反比例函数是一种重要的函数,在中考试题中,涉及反比例函数的题目较多,下面将重点题型归纳如下:
一、确定函数关系式
例1(河北)在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量的某种气体,当改变容积V时,气体的密度也随之改变.在一定范围内,密度是容积V的反比例函数.当容积为5m3时,密度是1.4kg/m3,则与V的函数关系式为_______________.
分析:本题是一道与物理知识相关中考试题,解决本题不仅需要数学知识,而且需要的物理知识作基础.解决本题可设出与V的函数关系式=,其中m表示气体的质量,只要将V=5,=1.4代入关系式求出m即可.
解:设与V的函数关系式为=,把V=5,=1.4代入关系式,
得1.4=,解得m=7,所以与V的函数关系式为=.
提示:确定反比例函数关系式问题常和物理知识有关,这就要我们不要孤立学科之间的联系,而要注重不同学科之间知识的渗透.
例2(盐城)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.
(1)当他按原路匀速返回时,求汽车速度v(千米/时)与时间t(小时)之间的函数关系式;(2)如果该司机匀速返回时,用了4.8小时,求返回时的速度.
分析:本题是一道与行程问题有关的考题.根据实际问题可知甲、乙两地的路程为80=480千米是一个定值,当路程一定时,汽车速度v(千米/时)与时间t(小时)成反比例.即汽车速度v(千米/时)是时间t(小时)的反比例函数.
解:(1)因为s=80=480千米,所以汽车速度v(千米/时)与时间t(小时)之间的函数关系式V=;
(2)当t=4.8小时,速度V==100(千米/时).
提示:本题是一道较为简单的试题,解决问题需要正确理解往返的路程相等.
二、根据实际问题选择图象
例3(泸州)已知矩形的面积为24,则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可以表示为 ().
分析:根据实际问题选择图象,首先要写出函数的关系式,判断出函数是什么函数,然后再根据实际问题确定函数自变量的取值范围,根据范围确定函数图象所在的象限.
解:函数的关系式为y=(x>0),因为函数是反比例函数,所以它的图象是双曲线,又因为x>0,所以此函数的图象是双曲线的在第一象限的一个分支.故选(D).
评注:本题易出现漏掉自变量范围的确定,而错误地选择(C).
三、根据性质确定字母取值
例4(台州)已知函数y =(x>0),那么().
A.函数图象在第一象限内,且y 随x的增大而减小;
B.函数图象在第一象限内,且y 随x的增大而增大;
C.函数图象在第三象限内,且y 随x的增大而减小;
D.函数图象在第三象限内,且y 随x的增大而增大;
分析:本题主要考查反比例函数y=的性质.当k>0时,函数图象在一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;当k 解:选A.
提示:和反比例函数性质有关的问题还有比较大小,确定字母的取值等类型题.
四、根据图象确定函数关系式
例5(十堰)某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺了若干块木块,构筑成一条临时近道.木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围;
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板的面积至少要多大?
分析:本题是一道根据图象确定反比例函数关系式,并根据关系式解决实际问题的题目,从图中看双曲线经过点(1.5,400),根据这个信息,只要设出函数关系式将点的坐标代入计算即可.
解:(1)P=(S>0);
(2)当S=0.2 时,P==3000.即压强是3000Pa;
(3)由题意知,≤6000,所以S≥0.1.即木板面积至少要有0.1m2.
提示:根据函数图象求函数关系式,需要先设出函数关系式,然后确定函数图象一点的坐标,代入计算即可.
五、反比例函数与一次函数综合题
例6(资阳)已知一次函数y=x+m与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P(x0,2).
(1) 求x0及m的值;
(2) 求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标.
分析:本题是一道一次函数与反比例函数综合题.因为已知两函数交点坐标,所以只要把这一交点的坐标代入反比例函数关系式,确定x0的值,然后再将点的坐标代入一次函数关系式即可求到m 的值.
解:(1)因为 点P(x0,2)在反比例函数y=的图象上,
所以 2=,解得x0=1.所以 点P的坐标为(1,2).
又因为点P在一次函数y=x+m的图象上,
所以 2=1+m,解得m=1.所以 x0和m的值都为1.
(2) 由(1)知,一次函数的解析式为y=x+1,
取y=0,得x=-1;取x=0,得y=1.
所以一次函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、与y轴的交点坐标为(0,1).
提示:解决反比例函数与一次函数综合题,需要两个函数联合起来解决问题.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文