内蒙古电大学刊 2006年第12期(总第88期)
复合函数单调性的判断方法
祁玉兰
(鄂尔多斯教育学院, 内蒙古东胜017000)
在现行中学教材中, 复合函数的单调性是学生学习的一个难点, 主要原因是学生对复合函数的概念不清, 从而导致求复合函数的单调区间时总是出错。
在高等数学中, 复合函数的定义是:一般地, 若函数y =f(u) 的定义域为D 1, 函数u =g(x ) 的定义域为D 2, 值域为W 2, 且W 2 D 1, 那么对于任意一个x D 2, 有唯一确定的u W 2与之对应, 由于W 2 D 1, 这个值u 也属于函数y =f(u) 的定义域D 1, 因此, 有确定的值y 与之对应, 从而得到一个以x 为自变量、y 为函数值的函数, 这个函数称为函数y=f(u) 及u=g(x ) 复合而成的复合函数, 记作y=f[g (x) ]。下面根据这个定义, 给出求复合函数单调区间的步骤:
第一步:确定复合函数的定义域;
第二步:将原函数分解成初等函数y=f(u) , u=g(x) 的形式;
第三步:分别确定y=f(u) , u=g(x) 的单调区间; 第四步:根据 同则增, 异则减! 给出复合函数的单调
区间。
现举例说明:求函数y=
2
+2x-3的单调区间
2
解:先确定定义域:由x +2x-3∀0得x ∀1或x #-3此函数可看作y=
2
u=x +2x-3复合而成。
2
∃函数y=在[0, +%) 上是增函数, 而u=x +2x -3=(x+1) -4在(-%, -1]上是减函数, 在[-1, +%) x ∀1或x #-3
x #-1 得x #-3
x +2x-3在(-%, -3]上是减函数。
&x ∀1或x #-3
x ∀-1 得x ∀1
x +2X-3在[1, +%) 上是增函数。+2X-3的单调增区间是[1, +%) , 单调减
&y=&y=
区间是(-%, -3]。
[责任编辑:陈维廉]
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[参考文献]
[1]韩 彬. 地理教学要着眼提高学生的素质[J]. 宁夏教育, 2005(2):32.
[2]王信文. 地理教学中的学习方式[J ]. 福建地理, 2005(1) :51-53.
[3]王书志. 地理教学中如何培养学生的创造能力[J]. 甘肃教育, 2005(1-2) :71.
[责任编辑:联 群]