2001年第12期 数学通讯7
二项展开式系数的求法
苏清军
(山东省无棣二中, 山东 251913)
中图分类号:O122. 4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001) 12-0007-01
对于(a +b ) n 展开式中特定项的系数, 常常从通项公式入手, 学生容易掌握. 而对于较复杂的展开式, 如(a +b ) 参考.
1 有效展开m
数为
2002
032+3C 25C (-・C 454(-2) ・
(a +b +c ) (c +d ) n 、
n
等, 多有畏难
0+=3
情绪. 这里介绍三种行之有效的方法, 这种方法并不需要借助二项展开式, 对于形式各异的题目都可以实施.
例3 (1996年上海高考题) 在(1+x ) 6(1-x ) 4
的展开式中, x 3的系数是
5
3
, , 然后.
例1求(1+x ) (1+2x ) 展开式中x 的系数.
解 (1+x ) 2(1+2x ) 5=(1+2x +x 2) (1+10x
) , +40x +80x +…
2
3
2
.
解 利用组合知识.
展开式中含x 3项有x 3・x 0, x 2・x , x ・x 2, x 0・x 3
四种情况.
所以x 3的系数是
(-1) +C 6・C 6+C 6・C 4・C 4(-1) +C 6・C 4(-3
2
1
1
2
2
3
所以x 3的系数为80+2×40+10=170.
2 利用通项公式
1) 3
即从通项公式入手, 先得到问题的解, 再得出项的系数.
例2 在(1-2x ) 5(1+3x ) 4展开式中, 若按x 的升幂排列, 求展开式中的第三项.
解 展开式中的第三项含x 2. 二项式(1-2x ) 的通项公式为
R m +1=C 5(-2x )
4
n
n
m
m
=20-60+36-4=-8.
例4 (1992年全国高考题) 在(x 2+3x +2) 5
的展开式中x 的系数为
( )
(A ) 160. (B ) 240. (C ) 360. (D ) 800.
分析:本题是三项展开式, 可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.
,
5
若借用组合知识解决可省却很多麻烦.
解 根据三项的特点, 展开式中x 项只能源于
3x ・2・2・2・2,
二项式(1+3x ) 的通项公式为
R n +1=C 4(3x ) .
(m =0, 1, 2, 3, 4, 5; n =0, 1, 2, 3, 4. )
m m n
T m +1・R n +1=C 5(-2x ) ・C 4(3x )
n
m n m m +n
=C 5C 4(-2) ・3n ・x ,
所以x 的系数为C 13・24=240, 选(B ) . 5・例5 求(2x -3y -4z ) 6的展开式中x 3y 2z 的系数.
解 利用组合知识, x 3y 2z 的系数为
32
(-3) 2・(-4)
=-17280. C 6・23・C 3・
令m +n =2, 解得
m =0,
n =2, n =1, n =0.
54
所以(1-2x ) (1+3x ) 展开式中第三项的系
或
m =1,
或
m =2,
收稿日期:2001-01-05
) , 男, 山东无棣人, 山东无棣二中一级教师. 作者简介:苏清军(1969—