物理竞赛辅导第二讲
（定积分在物理中的应用）
1. 定积分
以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算像(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，用一系列分点a=x 1
⎰
⎰b
a b a f (x ) dx =lim ∑f (x i ) ∆x n →∞∆x →0i =1f (x ) dx , 为函数f (x ) 在区间[a,b]的定积分式中f(x)、f (x ) dx 和x 分别称为被积函数、
被积式和积分变量。
间。 ⎰为积分号，a 和b 分别称为积分下限和积分上限，[a,b]称为积分区
2. 定积分的几何意义 ：
由函数曲线、自变量坐标轴以及积分上下限所决定的曲边梯形的面积。对于⎰b
a f (x ) dx
f (x ) dx ⎰f (x ) >0a 当时，是曲边梯形的面积
当b f (x ) ≤0(a ≤x ≤b ) ⎰b
a f (x )
dx 时，是曲边梯形的面积的负值
定积分可视为对连续量求和
两个规定：
f (x ) dx =01、 当a =b 时，规定 a
2、 当a >b 时，规定
⎰b ⎰b a f (x ) dx =-⎰f (x ) dx b a 这个等式不论a ，b 谁大谁小均成立
牛顿—莱布尼茨公式
设F (x ) 是函数f (x ) 在区间[a,b]的一个原函数，即F ' (X ) =f (x ) ，则⎰b
a f (x ) dx =F (X ) a =F (b ) -F (a ) b
3. 求解两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤：
（1）作出示意图；（弄清相对位置关系）
（2）求交点坐标；（确定积分的上限，下限）
（3）确定积分变量及被积函数；
（4）列式求解
定积分在物理学中的应用
问题1：变速直线运动的路程
匀速直线运动：
匀加速直线运动：
任意直线运动：
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s 为
例1：一辆汽车的速度在一段时间内如图所示，求汽车在这1min 行驶的路程
例2：一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t2－4t ＋3(m/s)运动，求
(1) t＝4 s时的位移；
(2) t＝4 s时的路程．
问题 2：变力沿直线所作的功
恒力做功：W=FS
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为:W =⎰F (x ) dx a b
例1：如图在弹性范围内，将一弹簧从平衡位置拉到距离平衡位置Lm 处，求克服弹力所作的功。
例2. 设弹簧在1N 力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？
例3. 已知一弹簧长为25cm ，若加以100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，求使弹簧由25cm 伸长到40cm 所需作的功。
例4. 火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为m ，
问将火箭垂直地向上发射到
离地面高H 时，需作多少功。并由此计算初速度至少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围。
竞赛题
例5：一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度υ与它离地面的高度h 之间满足的关系是，
例6：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离为反比，当蚂蚁爬到距巢中心v =lv 0l +h 其中常数L=20cm，υ0=2cm/s。求它上爬20cm 所用的时间。 L 1=1m的A 点处时，速度是v 1=2cm/s，试问，蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m的B 点所需的时间为多少？