把握契机
催发出知识、能力、
学习情感生长点经中进
江苏江浦高级中学
211800
这个角度切入, 结合自身在教
中
等
£
摘要：针对高中学
生学习数学的
一些现象
, 笔者从教
师应
该坚
守课
堂
阵地 学中的一些做法, 阐述了要把握好契机, 全面催发出学生的知识生长㊁ 能力生长, 乃至于数学学习情教
感的生长. 育关键词：把握契机；教材例题；习题解法；学习评价；知识生长；能力生长；学习情感生长
学生学习数学中经常出现一些现生, 得到答案是α+β=
教材例题, 把握契机, 增加；而通过计算象：上课听懂了, 但自己做题的时候就例题的信息承载厚度, 催发出知识的生
sin (α+β) 的学生, 得到答案是α+β=
错；简单的题目会模仿, 稍微复杂点的长点
就不知如何入手了；部分学生学习数学例1（苏教版必修4教材115页例热情不高, 数学成绩很糟糕, 进而对数3）如图1, 三个相同的正方形相接, 求. 为此, 学生感到很困惑, 甚至对或后者的做法产生了质疑. 学很没信心甚至于畏惧.
证：α+β=
学生是否主动学习, 学习方法是否. 教师：那是不是可以缩小α+β的取值范围呢？科学, 有无构建良好的知识体系等都是在原因, 但还有一个更重要的原因来源于教师. 由于教师在对教材的整体把握上存在较大差异, 而班级学生人数太多, 教﹙教师的引导下, 学生发现：由于
βαα㊁ βɪ 0,
图1
﹚
, sin α=11
_＜, sin β=师有很多精力也被分散在批改作业㊁ 管课本的解答：首先通过两角和的正1ɿ
理学生上等等, 诸多因素导致教师没能切公式, 计算出tan (α+β) =1的值. 然后ɿ _深入钻研教材㊁ 仔细研究教法, 一些课的由α, βɪ 教学设计也较粗犷. 课堂上很多能让学0, , 得到α+βɪ( 0,π),从
＜1
, 从而α㊁ βɪ 0, ﹚
﹙﹚
此, 问题得到生知识生长㊁ 能力生长㊁ 数学情感生长的而得到α+﹙βɪ 0, , 于是α+, 故α+β=. 至解决.
β=契机, 由于教师的疏忽或者备课不充分, .
﹚
点评：如此一来, 在教师的引导下, 轻易 滑 过去了. 如果我们教师能把课笔者在讲解完书上解答过程, 强调
学生至少多收获了两点：堂这块 阵地 坚守好, 用心做好学生学了要计算α+βɪ( 0,π),才能得到习的引导者㊁ 组织者㊁ 合作者, 在课堂上α+β=催发出学生的知识㊁ 能力㊁ 学习情感的生. 然后提问：还可以怎么做？cos (α((+12β) 还可以通过计算) ) 在的某值些, 来情求况α+下β的大, 必须小sin 给. (α+β),
角的取
学生值范围重新界定.
长点, 学生学习数学的热情将被积极调动起来, 学好数学的信心也将得到大大cos (α+β) （的值众）由于教师把握了例题教学中的契好的, ：来通, 大求过计算家α+动手β的大sin 试试小(α.
+β) 或者教师：. 机, 增加了例题的信息承载厚度, 学生的增强. 本文笔者结合自身的一些教学5分钟后, 学生基本算好了. 无需多练多少题, 就能接受到了更多的实践, 简单谈谈自己的认识与理解.
结果呈现：通过计算cos (α+β) 的学
知识, 达到解一题㊁ 通一片㊁ 提高一步的
18
目的. 在某种程度上说, 提高了教学效率, 也减轻了学生的负担.
2. 加强习题解法的探究, 把握契机, 引导学生构建良好的认知结构, 催发出能力的生长点
例2设a =(cos 25ʎ , sin 25ʎ ), b =
(求μ的ʎ , cos 最小20值ʎ ), .
若t 是实数, 且μ=a +tb ,
教师投影展示了学生1的解题过程：
因为a =b =1, a · b =cos 25ʎ sin 20ʎ +sin _
25ʎ cos =(25ʎ +20ʎ ) =sin 45ʎ =,
所以μ2
=a +tb 2
=(a +tb ) 2=a 2
+2ta ·
b +t2b 2=t2+ɿ _t+1=t+_
_
所以μȡ ﹚2
+1ȡ 1. , 即μ的最小值
_
为.
教师：在计算a +tb 时, 也可以将a , b 的坐标代入, 得到μ=a +tb 的坐标（含参数t ）, 再用坐标表示出μ含参数t ）, 一样转化为关于t 的一元二次函数求值域. 但如果t 是正数呢？
学生（众）：定义域就是(0, +ɕ ), μ的取值范围为
﹙1
, +ɕ 教师：很好. 说明大﹚. 家很有函数思想啊. 那么还有其他解法吗？
这时看见有人举手, 笔者示意他站起来说.
学生2：老师, 是不是可以用数形结合方法来做？
（更多的学生表示出了明显的兴趣）
教师笑着问：其他同学看可以吗？学生以 数 与 形3 ：的应该可, 因为向量是沟通
(教学师生思考中 桥梁：条件对应 )
, 但怎么作图呢？
的图怎么作, 所求的图又怎样作呢？
学生4自告奋勇上黑板, 作图如下：学生4：a b , 其中ø xOA=25ʎ ,ø xOB=20ʎ. （不好意思地笑了一下）
不过原本我做错了, 后来经下面的同学提醒, 发现a 与b 相等, 都为1, 我修改了下.
y
A
O
B x
图2y
A O
B
x
图3
（说明：原本学生4作的是图2，修改后的图即图3）
教师：大家觉得图还有问题吗？学生5：向量b 画错了, 应该ø xOB=70(cos ʎ. 20按ʎ , 学sin 生204ʎ ), 作而的不是图, b (sin 的20坐ʎ 标, cos 应20该ʎ 是而(sin 20ʎ , cos 20ʎ ) 即为(cos 70ʎ , sin 70ʎ ) ),
. 于是, 教师把图3修改成了正确的
图4. _
y
A
B
O
x
图4
这时, 下面好多学生反应过来了, 纷纷赞同.
教师：这个几何背景熟悉吗？角和坐标的关系？
学生6：我知道, 几何背景是任意三角函数的定义式：
设P (x , y ) 是角α的终边上任意一点, 则sin α=y
, cos α=x 其中r=ɿ .
当r=1, 点P (x , y ) 即为角α的终边与单位圆的交点. 此时sin α,
sin α=y, cos α=x, 即x=cos α, y=所以P (cos α, sin α) .
教师：很好, 所以A ㊁ B 分别为角25ʎ ㊁ 70ʎ 的终边与单位圆的交点, 其坐标分别
为(cos 25ʎ , sin 25ʎ ) 和(cos 70ʎ , sin 70ʎ ), 亦坐标.
教师：本道题的几何背景是单位圆㊁ 向量及任意角的三角函数定义的综合, 将它们结合起来考查分析问题㊁ 解决问题㊁ 综合运用知识的能力, 是今后高考
命题的方向. 所以, 本道题研究几何方法, 还是很有价值的. 另外, 向量是沟通三角㊁ 几何㊁ 函数的工具, 应好好感受.
教师：那么接下来呢？μ的最小值怎么求呢？
学生7（插话）：首先要把μ=a +tb 在图中作出来啊.
教师：那你试一试.
学生7上黑板画好, 解释：邻边作平行四边形, 则对角为μ=a +tb .
学生8：他作的是t＞0时的μ, 但t 还可以小于0或者等于0. 邻边作平行四边形, 则对角即为t＜0时的μ. 另外, 当t=0时的μ=a , 此时μ=a =1. _________________________
教师：很好, 我们看图（图5）.
那么μ的最小值怎么求呢？（学生普遍感到很困难）
C
B ＇
y
A
O
B
x
C ＇
B ＂
图5
教师：我们把关键部分图象抽出来, 如图6. 观察哪些是定量, 哪些是变量.
B ＇
C
l
A
O
B
C ＇
B
＂
图619
几分钟后, 学生9举手发言. 学生9：向知小未知, 但方向行化而变化. 还有ø BOA=70ʎ- 25ʎ =45ʎ.
教师：也就是说点B ㊁ C 为动点, 但动中有定吗？
学生10：动点C 在行的过点O 的直线l 上.
教师：能观
察出μ何时最小吗？
（下面讨论开了）
学生11：当OC ʅ l
时, μ即
或
最短, 最小1ˑ sin 45ʎ =_
sin ø OAC=
, 易得此时_
t=-.
（图7）
C
l
B ＇A O
B C C ＇B ＂
图7
点评：教师要鼓励学生善于观察比较㊁ 抽象概括㊁ 大胆猜想㊁ 勇于实践, 引导学生自主构建良好的知识体系, 强化学生的数学应用意识, 引导学生换个角度来思考问题, 把问题的面想得更宽广些, 方法的触角伸得更远些, 催发出数学能力的生长.
3. 重视学生学习过程评价, 把握契机, 催发学生学习情感的生长点
例7﹚
3与向量a =
﹙, 1﹚及b =﹙
1, -7
的夹角相等的单位向量的坐标是_____________._____
解题过程：设所求向量c =(x , y ), 由c =1, 得由于c 与a 及ɿ b 的夹角相等=1_①.
, 且a =b , 得a •c =b •c ,
所以7x+1y=1x -7
y_②.
20
⎧ ⏐
⏐ ⏐ ⎧ ⏐ 由①㊁ ②, 解得
⏐ x=4⏐ ⏐ x=-
4⎨ ⏐ ⏐ , , ⏐ ⏐ 或
⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
⏐ ⏐ ⏐ y=3所以c =﹙
4, -3﹚-,
或﹙
⎩
⏐ ⏐ ⏐ y=3-4, 3
﹚
, .
笔者刚刚讲解完, 下面有一个学生举手, 以下是他的解题过程：
如图（图8）, 由于a ʅ b , 且a =b , 则以a , b 为邻边作平行四边形为正方形, 所以和向量a +b 所在的直线为对角线. 经分析, 所求的c 即为与a +b 平行的单位向量.
y
a
O
x
c
b 图8
因为a +b =(4, -3), 将其单位化即为所求.
所以c =ʃ
1(4, -3) =ʃ ﹙4, -3
﹚
.
刚展示完, 下面爆发了雷鸣般的掌声, 大家很振奋
教师：非常好！因为要求的单位向量在a , b 夹角的角平分线或其方向延长线上, 他发现以a , b 为邻边的平行四边形为正方形, a , b 夹角的角平分线即为和向量a +b 所在的直线, 充分利用了向量的几何意义, 由此得到很巧妙的方法, 大大减少了计算量. 我们要像他学习, 善于观察㊁ 比较㊁ 发现, 多角度㊁ 多层次的分析问题, 寻求多种解题思路.
事后表明, 该学生对数学的兴趣更浓, 在后面的学习中表现更突出, 在随后的一次阶段性考试中, 一跃从班上30几名进入前10名.
点评：美国著名数学史学家M •克莱因(M.Klein ) 一针见血地指出： 数学教育的最大缺陷之一正是缺乏情感的投入. 因此, 现代数学教学方法特别重视情感的投入. 教师若能在课堂上把握契机, 重视对学生学习过程中的评价, 赏识学生, 让学生在轻松愉快的情境中学习, 定能催发出学习情感的生长点.
1. 点反思
分挖掘教材的功能
新课程改革有一个很明显的特点就是改 教教材 为 用教材教 . 然而, 有些教师显然是对教材中的例㊁ 习题的功能认识不足或者重视不够, 他们不太爱用教材, 平日热衷于题海战术, 学生学习负担很重, 而且效果也不是很理想. 殊不知教材本身就是个宝藏, 课本中的例㊁ 习题是专家严格筛选配置的, 里面蕴含了丰富的数学思想㊁ 方法, 具有很高的学习研究价值.
教师应在充分理解教材编写者意图的基础上, 对教材进行深入理解㊁ 挖掘, 并进行加工；加工成可操作或可探究的问题, 引导学生在解决问题的过程中进行资料收集㊁ 实验观察㊁ 猜想证明㊁ 类比推理, 获取新知识, 并能将知识按照内部联系进行有效整合, 顺应到自己的认知结构中, 知识联系更全面㊁ 解题能力更突出, 从而促进数学素质的延伸与开发.
2. 做好习题教学中的选题工作本文中例2的最大特点就是 切口小, 视角新 . 切口小 体现在该题就是一道求可变向量模的最小值的题目, 方法一强化了函数的思想. 视角新 主要体现在方法二（数形结合方法）的几何背景的建构, 对于学生来说很新颖. 教师引导学生换个新的角度解决问题, 将知识前后串联起来, 构建出学生知识㊁ 能力的生长点. 切口小, 视角新 的设计理念, 符合华罗庚教授提出的 从另外一个角度进行复习 的经验, 既能对原有知识内容进一步梳理和强化, 又能在教师引导下进行 再创造 , 带着学生螺旋上升, 促使学生从多角度思考问题生发出更多的认知, 优化自己的解题思路, 促进学生良好的知识结构的自我构建.
总之, 教师应该坚守好课堂 阵地 , 做个善于研究㊁ 勇于创新的教育实践者：加强对教材㊁ 大纲的研究, 充分挖掘教材的功能；重视过程教学, 引导学生自主构建良好的知识体系；重视学习过程评价, 关注学生的学习情感；全面催发出学生的知识㊁ 能力㊁ 学习情感的生长点, 让更多的学生
得到更好的
发展.
把握契机催发出知识、能力、学习情感生长点
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
经中进
江苏江浦高级中学 211800数学教学通讯
SHUXUE JIAOXUE TONGXUN2015(18)
引用本文格式：经中进 把握契机催发出知识、能力、学习情感生长点[期刊论文]-数学教学通讯 2015(18)