2012年全国各地中考数学压轴题
反比例函数 1．（北京模拟）如图，直线AB 经过第一象限，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为C 、D ．设OC ＝x ，四边形OCPD 的面积为S ．
（1）若已知A （4，0），B （0，6），求S 与x 之间的函数关系式； （2）若已知A （a ，0），B （0，b ），且当x ＝
39
时，S 有最大值，求直线AB 的解析式； 48
（3）在（2）的条件下，在直线AB 上有一点M ，且点M 到x 轴、y 轴的距离相等，点N 在
过M 点的反比例函数图象上，且△OAN 是直角三角形，求点N
k
2．（北京模拟）已知点A 是双曲线y ＝k
1＞0）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平
x
k
行于y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线y
＝k 2＜0）交于点C ．点D （m
，0）是x
x
轴上一点，且位于直线AC 右侧，E 是AD 的中点．
（1）如图1，当m ＝4时，求△ACD 的面积（用含k 1、k 2的代数式表示）；
k
（2）如图2，若点E 恰好在双曲线y ＝1（k 1＞0）上，求m 的值；
x
（3）如图3，设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当m ＝2时，若△BDF 的面积
为1，且CF ∥AD ，求k 1的值，并直接写出线段CF 的长．
图1
图2
图3
3．（上海模拟）Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，tan ∠BAC ＝
1
，反比例函数y 2
k
＝（k ≠0）在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），x
△BDE 的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB 的解析式；
（2）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 是射线FD 上一动点，是否存在点P 使以E 、F 、P 为顶点的三角形与△AEO 相似？若存在，求点P
4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC 的腰OC 在y 轴的正半轴上，点A （5n ，0）在x 轴的负半轴上，OA :AB :OC =5 :5 :3．点D 是线段OC 上一点，且OD ＝BD ． （1）若直线y ＝kx ＋m （k ≠0）过B 、D 两点，求k 的值；
（2）在（1）的条件下，反比例函数y ＝
①求证：反比例函数y ＝
m
的图象经过点B ． x
m
的图象与直线AB 必有两个不同的交点； x
②已知点P （p ，－n －1），Q （q ，－n －2）在线段AB 上，当点E 落在线段PQ 上时，求n 的取值范围．
2
5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x ＋x －1) 的图象交于点A （1，k ）和点B （－1，－k ）．
（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 6．（浙江义乌）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线k
OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数y ＝在第一象限内的图象经过点D 、E ，
x
且tan ∠BOA ＝
1． 2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正轴交于点H 、G ，求线段OG
7．（浙江某校自主招生）已知点P 的坐标为（m ，0），在x 轴上存在点Q （不与P 重合），2的图象上． x
（1）如图所示，若点P 的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ，若以PQ 为边，∠PQM ＝60°作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y ＝－
另一个菱形为PQ 1M 1N 1，求点M 1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M 在第四象限，另一个菱形的顶点M 1在第二象限．通过改变P 点坐标，对直线MM 1的解析式y ＝kx ＋b 进行探究可得k ＝__________，若点P 的坐标为（m ，0），则k ＝__________（用含m 的代数式表示）； （3）继续探究：①若点P 的坐标为（m ，0），则m 在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？
8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点O 是坐标原点，点A 坐标为（1，
k
3），A 、B 两点关于直线y ＝x 对称，反比例函数y ＝x ＞0）图象经过点A ，点P 是直线
x
y ＝x 上一动点．
（1）填空：B 点的坐标为（______，______）；
（2）若点C 是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C ，使得以A 、B 、C 、P 四点为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点Q 是线段OP 上一点（Q 不与O 、P 重合），当四边形AOBP 为菱形时，过点Q 分别作直线OA 和直线AP 的垂线，垂足分别为E 、F ，当QE ＋QF ＋QB 的值最小时，求出
Q 点坐标．
6
9．（浙江模拟）已知点P （m ，n ）是反比例函数y ＝（x ＞0）图象上的动点，PA ∥x 轴，
x
3
PB ∥y 轴，分别交反比例函数y ＝x ＞0）的图象于点A 、B ，点C 是直线y ＝2x 上的一点．
x
（1）请用含m 的代数式分别表示P 、A 、B 三点的坐标； （2）在点P 运动过程中，连接AB ，△PAB 的面积是否变化，若不变，请求出△PAB 的面积；若改变，请说明理由；
（3）在点P 运动过程中，以点P 、A 、B 、C 为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m 的值；若不能，请说明理由．
10．（江苏徐州）如图，直线y ＝x ＋b （b ＞4）与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，与反比例
4
函数y ＝－的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），⊙O 是以CD 长为半径的圆．CE ∥x
x
轴，DE ∥y 轴，CE 、DE 相交于点E ．
（1）△CDE 是______________三角形；点C 的坐标为______________，点D 的坐标为_____________（用含有b 的代数式表示）； （2）b 为何值时，点E 在⊙O 上？
（3）随着b 取值逐渐增大，直线y ＝x ＋b 与⊙O 有哪些位置关系？求出相应b 的取值范围．
11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数y 2＝
c 5
的图象相交于B （－1，5）、C （，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数y 1＝kx ＋b 的图x 2
象上的动点． （1）求k 、b 的值； （2）设－1＜m ＜
3c
，过点P 作x 轴的平行线与函数y 2＝的图象相交于点D ．试问△PAD 2x
的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）设m ＝1－a ，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．
12．（江苏模拟）如图，双曲线y ＝Q 两点，连接OP 、OQ ．
（1）求证△OAQ ≌△OBP ；
（2）若点C 是线段OA 上一点（不与O 、A 重合），CD ⊥AB 于D ，DE ⊥OB 于E ．设CA ＝a ．
①当a 为何值时，CE ＝AC ？
②是否存在这样的点C ，使得CE ∥AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．
3
（x ＞0）与过A （1，0）、B （0，1）的直线交于P 、16x
13．（河北）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A （1，0），B （3，1），C （3，3）．反m
比例函数y ＝x ＞0）的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0）的图象与
x
该反比例函数图象的一个公共点． （1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0）的图象一定过点C ；
（3）对于一次函数y ＝kx ＋3－3k （k ≠0），当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）．
k
14．（山东济南）如图，已知双曲线y ＝经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限分支上
x
的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y
（1）求k 的值；
（
2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
15．（山东淄博）如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线y ＝－点F ，求点F 的坐标；
（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．
1
x ＋b 过点D ，与线段AB 相交于2
k
16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O 为坐标原点，A 是双曲线y k ＞0）在第
x
一象限图象上的一点，直线OA 交双曲线于另一点C ．
3
（1）如图1，当OA 在第一象限的角平分线上时，将OA 向上平移个单位后与双曲线在
2
第一象限的图象交于点M ，交y 轴于点N ，若
MN 1
＝，求k 的值； OA 2
（2）如图2，若k ＝1，点B 在双曲线的第一象限的图象上运动，点D 在双曲线的第三象限
17．＝0，直线y ＝（1）求反比例函数的解析式；
（2）将线段BC 绕坐标平面内的某点M 旋转180°后B 、C 两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M 的坐标；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使以PB 为直径的圆恰好过点C ？若存在，求点P
18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）． （1）求d 的值；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B ′、C ′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B ′C ′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线B ′C ′交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得四边形PGMC ′是平行四边形．如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；
如果不存在，请说明理由．
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19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xO y 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的k
正半轴上，AC ∥OB ，BC ⊥OB ，过点A 的双曲线y ＝的一支在第一象限交梯形对角线OC
x
于点D ，交边BC
于点E ．
（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k 的取值范围是_______________（2）若点
C 的坐标为（2，2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S 最小？ （3）若
k 20．（福建厦门）已知点A （1，c ）和点B （3，d ）是直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝x 的交点．
OD 1
＝，S △OAC ＝2，求双曲线的解析式． OC 2
（1）过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ．若AM ＝BM ，求点B 的坐标；
k 2
（2）设点P 在线段AB 上，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，并交双曲线y ＝k 2＞0）于
x
点N ．当
PN 1
取最大值时，有PN ＝，求此时双曲线的解析式． NE 2
k
21．（福建莆田）如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象过点A （0，3），且与反比例函数y ＝x
x
＞0）的图象相交于B 、C 两点．
（1）若B （1，2），求k 1·k 2的值；
（2）若AB ＝BC ，则k 1·k 2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
1k
x ＋m 与反比例函数y ＝ 的图象在第一2x
象限内交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），分别与x 、y 轴交于点C 、D ，AE ⊥x 轴于E ． （1）若OE ·CE ＝12，求k 的值；
（2）如图2，作BF ⊥y 轴于F ，求证：EF ∥CD ； （3）在（1）（2）的条件下，EF ＝，AB ＝2，P 是x 轴正半轴上一点，且△PAB 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，求P 点的坐标．
22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y ＝－