专项热点训练3、二次函数、方程、不等式
考纲解读：了解二次函数、一元二次方程、及一元二次不等式三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法，能进行有关函数、方程、不等式三者间有关问题的相互转化。
高考预测：二次函数在闭区间上的有关性质（如单调性、最值、值域等）问题；一元二次方程根的分布问题；求二次函数的解析式是高考的重点内容之一。
课时测试题（时间：60分钟，满分100分）
一、 选择题（本题包括6个小题，每小题6分，共36分）
1．已知集合M 、N 满足：M ={x |2x 2-5x +4=1，M N ＝{x |lg (x 2-4x +4)=lg (2-x )}，}那么集合N 可能是 （ ）
A ．{1, 4}；B ．{1, 2}；C ．{2, 4}；D ．{1, 2, 4}。
2．若关于x 的方程a 2x +(1+lg m )a x +1=0(a >0, 且a ≠1)有解，则m 的取值范围是
-3 （ ） A ．m >10；B ．0
3
（ ）
3log 2t ；C ．S =t 2-1；D ．S =-2t -2。 2
-1-14．已知函数y =f (x )与y =f (x )互为反函数，y =f (x +1)与y =g (x )的图象关于A ．S -1=2t -3；B ．S =
直线y =x 对称。若f (x )=log 1x 2+2(x >0)，则g 2等于 （ ）
2())
A ．1；B ．－1；C ．3；D ．－3。
5．已知n {a }是递增数列，且对任意n ∈N 都有a n =n 2+λn >0成立，则实数λ的取值范围是 （ ）
A ． -⎛7⎫, +∞⎪；B ．(0, +∞)；C ．[-2, +∞) ；D ．(1, +∞)。 ⎝2⎭
6．某商店商品A ，进货价每件40元，当售价50元时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品A 的单价每提高1元，则A 每月销售量会减少20件，为使A 销量月利润最高，采用以下哪个单价最妥 （ ）
A ．54元；B ．56元；C ．58元；D ．60元。
二、 填空题（本题包括3个小题，每个小题6分，共18分）
f (x )是奇函数，当1≤x ≤4时，f (x )=x 2-4x +5，则当-4≤x ≤-1
时，函数f (x )的最大值是＿＿；
8．对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)=x 0，则称x 0是函数f (x )的一个7．已知函数不动点。若二次函数f (x )=x 2+ax +1没有不动点，则实数a 的取值范围是＿＿；
9．（理）已知函数f (x )=|x 2-2ax +b |(x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；
2②当f (0)=f (2)时，f (x )的图象必关于直线x =1对称；③若a -b ≤0，则f (x )在
2区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x )有最大值|a -b |。其中正确的命题的序号是＿＿；
2（文）已知函数f (x )=|x -2x -3|(x ∈R )。下列命题：①f (x )是偶函数；②f (x )
的图象与y 轴交点的纵坐标为3；③f (x )在区间(1, +∞)上是增函数；④f (x )有最大值
4。其中正确的命题的序号是＿＿。
三、 解答题本题人包括3个小题，共46分）
10．（本小题满分14分）
-2x log a b +log b a =0(a >0, b >0, a ≠1, b ≠1)两根分别
在(0, 1)和(1, +∞)内，求出a , b 满足的大小关系。 已知关于x 的二次方程x 2
11．（本小题满分15分）
经过调查发现，某种新产品在投放市场的100天中，前40天，其价格直线上升，而后60
关于时间的函数表示式（表示投入市场的第x 天）；
1100(1≤x 1≤00), x ∈N ，问该（2）若销售量g (x )与时间x 的函数关系是g (x )=-x +33（1）写出价格
产品投放市场第几天时，日销售量最高是，最高值为多少千元？
12．（本小题满分17分）
设a 为实数，函数
（1）讨论f (x )=x 2+|x -a |+1, x ∈R 。 f (x )的奇偶性；
（2）求f (x )的最小值。
答案与选讲：
一、 选择题：1－6、BDCDDC ；
二、填空题：7、－1；8、－1＜a
三、解答题：10、b>a>1或0⎧7x +22(1≤x ≤40)⎪⎪2811、（1）f (x )=⎨，（2）略。
⎪-1x +52(40
212、解：(1)当a =0时，f (x )=x +|x |+1，易知此时f (x )是偶函数；当a ≠0时，∵
f (a )=a 2+1, f (-a )=a 2+2|a |+1, ∴f (a )≠f (-a ), 且 f (a )≠-f (-a )，故此时f (x )既非奇函数，又非偶函数；
1⎫3⎛(2)当x ≥a 时，f (x )= x +⎪+-a ， 2⎭4⎝
若a ≤-21⎛1⎫3，则[f (x )]min =f -⎪=-a ，且2⎝2⎭4
12，则[f (x )]min =f (a )=a +1； 2
2⎛1⎫f -⎪≤f (a ) ⎝2⎭若a >-1⎫3⎛2当x ≤a 时，f (x )=x -x +a +1= x -⎪++a ， 2⎭4⎝
若a ≥1⎛1⎫3，则[f (x )]min =f ⎪=+a ； 2⎝2⎭4
12，则[f (x )]min =f (a )=a +1, 且2
13时，[f (x )]min =-a 24若a
当-11
当a ≥13时，[f (x )]min =+a 。 24
点评：研究二次函数在给定的区间上的性质问题，一般有两种情况，一是抛物线的对称轴的 位置不确定(因二次函数的表达式中含有字母系数，导致对称轴方程中含有字母系数) ，而所给区间的位置确定(区间的两个端点是常数) ，二是抛物线的对称轴的位置确定，而区间的位置不确定。不论哪种情况，研究的基本方法都是考查对称轴相对于区间的位置关系，同时，还要考查抛物线的开口方向。