ZHUANTIYANJIU
专题研究 93
不定积分的性质及应用
吴晓庆 李佳俞 (安阳师范学院 455000)
摘要 本文主要对不定积分的性质和应用进行研究,归纳了几种求解不定积分的方法,能熟练的掌握和应用这几种方法对于解决不同形式的不定积分问题很有帮助,能够灵活应用拓宽思路,有效的求解不定积分.
关键词 原函数;不定积分的定义;不定积分的性质;不定积分的应用
一、微积分的历史发展
很早以前,微分和积分被作为两类不同的数学问题,不同的数学运算,分别加以研究的.但随着欧洲科学技术的迅猛发展,生产力的不断提高和社会科学领域等方面的迫切需要,经各个国家科学家的努力与历史的丰富积累,微积分理论在函数与极限概念基础上应运而生了.牛顿从物理方向,莱布尼茨从哲学方向把积分和微分真正意义的沟通起来,确定了两者之间内在的直接关系:微分和积分运算是互逆的,从而创立了现在的微积分.
二、原函数与不定积分
要更好的引入不定积分,先从原函数的定义出发,然后得出不定积分的定义,明白两者的关系很重要.
1 原函数的定义
如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对于任何一个x I都有F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数.
因为常数C的导数为0,所以当函数F(x)是f(x)在区间I上一个原函数时,[F(x)+C] =f(x),因此可以得出,f(x)在区间I上的原函数不是唯一存在的,而有无穷多的原函数.要注意到原函数是一个与区间相关的概念.
2 不定积分的定义
若F(x)是f(x)在某区间I上的一个原函数,则f(x)的全体原函数F(x)+C(C为任意常数)称为f(x)在该区间上的不定积分,记为
f(x)dx,即 f(x)dx=F(x)+C.
分常数则表示只求出了一个原函数.
积分的结果在形式上可能有所不同,但实质上只相差一个常数.
三、不定积分的性质
通过不定积分的定义,深入的了解不定积分的性质,更好的解决不定积分的问题.
性质1
F (x)dx=F(x)+C或 dF(x)=F(x)+C.
性质1直接可以由定义得出.
性质2 设函数f(x)和g(x)的原函数存在,则(f(x) g(x))dx= f(x)dx g(x)dx.
这个性质可以进行推广,如果是多个函数之和,则
如下:
[f(x)+ +f
1
n
(x)]dx=
f(x)dx+ + f(x)dx.
1
n
也可以换句话说,函数之和的不定积分就等于各个函
数的不定积分之和.
性质3 设函数f(x)的原函数存在,k是常数,则
kf(x)dx=kf(x)dx.
这个性质,可以由性质2推出来,如果函数f1(x)=f2(x)= =fn(x),则可以得出性质3.
性质3也可以这么说,求解不定积分时,被积函数有不为零的常数因子就可以提到积分号的外面来.
四、不定积分的几何意义
根据不定积分的定义和性质,可以知道函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,此积分曲线为一族积分曲线,f(x)为积分曲线的斜率,即曲线的切线,那么在这族积分曲线上的横坐标相同点处作切线,会得到切线彼此平行,因此也就组成了平行曲线族.这就是不定积分的几何意义.
几何意义的实际应用:如果我们要求出积分曲线族中的某一条特定的曲线,就必须另外再增加条件,根据这个条件确定积分常数C的值,就可以求出所需曲线.
例 曲线过点(0,1),且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值,求此曲线.
解 设所求的曲线为y=f(x),(x,y)为曲线上任一点.由导数的几何意义和题设条件可知y =f (x)=cosx.
由此可求得y=
cosxdx=sinx+C.
换句话说:要求出不定积分,只需要求出被积函数的一
个原函数,然后加上积分常数就行.
3 从原函数和不定积分的定义可以得出两者的关系积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系:
[
f(x)dx] =f(x)或d[f(x)dx]=f(x)dx,此公
式表明,先求积分,再求导数,两种运算的作用相互冲抵.
F (x)dx=F(x)+C或
dF(x)=F(x)+C,此公
式表明,先求导数,再求积分,两种运算的作用相互抵消后
还存在积分常数C.
由上面可以看出,如果要检验积分的结果是否正确,只要把积分结果进行求导,看其导数是否等于被积的函数.
再次强调一下,在求积分的时候也应当注意以下几点: 求不定积分时一定要加上积分常数,它表明一个函数的原函数有无穷多个,即要求的是全体原函数,若不加积
1
又因所求曲线过点(0,1),代入上式,得C=-1.于是所求的曲线为y=sinx-1.五、不定积分的应用
根据不定积分的定义和性质,由于不定积分和导数互为逆运算,所以根据记住一些基本的公式可以更好的应用到求不定积分的求解中.
1 基本积分表的使用,这里就不一一写积分表的公式了.2 根据不定积分的性质和积分表,由于不定积分的计算有很多的类型和技巧,把这些类型和技巧加以梳理,不定
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积分的求解可以归纳为以下几种方法:
第一种 换元法
设f(u)原函数存在,同时u= (x)可导,则利用换元法公式如下:
f[ (x)] (x)dx= f(u)du|= (x), 即 f[ (x)] (x)dx= f( (x))d (x).
u
由此可以看出,利用换元法可以转换成我们经常用的形式来运算.换元法中常用的有 有理代换 倒代换法 三角代换 指数代换 等等,形式很灵活的.
第二种 分部积分法
这种方法是建立在导数乘法法则的基础上推出来的,过程如下:
(uv) =u v+uv ,
(uv) dx=u uv dx,
vdx+ uv= u vdx+ uv dx, uv dx=vu- u vdx.
从上面 式中可以看出,若被积函数可以表示为uv 的形式,则可以利用 式进行计算.
第三种 特殊函数形式的灵活转化
在求不定积分的时候,可以通过 1 的不同转化形式,得到自己熟悉的形式,从而简化操作.比如在存在三角函数的不定积分中,就可以想到 1 的妙用.当被积函数由三角函数所组成时,经常利用三角恒等式将被积函数简化.常用的三角恒等式是倍角公式、两角和公式和积化和差公式等,如:
1
1=sin2x+cos2x,cos2x=(1+cos2x),
2
1
sin2x=(1-cos2x).
2
还可以总结出以下两个降低幂次的万能公式:
1
f(xn)xn-1dx=f(xn)dxn,
n
111f(xn)dx=f(xn)ndxn.
xnx
利用这两个公式可以简化很多复杂的幂函数,所以灵
活应用特殊函数可以达到事半功倍的效果.
第四种 分段函数的求解
由于求不定积分可能会遇到绝对值、分段、定义域不连续等情况,所以对分段函数的求解要考虑周全,同时也要考虑到原函数的连续性问题,但基本的方法还是前面讲到的方法.
六,总 述
综上所述,在理解不定积分的定义的基础上要搞清楚被积函数、原函数与不定积分之间的关系,还有不定积分的几何意义的理解.求解一个不定积分时,不同的思路就可以产生不同的解法.一般思路来说,求解不定积分的时候,首先考虑到是否能用不定积分的性质,或者是将被积式进行化简,再直接求解;其次考虑的是能否可用换元法;最后考虑到的是分部积分法,或综合使用上述方法,或者是一些特殊的函数.可以看出不定积分的求解是非常灵活的,可以根据形式的不同,把最基本的方法应用到当中去,以上的几种方法也是经常用到的,但并不拘泥于这几种,所以以后可以根据具体的题目,灵活的改变方法,在此也就不能一一举例说明了,主要靠经验的积累.前面也提到,不定积分的性质说明微分与积分两者是互为逆运算的,因此我们可以利用求导数的方法来验证积分的结果.
参考文献
[1]徐志庭,刘名生,冯伟贞.微积分.北京:科学教育出版社,2009.
[2]吴赣昌.高等数学[M].北京:中国人民大学出版社,2009.
[3]李文林.数学史教程.北京:高等教育出版社,2000.[4]王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程讲义.第二版.北京:高等教育出版社,1983.
[5]同济大学应用数学系主编.高等数学.第四版.北京:高等教育出版社,2002.
[6]同济大学应用数学系主编.高等数学.第五版.北京:高等教育出版社,2002.
(上接92页)
结合(9)(10)可知U和E是有界线性算子.
定理 (A+U+E)生成某个正压缩C0 半群T(t).证明 根据C0 半群的唯一性(A+U+E)生成的正压缩C0 半群正是T(t).根据Banach空间理论,可以证明X的共轭空间为
X*={q* R L [0, ) L [0, ) ||||q*|||
=sup{|q0|,sup qn L [0, )}
n 1
那么q* X*,并且 P,q = P (P0+
n=1
2
P
n
(x)dx)
(11)
= P 2=|||q|||.(11)式表明q* (P),这里
很明显X也是Banach空间.在X中取集合
Y(x)={P X|P(x)=(P0,P1(x),P2(x),P3(x), ),P0 0,Pn(x) 0,n 1,x [0, )}.
那么Y(x)是X中的一个锥.在Y(x)中我们引入如下序关系:P y P0 y0,Pn yn,n 1,P,y Y(x).
则在这个关系下Y(x)是一个偏序集.由定理保证了T(t)Y(x) Y(x).
对P D(A) Y(x),我们取*q(x)= P (1,1,1,1, ).
*
(P)={q* X*| P,q* = P 2=|||q|||2}.
对P Y,q* X*,并且利用边界条件我们可以证明 (A+U+E)P,q* = P P
- +P0+
r(x)P
1
(x)dx+
-
n=2
P
dP1(x)
-( ++r(x))P1(x)dx+dx
dPn(x)
+Pn-1(x)--0dx
(12)
+-1
( +r(x))Pn(x)+ Pn+1(x)dx=0.
(12)表明(A+U+E)是一个保守算子.
2011 1