在正方体中，点O 是侧面正方形AOB 与平面AOC 所成的二面角是 2. 若点A 为直二面角分别在
内，且都与成
的中心，则平面
的棱上一点，两条长都等于的线段AB 、AC ，则BC 的长为 。
3. 已知菱形ABCD 的对角线AC=，沿BD 把面ABD 折起与面BCD 成的二面角，则点A 到面BCD 的距离为 。
4. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC，CD=DA=AC=，
的大小为 ，二面角的大小为 。
5.
则二面角6. 已知
是正三角形，P 是外一点，PA=PB=PC，若
的大小为 。
，
，
于M 1
，
，NA 是
则二面角
，
的斜线，若N
A ⊥MN ，MN=，NA=，M 1
A=，则。
和
的中点，则面BMN
7. 正方体中M 、N 分别是棱与面ABCD 所成二面角的正切值等于 。 8. 已知
是直线，
是平面，给出下列命题
；
（1）若垂直于（2）若平行于（3）若（4）若（5）若
，且
内的两条相交直线，则，则平行于，且
，则，且
，则
内的所有直线；
；
，则
；
。其中正确的命题的序号是 。
【试题答案】 一. 选择题： 1. B 2. C
提示：含两个底面和一个对角面共有三个平面。 3. C
提示：命题（1）和（3）是真命题。 4. A 5. D
提示：当满足题设的两个二面角的棱不平行时，这两个二面角的大小关系不确定。 6. B
提示：可用特殊情形验证。当线段有一个端点在棱上时也满足题设条件，此时线段在二面角的一个面内，则线段与这个平面所成的角为0°，因此线段与二面角两个面所成角之和即为线段与另一个面所成的角，故应选B ，并且当线段与另一个面垂直时取得90°。 7. A
提示：只有命题（4）是真命题 8. D
提示：由于是两射线所成的角，故应分锐角和钝角两种情形。 9. C 10. B
提示：命题（1）和（4）是正确的，而（2）和（3）是错误的。 11. D
提示：如答图所示，AB ⊥平面BCD ，为，，则由三垂线定理可知AC ⊥CD ，则也为。因此四面体ABCD 的四个面可以都是直角三角形，故选D 。
12. D
二. 填空题： 1. 90°
提示：由OC ⊥OB ，又OC ⊥OA 平面AOB ⊥平面AOC 。 2.
或
OC ⊥平面AOB ，又OC 平面AOC ，故
提示：设直线AB 与AC 所成锐角为，则
， 当当
时，时，
，
，
，故
故BC 的长为或
3.
提示：如答图
1
即AH 为A 到面BCD 的距离 由
，则
，在
中，
答图1
4. 90°；
提示：如答图2所示，取E 为BD 的中点，连结AE 、CE 则AE ⊥BD ，CE ⊥BD 。即=，
则由
为二面角A —BD —C 的平面角，
，
，AC
知
取F 为BC 中点，连结EF 、
AF
即
为二面角A —BC —D 的平面角
，则
答图2
5. 60° 提示：设P 在则6.
，故
于A 1，连结。
，则
。由
，则由三
上的射影为O ，由PA=PB=PC，则O 为正
，故
的中心，
提示：如答图3，作垂线定理的逆定理知
在在在
中，
中，AN=C
，则
中，M 1M=AA1则
答图3
7.
，则
提示：如答图4，设面BMN 交棱A 1D 1于F ，由于
设FN 与DA 延长线相交于E ，则BE 为面BMN 与面ABCD 所成二面角的棱
作AH ⊥BE 于H ，连NH ，则为
为所求二面角的平面角，设正方体棱长
在中，
在中，，故所求二面角的正切值为
答图4
8. （1）（4）
提示：由线面垂直的判定定理知（1）正确。又由面面垂直的判定定理知（4）正确。
高二数学直线与平面平行的判定和性质人教版
一. 教学内容：
直线与平面平行的判定和性质
二. 教学重、难点：
1. 直线与平面的位置关系 （1）直线在平面内
2. 直线和平面平行的判定 ， ，
3. 直线和平面平行的性质
4. 将线面问题转化为线线问题 “过线作面找交线”
【典型例题】
[例1] 如图，已知P 是 ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD//平面MAC
证：连结AC 、BD 相交于点O ，连结MO
∵ O 为BD 的中点，又M 为PB 的中点 ∴ MO//PD 又 ∵ MO 面MAC ，PD 面MAC ∴ PD//面MAC
[例2] 正方体 中，棱长为 ，画出过A 、C 、B1的平面与下底面的交线 。 解：在面 内，过点 作直线
由正方体性质 ∴ ∴ 面 ∴ 为面 与面 的交线
[例3] 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行。 已知： ， ，求证：
证：过 作面 交面 于 ∵ ∴ 同理，过 作 ∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ 又面 过 交 于 ∴ ∵ ∴
[例4] 如图，A 、B 分别是异面直线 上的两点，AB 的中点O 作面 与 、 都平行，M 、N 分别是 上的另外的两点，MN 与 交于点P 。求证：P 是MN 的中点。
证：连结AN 交 于Q ，连结OQ 、PQ
∵ ，OQ 是过 的面ABN 与 的交线 ∴ OQ 同理PQ// 在 中，O 是AB 的中点，OQ//BN
∴ Q 是AN 的中点 又 ∵ PQ//AM ∴ P 是MN 的中点
[例5] 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于一点或两两平行。 已知：
求证： 交于一点或
证：∵ ∴
∴ 的位置关系只有相交或平行两种情况
（1） 与 相交时，设 ，则
∵ ∴
∴ P 为 和 的公共点 又 ∵ ∴
∴ 相交于同一点P
（2） 时，∵ ∴
∴ 故 两两平行
[例6] 如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ， ，且AM=FN，求证：MN//面BCE 。
证：作MG ⊥BC 于G ，NQ ⊥BE 于Q ，连结GQ ，则MG//AB，NQ//AB
∴ MG//NQ ∴
而
∴ ∴ MG=NQ ∴ 四边形MGQN 为平行四边形
∴ MN//GQ ∵ MN 面BCE ，GQ 面BCE ∴ MN//面BCE
[例7] 正方体 的棱长为1，过 且平行于对角线 的截面的面积等于多少？
解：连结 交于O 取 中点E ，连结OE 、 ，
∵ E 、O 分别为 的中点 ∴
∵ 面 ， 面 ∴ B1D//面
∵
∴ ∴
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 长方体 中，如下图，点 ，
求证：MN//平面ABCD 。
2. 如下图，在矩形ABCD 中，AB=2BC，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，求证：AQ//平面CEP 。
3. 已知P 是 所在平面外一点， ，试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据。
4. 已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。
【试题答案】
1. 证明：连结AC ，A1C1，因为 是长方体，所以
又因为 平面 ， 平面
所以AC//平面 ，又因为AC 平面 ，且平面 平面
所以 ，因为 平面ABCD ， 平面ABCD ，所以MN//平面ABCD
2. 证明：在矩形ABCD 中，因为AP=PB，DQ=QC，所以 ，所以四边形AQCP 为平行四边形，所以 ，因为CP 平面CEP ，AQ 平面CEP ，所以AQ//平面CEP
3. 证明：在面PBC 内作MN//BC，交PC 于N ，连结AN ，则BC//面AMN
面AMN 为所作平面 依据：直线与平面平行的判定
4. 证：（反证法）假设 ∵ ∴ 和 相交
∵ ∴ ∴ A 和 确定一个平面
即 在 内，过A 作 使
∵ ∴ ∵
∴ 与 矛盾 ∴ 不成立