数列解三角形强化训练
1、在公差d 不为零的等差数列{a n }中，若a 1=2，且a 3是a 1, a 9的等比中项.
（1）求数列{a n }的通项公式; （2
n 项和T n . cos C ) ，n =(4a -b ，c ) ，2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知向量m =(cosB ，且m ∥n ．
（1）求cos C 的值；
（2
ABC
3、已知数列{a n }的前n
（Ⅰ）求数列{a n }
的通项公式；
（Ⅱ）设b n =log 4(1-S n +1) (n ∈N
*)
n 的值． 4、在 ABC 中，角A , B , C 对边分别是a , b , c （1）求角A 的大小；
（2）若a =2，且 ABC b , c .
5、已知等差数列{a n }满足：a 3=7, a 5+a 7=26，
{a n }的前n 项和为S n . （1）求a n 和S n ；
（2
n 项和为T n .
6、在∆ABC
. 7、已知数列{a n }的前n （1）求通项公式a n ；
（2）令b n =a n ⋅2n -1，求数列{b n }的前n
项和T n .
8、在锐角∆ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为a , b , c （1）求角A 的大小；
（2）若a =4, b +c =8，求∆ABC 的面积.
9、设∆ABC 的内角A , B , C 的所对边分别为a , b , c ，(a +b +c )(a -b +c ) =ac .
（1）求B ；
（2
C . 10、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C=90°，
，求C ．
11、已知等比数列{a n }满足：a 1=2, a 2⋅a 4=a 6．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2
{b n }的前n 项和S n ． 12、锐角∆ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c
n =(cosA ,sin B ) .
（1）求角A ；
（2
∆ABC 周长的取值范围.
13、已知等差数列{a n }的前三项为a -1, 4, 2a , 记前n 项和为S n ．
(Ⅰ) 设S k =2550，求a 和k 的值；
(Ⅱ)
b 3+b 7+b 11+⋅⋅⋅+b 4n -1的值．
{c n }满14、已知数列{a
n }
足c n =a n ⋅b n .
（1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{c n }的前n 项和S n .
15、设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知2S n =3n +3.
（I ）求{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .
16、已知数列{an }的前n 项和为S n ，a 1=2，S n
（1）求数列{an }的通项公式；
（2
n （n ∈N ）． n 项和T n ．
17、记等差数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 2+a 4=6, S 4=10． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式; （Ⅱ）令b n =a n ⋅2n (n ∈N *) , 求数列{b n }的前n 项和T n ． 18、设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前项和为T n ，满足T n =2S n -n 2, n ∈N *.
（1）求a 1的值；
（2）求数列{a n }的通项公式.
19、在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a ,
b , c （1）求sin B 的值.
（2）若a , b , c 成等差数列，且公差大于0，求cos A -cos C 的值.
20、已知二次函数f (x ) =x 2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n ) 均在函数y =f (x ) 上的图像上。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
n 是多少?. n 项和为T n
21、已知等差数列{an }的前n 项和为S n ，且满足：a 3=6，a 5+a7=24. （Ⅰ）求等差数列{an }的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前P 项和T n ．
22、已知数列{an }的前n 项和为S n ，且满足a n =3Sn ﹣2（n ∈N ）．
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）求数列{nan }的前n 项和T n ．
参考答案
1、【答案】（1）a n =2n ；（2
试题分析：（1）由a 3是a 1, a 9的等比中项，列出方程，求解数列的公差d ，即可求解数列的通项公式；（2）
. 试题解析：（1）因为a 3是a 1, a 9的等比中项，{a n }是等比数列
∴a 2=a 1⋅a 9∴(a 1+2d )=a 1⋅(a 1+8d )
∴(2+2d )=2⋅(2+8d ), ∴d 2-2d =0 22
d ≠0∴d =2∴a n =2n
.
22、【答案】（1试题分析：（1）先根据向量平行关系得c cos B =(4a -b )cos C ，再由正弦定理，化角得
sin C cos B =(4sinA -sin B )cos
C
2
）由三角形面积公式
ab =2试题解析：解：（1）∵m ∥n ，∴c cos B =(4a -b )cos C ，
由正弦定理，得sin C cos B =(4sinA -sin B )cos C ，
化简，得sin(B +C ) =4sin A cos C ﹒ ∵A +B +C =p ，∴sin A =sin(B +C ) ﹒ 又∵A ∈(0, p
)，∵sin A >0
（2
）∵C ∈(0, p )
ab =2﹒①
22∴a +b =4，② 422由①②，得a -4a +4=0，从而a =
2
考点：正余弦定理，两角和正弦公式及诱导公式
3、【答案】
Ⅱ) n =2014. n =
1⎧S 1试题分析：(Ⅰ) 已知S n 求a n 类型的习题，根据公式a n =⎨，令n =1求数列的首项，然后令S -S n ≥2n -1⎩n
n ≥2
式；
1-S n -1，然后求数列{b n }
的通项公式，n 的取值范围. 试题解析：解：
（Ⅰ）当n =1时，a 1=S 1
当n ≥
2
考点：1. 已知S n 求a n ;2. 裂项向消法求数列的和.
4、【答案】（1（2
）b =c =2.
试题分析：（1）利用正弦定理，化边为角，利用两角差的正弦公式，可得2sin C cos A =sin (A +B ) A 的大小；（2）利用三角形的面积公式得bc =4，再利用余弦定理得8=b 2+c 2，联立方程组即可求解b , c 的值.
试题解析：（1
即8=b 2+
c 2②，联立①②，解得：b =c =2.
考点：正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.
5、【答案】（1
）a n =2n +1, S n =n 2+2n ；（2试题分析：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d
，列出方程组，求解出a 1和d ，即可求解数列的通项公式a n 和S n ；（2
得到结论.
试题解析：（1）a n =2n +1, S n =n 2+2n
（2
考点：等差数列的通项公式和前n 和公式；数列的裂项求和.
6、【答案】试题分析：（Ⅰ）由BC 、AC 及sin C =2sin A ，利用正弦定理即可求出AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理表示出cos A ，把BC 、AC 及AB 的值代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用同角三角函数间的基
（Ⅱ）解：在∆ABC
考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式.
7、【答案】（1）a n =n (n ∈N *) ；（2）T n =(n -1) ⋅2n +1.
试题分析：（1）由a n 与S n 的关系，可求得a n ；（2）{b n }的通项是由等差和等比数列对应乘积得到的，符合错位相减的方法求和，两边同乘2，然后作差可求得T n .
试题解析：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 又a 1=S 1=1也满足上式，所以a n =n (n ∈N *)
（2）b n =a n ⋅
2n -1=n ⋅2n -1，所以T n =1⨯1+2⨯21+3⨯22+ +n ⋅2n -1，
2T n =1⨯21+2⨯22+3⨯23+ +n ⋅2n ，两式相减，得
所以T n =(n -1) ⋅
2n +1.
考点：等差数列的定义、数列求和.
【易错点晴】本题主要考查了等差数列的定义和数列求和等知识，由
a n 与S n 的关系可得出数列的通项公式. 利用错位相减求和时，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
8、【答案】（1（2试题分析：（1）由正弦定理得sin A 的值，再由题意可得A 的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得bc 的值，代入面积公式可得三角形的面积.
试题解析：（1）∵∆
ABC
∵锐角∆ABC 中，sin B >0， ∴等式两边约去sin
B ∵A 是锐角∆
ABC （2）∵a
=4 a 2=
b 2+c 2-2bc cos A b 2+c 2-bc =16，∵b +c =8，平方得b 2+c 2+2bc =64，∴两式相减，得3bc =48，可得bc =16. 因此，∆
ABC 9、【答案】(1)B =120 ；(2)C =15 或C =45 .
试题分析：（1）将已知条件去掉括号，由余弦定理可求得B 的余弦值，最后得B 的值；（2）由两角和与差的余弦公式可求得A -C 的值，由B =120 可得A +C 的值，由此求得C .
试题解析：（1）因为(a +b +c )(a -b +c ) =ac ，所以a 2
+c 2-b 2=-ac ，由余弦定理得
B =120 . （2）由（1）知A
+C =60 ，所以
故A -C =30 或A -C =-30 ，因此C =15 或C =45 .
考点：余弦定理、两角和与差的余弦公式.
10、【答案】15 .
A -C =90︒, B =180︒-(A +C ), 可将等式转化成关系角C 三角函数式，进而可得C 的值.
试题解析：由正弦定理可得
又由于A -C =90︒, B =180︒-(A +C ), 故
cos(45︒-C ) =cos 2C . 因为0︒
C =15︒.
考点：正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式.
【易错点晴】本题主要考查了正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式. 由题中条件可知主要研究了角的关系，所以本题首先要利用正弦定理将边的关系转化成角的关系，再由A -C =900可将等式转化成不含角B 的等式，利用两角差的余弦公式转化成只含角C 的等式，得用三角函数值相等可求得C 的值. 本题考查集中，难度不大.
11、【答案】（1）a n =2n ；（2
试题分析：（1）第一问用基本元的思想，将已知化为a 1, q 来解题；（2
）利用第一问的结论，化简得到n 项和． （1）设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 1=2, a 2⋅a 4=a 6得，(2q ) ⋅(2q 3) =2q 5， 解得：q =2， 则a n =a 1⋅q n -1=2n
（2）由（1）得a 2n -1=22n -1, a 2n +1=22n +1，
12、【答案】（1（2
试题分析：（1
0
试题解析：解：（1）因为m //n
又sin B ≠0
0
因为∆
ABC 考点：向量平行的充要条件；正弦定理；三角函数的基本公式. 13、【答案】(I)a =3, k =50；（II) 2n 2+2n ．
试题分析：(I)先求出a 1, d , 然后利用前n 项和公式求a , k ；(II)先求出S n , 求出b n , 因为b n 是等差数列, 它的第3,7,11, ,4n -1项也成等差数列, 利用等差数列求和公式求和.
试题解析：(Ⅰ) 由已知得a 1=a -1, a 2=4, a 3=2a ，又a 1+a 3=2a 2，
∴(a -1) +2a =8, 即a =3．
∴a 1=2，公差d =a 2-a 1=2．
即k 2+k -2550=0．解得k =50或k =-51(舍去) ．
∴a =3, k =50．
∴{
b n }是等差数列．
则b 3+b 7+b 11+ +b 4n -1=(3+1) +(7+1) +(11+1) + +(4n -1+1)
∴b 3+b 7+b 11+ +b 4n -1=2n 2+2n
考点：1、等差数列前n 项和公式；2、分组求和法．
【方法点晴】已知a , M
, b 成等差数列，则2M =a +b ，若a , M , b 成等比数列，则M 2=a ⋅b . 在解决数列的一般问题中，常用基本元的思想，代入等差数列通项公式和前n 项和公式求解；如果S n 是等差数列前n 项
{a n }是等差数列，则{a pn +q }也是等差数列.
14、【答案】（1）b n =3n -
2(n ∈N *)；（2
试题分析：（1
（2）由（1）再利用错位相减法即可求出数列{C n }的
前n 项和，错位相减法适用于每一项是由一等差数列与一等比数列的乘积构成的数列. 试题解析：(1)由题意，知a n ＝
(n∈N)， n
又b n
b n ＝3n －2(n∈N)．
(2)由(1)，知a ＝
，b ＝3n －2(n∈N)，
n
n
n
所以c n ＝(3n
(n∈N)． n 2
3
n －1
所以S ＋＋(3n
n
＋(3n
，
n
n
n ＋1.
＋＋(3n
＋(3n
2
3
4
n
两式相减，得
＋
＋＋
]－(3n
2
3
n
n
n ＋1
n ＋1. (3n
所以S n
n
(n∈N) ．
⎧3, n =1, （II
n -1
3, n >1. ⎩
S 1(n =1)
分情况求解，最后验证其结果能否合并；
⎪⎩S n -S n -1(n ≥2)⎧⎪
考点：1. 等比数列的通项公式；2. 错位相减法；3. 对数运算. 15、【答案】（I ）a n =⎨
试题分析：（I ）求数列的通项公式主要利用a n =⎨
（II ）由a n b n =log 3a n 整理可求得{b
n }求和
1-1
⎧3, n =1,
而a 1=3≠3，则a n =⎨n -1
3, n >1. ⎩
⎧3, n =1, （Ⅱ）由a n b n =log 3a n 及a n =⎨n -1
3, n >1. ⎩
考点：1. 数列求通项公式；2. 错位相减法求和 16、【答案】（1）a n =n (n +1)；（2 a n =n (n +1)，要注意试题分析：（1）由前n 对n =1的检验；（2
试题解析：（1）由题意得当n≥2时，s n -1 ），
当n=1时，a 1=2也适合上式，
）(n∈N) ． ∴a n =n (n +1
（2）由（1）得a n =n (n +1）
∴T n
、递推关系；2、累乘法求通项公式；3、裂项相消求和．
【思路点晴】本题主要考查的是由s n 与a n 的递推关系求通项公式，涉及累乘法求通项，以及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题．本题在处理递推关系时，要注意利用a n =S n －S n －1(n ≥2) ，消去S n ，
a n =f (n ) a n -1型采取累乘法求通项，当一个数列通项是分式形式时，注意考虑裂项相消法求数列的和．
17、【答案】(Ⅰ)a n =n ；(Ⅱ)T n
=(n -1) ⋅2n +1+2．
试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差的方程组
⎧a 1=1⎨，从而写出通项公式a n =n ；(Ⅱ)由题意b n =a n ⋅2n =n ⋅2n ，因为是⎩d =1等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得T n =(n -1) ⋅2n +1+2．
试题解析：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d, 由a 2+a 4=6, S 4
=10,
⎧a 1+2d =3即, ⎨⎩2a 1+3d =5⎧a 1=1解得⎨,∴a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1) =n ,
d =1⎩
故所求等差数列{a n }的通项公式为a n =n (Ⅱ) 依题意, b n =a n ⋅2n =n ⋅2n , ∴T n =b 1+b 2+ +b n
=1⨯2+2⨯22+3⨯23+ +(n -1) ⋅2n -1+n ⋅2n ,
又2T n =1⨯22+2⨯23+3⨯24+
+(n -1) ⋅2n +n ⋅2n +1,
两式相减得-T n =(2+22+23+ +2n -1+2n ) -n ⋅2n +1
∴T n =(n -1) ⋅2n +1+2
考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法． 18、【答案】（1）a 1=1；（2）a n =3⋅2n -1-2．
试题分析：（1）由S n 和T n 的定义知S 1=a 1，T 1=S 1，因此只要在已知T n =2S n -n 2中令n =1就可求得a 1的值；（2）由数列前n 项和的定义，首先利用S n =T n -T n -1求得S n 的递推式，再利用a n =S n -S n -1求得a n 的递推式a n =2a n -1+2，从而有a n +2=2(a n -1+2) ，于是得到数列{a n +2}等比数列，通项公式可得． 试题解析：（1）当n=1时，T 1=S 1=2S 1-1⇒a 1=1 （2）T n =2S n -n 2, T n -1=2S n -1-(n -1) 2
(n ≥2)
⇒T n -T n -1=2(S n -S n -1) -2n +1(n ≥2) ⇒S n =2a n -2n +1(n ≥2)
⇒S n -1=2a n -1-2(n -1) +1(n ≥2) ⇒S n -S n -1=2a n -2a n -1-2⇒a n =2a n -2a n -1-2⇒a n =2a n -1+2
⇒a n +2=2(a n -1+2) (n ≥2)
所以{a n +2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a n +2=3 2n -1∴a =3
2n -1-2
考点：已知数列前n 项和求通项公式． 19、【答案】（1
（2 试题分析：（1）由已知条件，利用正弦定理化边为角可得sin B ；（2）由a , b
, c 成等差数列，可得2b =a +c ，
cos A -cos C 比较，设cos A -cos C =x ，两式平
试题解析：（1）
又三角形中sin A ≠0， （2
cos A -cos C =X
又a
cos C
考点：正弦定理，等差数列的性质，三角函数的同角间的关系． 20、【答案】（Ⅰ）a n =2n -1；（Ⅱ）12.
试题分析：（Ⅰ）由点(n , S n ) 在函数y =f (x ) 上的图像上，所以点的坐标适合函数的解析式，代入求得数列
{a n }的前n 项和为S n 的表达式S n =n 2；利用数列的前n 项和为S n 与通项a
n 的关系解得a n =2n -1，验证
当n =1时也满足；所以a n =2n -1
. （Ⅱ）将数列a n
=2n -1
n 项和T n
中进行化简，得n 取最小正整数为12.
试题解析：
解：（Ⅰ）因为点(n , S n ) 在函数y =f (x ) 上的图像上，所以S n =n 2 当n =1时，a 1=1
当n …2时，a n =S n -
S n -1=n 2-(n -1) 2=2n -1， 经检验当n =1时，也满足a n =2n -1， 所以a n =
2n -1.
12.
考点：二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识. 21、【答案】（Ⅰ）a n =2n；试题分析：（Ⅰ）通过设等差数列{an }的首项为a 1、公差为
d ，联立a 3=6
、a 5+a7=24可知首项、公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）裂项可知
=﹣
，进而并项相加即得结论．
解：（Ⅰ）设等差数列{an }的首项为a 1、公差为d ， ∵a 3=6，a 5+a7=24， ∴
，
解得：，
∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：所以==
．
，
考点：数列的求和；数列递推式． 22、【答案】（1）（2）
试题分析：（1）通过a n =3Sn ﹣2与a n ﹣1=3Sn ﹣1﹣2（n≥2）作差、整理可知a n =
﹣a n ﹣1（n≥2），进而可知数列{an }是首项为1、公比为﹣的等比数列，计算即得结论； （2
）通过（1）可知na n =（﹣1）n ﹣1⋅解：（1）∵a n =3Sn ﹣2， ∴a n ﹣1=3Sn ﹣1﹣2（n≥2）， 两式相减得：a n ﹣a n ﹣1=3an ，
，进而利用错位相减法计算即得结论．
整理得：a n =﹣a n ﹣1（n≥2）， 又∵a 1=3S1﹣2，即a 1=1，
∴数列{an }是首项为1
、公比为﹣的等比数列，
∴其通项公式a n =（﹣1）
n ﹣1
⋅；
，
+（﹣1）n ﹣1
⋅
，
，
（2）由（1
）可知na n =（﹣1）n ﹣1⋅
∴T n
=1⋅1+（﹣1）⋅2
⋅++（﹣1）n ﹣2⋅（n ﹣1
）
⋅
）n ﹣1⋅（n ﹣1）⋅（﹣1）n ﹣1⋅
+（﹣1）n ⋅n ⋅]﹣（﹣1）n ⋅n ⋅
⋅
=∴（﹣1）n ﹣1⋅⋅．
考点：数列的求和；数列递推式．