函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法 2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法 【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f (x ) 是一次函数，且f ，求f (x ) [f (x )]=4x +3解：设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，则
2
f [f (x )]=af (x ) +b =a (ax +b ) +b =a x +ab +b
⎧a =2a =-2⎧a 2=4⎧
或 ∴⎨ ∴⎨⎨b =1b =3ab +b =3⎩⎩⎩
∴f (x ) =2x +1 或 f (x ) =-2x +3
x x +12
1．设f (x ) 是一元二次函数, g , 且g , (x ) =2⋅f (x ) (x +1) -g (x ) =2⋅x
求f (x ) 与g (x ) .
变式训练．设二次函数f (x ) 满足f , 且图象在y 轴上截距为1, (x -2) =f (-x -2) 在x 轴上截得的线段长为22, 求f (x ) 的表达式.
二、 配凑法：已知复合函数f [g (x ) ]的表达式，求f (x ) 的解析式，f [g (x ) ]的表达式
容易配成g (x ) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f (x ) 的定义域不是原复合函数的定义域，而是g (x ) 的值域。
1
(x >0) ，求 f (x ) 的解析式 2x
1121
解： ， x +≥2 f (x ) =(x ) -2
x x x
例2 已知f (x ) =x 2
2
∴ (x ≥2) f (x ) =x -2
1
x
三、换元法：已知复合函数f [g (x ) ]的表达式时，还可以用换元法求f (x ) 的解析式。与
配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知f ，求f (x +1x +1) =x x )
1，则t ≥1，x =(解：令t =x +t -1)
x +1) =x x f
22
(t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1, ∴f
2
(x ≥1) ∴f (x ) =x -1
22
(x ≥0) ∴f (x +1) =(x +1) -1=x +2x
2
1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
1x
变式训练．若f () =, 求f (x ) .
x 1-x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数y 的图象关于点(-2, 3) 对称，求g (x ) 的解析式 =x +x 与y =g (x )
2
'(x '') 为M (x , y ) 关于点(-2, 3) 的对称点 解：设M (x , y ) 为y =g (x ) 上任一点，且M , y
⎧x '+x
⎪2=-2⎧x '=-x -4
则⎨，解得：⎨ ，
y '+y 'y =6-y ⎩⎪=3⎩2
'(x '') 在y =g , y (x ) 上 点M
2'='' ∴y x +x
把⎨
⎧x '=-x -4
代入得：
⎩y '=6-y
2
6-y =(-x -4) +(-x -4)
2
整理得y =-x -7x -6
2
(x ) =-x -7x -6∴g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构
造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设f (x ) 满足f (x ) -2f ) =x , 求f (x ) 解 f (x ) -2f ) =x ① 显然x ≠0, 将x 换成
1x
1x
1
，得： x
11f ) -2f (x ) ② x x
解① ②联立的方程组，得：
x 2f (x ) =-
33x
1．设函数f (x ) 是定义(－∞,0) ∪(0,+ ∞) 在上的函数, 且满足关系式
1
3f (x ) +2f ) =4x , 求f (x ) 的解析式.
x
x -1
变式训练．若f (, 求f (x ) . x ) +f ) =1+x
x
例6 设f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，又f (x ) +g (x ) 式
解 f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数， ∴f (-x ) =f (x ), g (-x ) =-g (x ) 又f (x ) +g (x ) 1
, 试求f (x ) 和g (x ) 的解析x -1
1
① ， x -1
1
x +1
用-x 替换x 得：f (-x ) +g (-x ) =即f (x ) -g (x ) =1
② x +1
解① ②联立的方程组，得
11， g (x ) =x 2-1x 2-x
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”
f (x ) =
的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f (0恒成立，) =1，对于任意实数x 、y ，等式f (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1)
求f (x )
解 对于任意实数x 、y ，等式f 恒成立， (x -y ) =f (x ) -y (2x -y +1)
不妨令x =0，则有f (-y ) =f (0) -y (-y +1) =1+y (y -1) =y -y +1再令 -y =x 得函数解析式为：f (x ) =x +x +1
2
2
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设f (x ) 是定义在N
+
上的函数，满足f (1) =1，对任意的自然数a , b 都有
，求f (x ) f (a ) +f (b ) =f (a +b ) -a
解 f ， (a ) +f (b ) =f (a +b ) -ab ，a , b ∈N +，得：f ， , b =1(x ) +f (1) =f (x +1) -x ∴不妨令a =x
又f ① (1) =1, 故f (x +1) -f (x ) =x +1分别令①式中的x 得： =1, 2 n -1
f (2) -f (1)=2,
f (3)-f (2) =3,
f (n ) -f (n -1) =n ,
将上述各式相加得：f ， (n ) -f (1) =2+3+ n
n (n +1)
∴f (n ) =1+2+3+n 2
121
∴f (x ) x x , x ∈N +
22
【过手练习】
1. 已知函数f (x ) 满足2，则f (x ) = 。 f (x ) +f (-x )34=x +
2. 已知f (x ) 是二次函数，且f ，求f (x ) 的解析式。 (x +1) +-f (x 1)2=-x 4x
2
【拓展训练】
1. 求下列函数的定义域：
10⑴y （2
）y +(2x -1) 11x -1
2. 设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x ) 的定义域为 ；
2
函数f -2) 的定义域为 。
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2，x -1) 的定义域是 ；函数3]，则函数f (2
1
f (+2) 的定义域为 。 x
4. 知函数f (x ) 的定义域为[-1, 1]，且函数F 的定义域存在，求(xf ) =+(x m ) --f (x m ) 实数m 的取值范围。
5. 求下列函数的值域：
⑴y (x ∈R ) ⑵y x ∈=x +2x -3=x +2x -3[1,2] ⑶y =
2
2
3x -1
x +1
5x 2＋9x +43x -1⑷y = (x ≥5) ⑸
y = ⑹ y =
x 2-1x +1
⑺y ⑻y =2- ⑼
y x -x
⑽
y
⑾y =x
2
2x +a x +b
6. 已知函数f (x 的值域为[1，3]，求a , b 的值。 ) 2
x +1
2
7. 已知函数f ，求函数f (x ) ，f (2(x -1) =x -4x x +1) 的解析式。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数，且当x ，则当x ∈[0, +∞) 时，
f ()∈(-∞,0) 时x =x (f (x ) = ；f (x ) 在R 上的解析式为 。
9. 设f (x ) 与g (x ) 的定义域是{，f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，且x |xRx ∈, 且≠±1}
1
，求f (x ) 与g (x ) 的解析表达式 f (x ) +g (x ) x -1
10. 求下列函数的单调区间：
2 ⑴ y
⑵y ⑶ y =x --1=x +2x +32
11. 函数f (x ) 在[0, +∞) 上是单调递减函数，则f ( 1-x ) 的单调递增区间是 。
2
12. 函数y =
2-x
的递减区间是
；函数y =的递减区间是 。
3x +6
【课后作业】
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴y 1(x +3)(x -5)
， y ⑵y ， y ； x +1)(x -1) 5；x -12(2=x -1x
x +3
2
⑶f (x ， (x ) 2x -5) (x ) =x 2 ； ⑷f (x ) ； ⑸f ) =x ， g ) =x ，
g (x 1
。 f (x ) =2x -52
A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ 2. 若函数f (x ) =
C 、 ⑷ D、 ⑶、⑸
x -4
的定义域为R , 则实数m 的取值范围是 （ ） 2
mx +4mx +3
333
A 、(－∞,+∞) B 、(0,] C 、(,+∞) D 、[0, )
444
3.
若函数f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） ()x (A)0 (B) 0 (C) m ≥4 (D) 0 0
2
(A) 02 (C) x 3 (D) - 21
函数fx ） () A 、[-2,2]
B 、(-2,2) C 、( D 、{-2,2} -∞, -2) (2, +∞)
6. 函数f (x ) =x (x ≠0) 是（ ）
A 、奇函数，且在(0，1) 上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1) 上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1) 上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1) 上是减函数
1x
⎧x +2(x ≤-1) ⎪
7. 函数f (x ) =⎨x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
8. 已知函数f (x ) 的定义域是(0，1]，则g 的定义域(x ) =fxafxa (+⋅) (-)
1
2
mx +n
的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 2
x +11
10. 把函数y =的图象沿x 轴向左平移一个单位后，得到图象C ，则C 关于原点对称的
x +1
9. 已知函数y =图象的解析式为
11. 求函数f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值 (x ) =x -2ax -1
2
12. 若函数f 时的最小值为g (t ) ，求函数g (t ) 当t ∈[-3,-2]时(x ) =x -2x +2, 当x ∈[t , t +1]的最值。
2
+-=8a 013. 已知a ∈R ，讨论关于x 的方程x 的根的情况。
2
14. 已知
12
若fx 在区间[1，3]上的最大值为M (a ) ，最小值为N (a ) ，() =a x -2x +1≤a ≤1，
3
令g 。（1）求函数g (a ) 的表达式；（2）判断函数g (a ) 的单调性，并求g (a ) (a ) =M (aN ) -(a ) 的最小值。
15. 定义在R 上的函数y ，当x >0时，f (x ) >1，且对任意a , b ∈R ，=fx () , 且f (0) ≠0
。 ⑴求f (0)； ⑵求证：对任意x ；⑶求证：fa (+b ) =fa ()(f b ) ∈R , 有f ()x >0
2
，求x 的取值范围。 ()(x f 2x -x ) >1f (x ) 在R 上是增函数； ⑷若f
函 数 练 习 题 答 案
一、函数定义域：
1、（1）{ （2）{x |x ≥0} （3）x |x ≥5或x ≤-3或x ≠-6}
1
{x |-2≤≤x 2且x ≠0, x , x ≠1}
2
2、[-1,1]； [4,9] 3、[0, -≤1m ≤1二、函数值域：
5、（1）{ （2）y ∈ （4）y ∈[, 3) y |y ≥-4}[0,5] （3）{y |y ≠3} （5）y （8）y ∈R 且y } （7）{∈[-3,2) （6）{y |y ≠5y |y ≥4} （9）y ∈[0,3] （10）y ∈[1,4] （11）{y |y ≤ 6、a =±2, b =2三、函数解析式：
1、f ； f 2、f 3、()x =x -2x -3(2x +=1) 4x -4()x =x -2x -1
2
2
2
511
]; (-, ] , +∞) 4、232
7
3
12
12
4
f (x ) =3x +
3
⎧x (1(x ≥0) 1⎪4
、f () 5、f (x ) =2 ) =⎨x =x (
；f (x
x -1x (1(x
x
g (x ) =2
x -1
四、单调区间：
6、（1）增区间：[-1, +∞) 减区间：(-∞-, 1] （2）增区间：[-1,1] 减区间：[1,3] （3）增区间：[3 减区间：[ -, 0], [3, +∞) 0, 3], (-∞, -3]7、[0,1] 8、( (-2,2] -∞, -2) , (2-, +∞) 五、综合题：
C D B B D B
14
15、(-aa , +1] 16、m =±4 n =3 17、y =
1
x -2
时，fx 18、解：对称轴为x =a （1）a ≤0 ， fx ()=f (0) =-1() =f (2) =3-4a m i n m a x
（
fx () =f (2) =3-4a m a x
（
fx () =f (0) =-1m a x
（4）
fx () =f (0) =-1m a x
3）2）
0
2
fx () =fa () =-a -1m i n
，
1
2
fx () =fa () =-a -1m i n
，
a >2时
，
fx () =f (2) =3-4a m i n
，
⎧t 2+1(t ≤0)
⎪
19、解：g (t ) =⎨1(0
⎪t 2-2t +2(t ≥1) ⎩
∴∴
20、21、22、（略）
在[-也为减函数 ()=t +13, -2]上，gt
2
g (t ) =g (2-=) 5(t ) =-=g (3) 10， g m i n m a x