电路第四版答案12

第十二章非正

12—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。 解：f(t) 在第一个周期(1T2)内的表达式为

题12-1图

Em

(1t)

1tEm

f(t)(1t)1t

1tEm(t)

1



显然,f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为

f(t)a0

(akcosktk

1

1



bksink1t)

由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有a00,ak0。

而

=

aEm1t2Em1t11

cos(k1t)2sin(k1t)][cos(k1t)cos(k1t)2sin(k1t

0akaakkkk

=

2Em

sinka (k=1,2,3…….)

k2a(a)

12—2 以知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：

（1）a0=0; (2) 对所有 k，bk=0;（3）对所有 k，ak=0;（4）ak 和bk 为零，当k 为偶数时。

解：（1）当 a0=0 时，在后半个周期上，只要画出 f(t) 的负波形与横轴（ t轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。

题12-2图

（a） （b）

（c） 题解12-2图

（2）对所有k,bk=0,f(t)应为偶函数，即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。

（3）对所有 k,ak=0,f(t) 应为奇函数，即f(t)= -f(-t), 波形如图（b）所示，波形对称于原点。

（4）ak 和 bk为零，当k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 ak 和 bk只出现在k为奇数时，函数f(t) 满足镜对称性质，即有f(t)= -f(t+所示。

注：12—1和12—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。

12—3 一个RLC 串联电路。其R=11,L=0.015H ,C=70F , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。

解： RLC 串联电路如题解12—3图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式

T

) , 波形如图（c）2

Ik

.

UkZk

.

U(k)

1

Rj(kL)

kC

其中 ,L =15,

1

=14.286 . C

电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：

（1） 直流 U0=11V 作用时，电感L 为短路，电容 C 为开路，故，I0=0 , P0=0 。 （2） 基波 (k=1)作用时，令U=10000V

.

Z(1) = R+j(L — 故 I1 =

.

1

) =（11+j0.714） =11.0233.710 C

U(1)Z(1)

10000

= =9.0723.710 A 0

11.0233.71

P(1) = I(21)R = 905.28 W

=35.4900=25.032900V （3）二次谐波 (k=2) 作用时，令U(2)

2 Z(2)=R +j(2L —

11

) =11 +j(30 — 14.286) =25.36664.30

22C

= 故 I(2)

U(2)Z(2)

25.0329000

25.7= = 0.987 A 0

25.36664.3

P(2)=I(22)R =(0.98)211 = 10.716 W 所以，电路中的电流 i (t) 为

i (t) = 0 +29.072 cos (1000t — 3.710) +20.987 cos(2000t + 25.70) = 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率

P = P0 +P(1)+P(2) = 905.28 +10.716 = 916 W 12—4 电路如图所示，电源电压为

uS(t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。

 (采用复振幅相量)。解：设电流i (t) 第 k 次谐波的向量为I（1）当 k = 0 ，m(k)直流分量U0= 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有Z0 =R +R1 = 60  ，故

I0=

U0505

== A 606Z0

5

= 41.667 W 6

Ps0 = U0I0 = 50

090（2）当 k=1 ，即 =1=314rads, 基波向量 U= 100 V 作用时，有 sm(1)

Z(1) = 10 + j3.14 +

j0.0157

11

50j31.4

= 71.267 19.310 

故

 = Im(1)Ps(1) =

Usm(1)Z(1)

1009000

70.69 = = 1.403 A 0

71.26719.31

11

Usm(1)Im(1)cos(19.310)1001.403cos19.310 22

=66.2 W

0 （3）当 k=2 ，即 21628rads, 二次谐波向量Usm(2)400 V 作用时，

有

Z(2)10j6.28

j0.0314

1

1

50j62.8

42.52854.5520

故

 Im(2)

Usm(2)Z(2)

40000

0.941125.448A 0

42.52854.552

Ps(2)

110

Usm(2)Im(2)cos(54.552)400.94cos54.552010.915W 22

.

（4）当k=3，即31942rads，三次谐波相量USM31070V作用时，有 Z310j9.42

1

1

j0.0471

50j94.2

20.55251.19

故

Im3

.

USM31070

0.48718.81AZ320.55251.19

.

11

PS3USM3Im3cos(51.19)100.487cos51.191.526W

22

所以，电流i（t）为

it0.8331.403sin(314t19.31)0.941cos(628t54.552)0.487sin(942t71.19)A电源发出的平均功率Ps为

PSPS0PS1PS2PS341.66766.210.9151.526120.308W 电源电压有效值

USU

20

2USM1

2



2

USM2

2



2

USM3

2

1002402102

5091.378V

222

2

电源电流有效值

51.4030.9410.487

I1.497A

6222

2

2

2

2

12—5有效值为100 V 的正弦电压加在电感 L 两端时，得电流 I=10A ，当电压中有3次谐波分量，而有效值仍为100 V 时，得电流 I=8A 。试求这一电压的基波和3次谐波电压的有效值。

解：根据题意，可求得基波时的感抗为

ZL1L

100

10 10

故，三次谐波时的感抗为

ZL33L30

所以，含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式

U12U321002 UU13ZZL1L3

U12U3210029UU64900

21

23

2

2

8

2

代入参数值并整理得

解之，得

U1

649001002

77.14V

8

U3277.14263.64V

12—6 以知 RLC 串联电路的端口电压和电流为

u(t)[100cos(314t)50cos(942t300)]V

i(t)[10cos(314t)1.755cos(942t3)]A

试求：（1）R,L,C 的值；（2）3 的值；（3）电路消耗的功率。

解：RLC 串联电路如图12—6图所示，电路中的电压 u(t) 和电流 i(t) 均为已知，分别含有基波和三次谐波分量。

(1)由于基波的电压和电流同相位，所以，RLC 电路在基波频率下发生串联谐振。故有

R

Um1100

10 Im110

且 XL1Xc1X1 即 1L

1

X1(1314rads) 1C

而三次谐波的阻抗为

Z3Rj31Lj

18

10j(3X1X1)10jX1 31C331

Z3的模值为

U850

Z32(X1)2m328.49

3Im31.755解得 X1为

X1(28.492102)

9

10.004

64

故

.

LC

X1

1



10.004

31.86mH314

11

318.34F1X131410.004

（2）三次谐波时，Z3的阻抗角为

8X13arctan2.66869.450 10而

3u3i33003 则

3300399.450 （3） 电路消耗的功率 P 为

P

11

10010501.755cos69.450515.4W 22

12—7图示电路各电源的电压为

U060V

u1[2cos(1t)2cos(51t)]V

u22cos(31t)V

u3[302cos(1t)2cos(31t)]Vu4[2cos(1t)2cos(51t)]Vu52sin(1t)V

u3

（1） 试求Uab,Uac,Uad,Uae,Uaf;

（2） 如将 U0 换为电流源 is22cos(71t) ，试求电压Uac,Uad,Uae,Uag（Uab等

为对应电压的有效值）。

解：本题各电源电压含有的各次谐波分量为：恒定分量和4个奇次（1,31,51,71）谐波分量，各电压的有效值计算如下： （1）

Uab2202101.98VUac2502202113.578VUad6021002502202128.45V

Uae602(10030)2(5020)2202147.648VUaf602(1003080)2(5020)2(2010)284.261V

(2)设电压 UR 参考方向如图中所示，当将 U0 换为电流源 is（其方向设为从c点指向d点） 时，有

uRRis2cos(71t)V 各电压有效值分别为

Uac2502202113.578V

Uad8030)2102]20210220259.16VUac(8010)102083.666VUaguR20V

注：本题在求解各电压有效值中，需要先将不同电源电压的相同频率的时域响应相加，再进行各次谐波有效值的计算，最后求出所要求解的非正弦电压的有效值。

12—8 图示为滤波电路，需要负载中不含基波分量，但 41 的谐波分量能全部传送至负载。如11000rads,C1F, 求 L1和L2

2

2

2

2

解：欲使负载中不含基波分量，既在此时负载中的电流需为零，则有L1和 C 在 1处发生并联谐振，由谐振条件得

1

1L1C

1000rads

故 L1

若要求4次（41）谐波分量能全部传送至负载端，需要此电路在 41 处发生串联谐振，因

11

1H 226

1C100010

XL241L24000L2 而 L1 与 C 并联的电抗为

XL1C1

41C1

41L141L1800 23161CL11

串联谐振时，有

j(XL2XL1C)j(4000L2

即 4000L2800)03 800

3

80011L266.67mH3400015

12—9 图示电路中 uS(t)为非正弦周期电压，其中含有 31 及 71 的谐波分量。如果要求在输出电压u(t) 中不含这两个谐波分量，问 L,C 应为多少？

解：根据图示结构知，欲使输出电压u(t) 中不含31 和 71 的谐波分量，就要求该电路在这两个频率时，输出电压u(t) 中的3次谐波分量和7次谐波分量分别为零。

若在 31 处 1H 电感与电容 C 发生串联谐振，输出电压的3次谐波 U30 ，由谐振条件，得

311

L1C,C1

912L11912

若在 71 处 1F 电容与电感 L 发生并联谐振，则电路中7次谐波的电流I70 ，电压 U70，

由谐振条件，得

71

1LC1,L14912C11 2491

也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下，即在31 处，使 L 与 C1 发生并联谐振，而在 71 处，使 L1 与 C 发生串联谐振，则得

L1

912 C1 2491

12—10图示电路中

is[510cos(10t200)5sin(30t600)]A,L1L22H,M0.5H 。求图中交流电表的读数和 u2 。

解： 由图示电路可知，电流表读数为电流is 的有效值

即

10252

A59.354A 222

而电压 u2(t) 为

u2(t)Mdis50sin(10t200)75cos(30t600)V dt

电压表读数为电压u2 的有效值，有

502752

V263.738V 22

12—11 图示电路中 us1[1.552sin(2t900)]V ，电流源 is22sin(1.5t)A 。求 uR及 us1 发出的功率。

解：电路各响应的求解，可以看作是电压源us1 的各频率分量和电流源 is2 单独作用时，所得各响应分量的叠加，具体计算如下

（1）直流 Us1(0)1.5V 单独作用时，电感短路，电容开路，电路如题解12—11图 (a) 所示，根据 KVL，有

Us102UR(0)UR(0)3UR(0)

故

1UR(0)Us1(0)0.5V 3

I(0)UR(0)0.5A

Ps1(0)Us1(0)I(0)1.50.50.75W

（2）Us1(1)52sin(2t900)A(12rads)的电压分量单独作用时，电路如题解图(b)

0所示，令 Us1(1)50V,jXL(1)j1Lj4。根据 KVL ，有

2UUj4I3U Us1(1)jXL(1)I(1)R(1)R(1)(1)R(1)

且 UR(1)I(1)

解之，得

UR(1)500

153.130V 03j4553.13

Us1(1)0UI(1)R(1)153.13A

Ps1(1)Us1(1)I(1)cos53.13510.63W0

（3）电流源 is2(21.5rads) 单独作用时，电路如题解图（c） 所示。令

129002900A,jXIjLj3,jXjj1. s2L(2)2C(2)2C2

对独立结点a，列出结点电压方程

(11)Ua(2)Is22UR(2) jXL(2)

 UUa(2)3R(2)

 ，有 代入参数值并消去Ua(2)

1(j1)3UR(2)Is22UR(2) 3

UR(2)I29000s2145V 01j1245

所以，电压 uR 为

uR(t)0.52cos(2t53.130)2cos(1.5t450)V

电压源 us1 发出的功率为

Ps1Ps1(0)Ps1(1)0.7533.75W

*12-12对称三相星形连接的发电机的A 相电压为

uA[2cos(1t)2cos(31t)2cos(51t)]V ，在基波频率下负载阻抗为Z(6j3)，中线阻抗ZN(1j2)。试求各相电流，中线电流及负载消耗的功率。

如不接中线，在求各相电流及负载消耗的功率；这时中点电压 UN'N 为多少？

解：图示电路中，对称三相电压源的基波构成正序对称三相电压，5次谐波构成负序对称三相电压，而3次谐波构成零序对称组。

由于此电路是对称三相四线制连接，对正，负序电压分量而言，可以归结为一相

0（A相）电路的计算且此时中线电流为零。令U00V ,UA(1)215A(5)100V，而

Z(1)(6j3),Z(5)(6j15),则可得正序和负序对称组电流

IA(1)UA(1)Z(1)2150032.0526.570 A 6j3

根据对称性可以写出

a2II32.05146.570AB(1)A(1)

aI32.0593.430AIC(1)A(1)

IA(5)UA(5)

Z(5)10000.6268.20A 6j15

20IB(5)aIA(5)0.6251.8A

0IaI0.62188.2AC(5)A(5)

0 对图示电路中的零序对称组电压（既三次谐波），令 UUU300V ，A(3)C(3)B(3)

' 而Z(3)(6j9),ZN(3)(1j6)，则中性点 N 与 N 之间的电压 UNN(3)

为 3UA(3)



' UNN(3)Z(3)31Z(3)ZN3Z3UA(3)N(3)3ZN(3)Z(3)33000(1j6)19.2368.9680V 9j27

故，零序对称组电流为

IA(3)IB(3)IC(3)UA(3)UN'N(3)

Z(3)300019.2368.96801.05471.570A 6j9

 为 中线电流IN(3)

IN(3)3I71.570A A(3)3.162

所以，各相电流为 .

iA[32.2cos(1t26.570)1.2cos(31t71.570)0.2cos(51t68.20)]AiB[32.2cos(1t146.570)1.2cos(31t71.570)0.2cos(51t51.80)]Aic[32.2cos(1t93.430)1.2cos(31t71.570)0.2cos(51t188.20)]A而中线电流iN 为

iN3.2cos(31t71.570)A

负载消耗的功率为

222222P3(IAW (1)IA(3)IA(5))R3(32.051.0540.62)618517

若不接中线，正序和负序对称组的各相电流均未改变而零序对称组电流为零（因为'UU，所以，最后各相电流中均无零序组电流。即上述各相电流表达式中不A(3)）NN(3)

含3次谐波分量。

此时，负载消耗的功率为

2222P3(IAW (1)IA(5))R3(32.050.62)618497

而中点电压UN'N 中只有零序组电压即

UN'NUN'N(3)30V

*12-13 如果将上题中三相电源连接成三角形并计及每相电源的阻抗。（1）试求测各相电压的电压表读数，及题图中V1的读数，但三角形电源没有插入电压表 V2 ；（2）打开三角形电源接入电压表 V2 ，如图示，试求此时两个电压表的读数。

解：图示电路，是将上题中的对称三相电源连接成三角形电源，并考虑每相电源的阻抗，则

（1） 当三角形电源中未插入电压表V2时，三角形电源构成闭合回路，其

端线电压中将不含零序对称组，而只含正序和负序对称组，故电压表V1的读数为 V12152102215.232V

（2） 当打开三角形电源插入电压表 V2 时，由于此时三角形电源回路处

于开路，电路中无3次谐波的环流，且正序和负序对称组电压之和分别为零，电压表 V2 的读数为每相电压中3次谐波电压有效值的3倍，即

V23UA33090V V12152102302217.31V

12—14 求图示波形的傅里叶级数的指数形式的系数。

题12-14图 解：图示波形 f(t) 在一个周期（1T2）的表达式为

TaAmt21aat011aat f(t)Am 11aat011aTAtm12

f(t)展开为傅立叶级数的指数形式为 f(t)

kcekjk1t

由于f(t) 为偶函数，且具有镜对称性质，所以，有 C00 和 C2k0。 而

1CkTT

2T2f(t)ejk1taaT2Am11jk1tjkt12(A)ejk1dt]1Aedt[T(Am)edtadtsinkammaT2k11(k1,3,5,...)