等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示， 若不能，则用分段函数的形式表示为a n =⎨
〖例1〗
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n >0, =2S n
2
分析：
将无理问题有理化，而后利用a n 与S n 的关系求解。
二、等差数列及其前n 项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ，第二种是利用等差中项，即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n =An+B,则{a n }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式（A ，B 是常数），则{a n }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=（1）求证：{
1 2
1
}是等差数列； S n
（2）求a n 的表达式。
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1. 其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa n ＋a n －p (p ∈R) ，
则{a n }的通项公式为________．
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ，共涉及五个22
量a 1，a n ，d,n, S n , “知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ，故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ，且x 1，x 4，x 5成等差数列。
注：因为
求：
（1）p , q 的值；
（2）数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析：（1）由x 1=3与x 1，x 4，x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ；（2）通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d
已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和。
（1）若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别：若m+n=2p，则a m +a n =2a p 。 （2）a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列，公差为kd; （3）数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ，则偶奇； S 偶a n +1
（5）若等差数列的项数为2n -1n ∈N +，则S 2n -1=2n -1a n ，且S 奇-S 偶=a n ，
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
{a n }{{c ⋅a n }{（6）如果数列 , b n }是等差数列，则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。
（其中c 、p 、q 均为常数）。
典型例题
1．等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100，则S 3n =＝________；
2. （厦门）在等差数列{a n }中， a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 （ ） A ．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9
4、等差数列{an } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且
A n 7n +45a
，则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是（ ）
A ．2 B．3 C．4 D．5
1
6、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n ) ＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m －n |的值等于________．
4
7、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
S 7n +3，则a 8 .
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且满足n ==
T n n +3b 8
★等差数列的最值：
若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若a 1>0,d
⎧a n ≥0
，前n 项和S n 最大；
a ≤0⎩n +1
⎧a n ≤0
（2）若a 10，且满足⎨，前n 项和S n 最小；
a ≥0⎩n +1
（3）除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解，注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中，a 16+a 17+a 18=a 9=-36，其前n 项和为S n 。
（1）求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值； （2）求T n =a 1+a 2+ a n 。
分析：（1）可由已知条件，求出a 1,d, 利用⎨
⎧a n ≥0
求解，亦可用S n 利用二次函数求最值；
⎩a n +1≤0
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
（1）若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; （2）若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n .
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n
log 3a n ·log 3a n ＋1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A ．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a，a 为常数，则公差d= （
）
3. 在等差数列{an } 中，若a 1+a2=-18，a 5+a6=-2，则30是这个数列的（ ） A ．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ） A ．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{an }中，a 1+a2+a3=-15，a 3+a4=-16，则a 1= （ ） A ．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）
7. 已知数列{an }是等差数列，且a 3+a11=40，则a 6+a7+a8等于 （ ） A ．84 B． 72 C．60 D．43
8. 已知等差数列{an }中，a 1+a3+a5=3，则a 2+a4= （ ） A ．3 B．2 C．1 D．-1
9. 已知数列{a n }：3，7，，，……，则在此数列{a n }中应是（ ） A ．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项
1
10. 已知数列{a n }中，a 1=3，前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
（1）求证：数列{a n }是等差数列 （2）求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
（3）设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ，是否存在实数M ，使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立？若存在，
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值，若不存在，试说明理由。
等差数列知识点及类型题
一、数列
由a n 与S n 的关系求a n
由S n 求a n 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示， 若不能，则用分段函数的形式表示为a n =⎨
(n =1) ⎧S 1
。
⎩S n -S n -1(n ≥2)
〖例1〗根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式。
a n +2a n
>0, =2S n
2
分析：
将无理问题有理化，而后利用a n 与S n 的关系求解。
解答：
二、等差数列及其前n 项和
（一）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，a n -a n -1=d (常数)(n ≥2) ，第二种是利用等差中项，即2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) 。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n =An+B,则{a n }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n =An 2+Bn 的形式（A ，B 是常数），则{a n }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例2〗已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n -S n -1+2S n S n -1=0(n ≥2), a 1=（1）求证：{
1 2
1
}是等差数列； S n
11与的关系→结论； S n S n -1
（2）求a n 的表达式。
分析：（1）S n -S n -1+2S n S n -1=0→（2）由
1
的关系式→S n 的关系式→a n S n
解答：（1）等式两边同除以S n S n -1得首项，以2为公差的等差数列。
（2）由（1）知
1111111
-+2=0，即-=2
（n ≥2）. ∴{}是以==2为
S n -1S n S n S n -1S n S 1a 1
1111
=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴S n =, 当n ≥2时，a n =2S n ·S n -1=。又
2n 2n (n -1) S n S 1
⎧1
⎪1⎪2
∵a 1=，不适合上式，故a n =⎨
12⎪⎪⎩2n (n -1)
(n =1)
。
(n ≥2)
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1. 其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －p (p ∈R) ，则{a n }的通项公式为________．
∵a 1＝1，∴2a 1＝2pa 21＋a 1－p ，
即2＝2p ＋1－p ，得p ＝1. 于是2S n ＝2a 2n ＋a n －1.
22
当n ≥2时，有2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1，两式相减，得2a n ＝2a n －2a n －1＋a n －a n －1，
1
整理，得2(a n ＋a n －1)·(a n －a n －1－) ＝0.
2
11n ＋1
又∵a n >0，∴a n －a n －1＝，于是{a n }是等差数列，故a n ＝1＋(n －1)·＝.
222
（二）等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 及前n 项和公式S n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d ，共涉及五个22
量a 1，a n ，d,n, S n , “知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
S n d S d d
=n +a 1-=a 1+(n -1) ，故数列{n }是等差数列。 n 222n
〖例3〗已知数列{x n }的首项x 1=3，通项x n =2n p +nq (n ∈N *, p , q 为常数) ，且x 1，x 4，x 5成等差数列。
注：因为
求：
（1）p , q 的值；
（2）数列{x n }的前n 项和S n 的公式。
分析：（1）由x 1=3与x 1，x 4，x 5成等差数列列出方程组即可求出p , q ；（2）通过x n 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由x 1=3得2p +q =3„„„„„„„„„„„„„„①
又x 4=24p +4q , x 5=25p +5q , 且x 1+x 5=2x 4，得3+25p +5q =25p +8q „„„„„„„② 由①②联立得p =1, q =1。 （2）由（1）得x n =2n +n ，
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d
已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和。
（1）若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q , 特别：若m+n=2p，则a m +a n =2a p 。 （2）a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , 仍是等差数列，公差为kd; （3）数列S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , L 也是等差数列； (4)若等差数列的项数为2n n ∈N
(
+
)
S 奇a n
=S -S =nd ，则偶奇； S 偶a n +1
（5）若等差数列的项数为2n -1n ∈N +，则S 2n -1=2n -1a n ，且S 奇-S 偶=a n ，
()()
S 奇S 偶
=
n n -1
（6）如果数列 {a n }{{c ⋅a n }{, b n }是等差数列，则数列, c +a n }{, a n +b n }{, p ⋅a n +q ⋅b n }也是等差数列。（其中c 、p 、q 均为常数）。
典型例题
1．等差数列{a n }中, 若S n =25, S 2n =100，则S 3n =＝_____225___；
2. （厦门）在等差数列{a n }中， a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 （ A ） A ．18 B 27 C 36 D 9
3、（全国卷Ⅰ理） 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9= 24 4、等差数列{an } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷) 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且
A n 7n +45a
，则使得n 为整数的=
B n n +3b n
正整数n 的个数是（ D ）
A ．2 B．3 C．4 D．5
1
6、已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n ) ＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m －n |的值等于________．
4
如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .
17
因为x A ＝，则x D .
44
35
又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝，x C ＝.
44
17351
故|m －n |＝－×＝44442
7、在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
设公差为d ，则11(－3＋4d ) ＝5(－3＋7d ) －13，
5∴d ＝.
9
∴数列{a n }为递增数列．
532
令a n ≤0，∴－3＋(n －≤0，∴n ≤，
95
*
∵n ∈N .
29
∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－3
S 7n +3
8. 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且满足n =，则a 8= 6 .
T n n +3b 8
★等差数列的最值：
若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若a 1>0,d
⎧a n ≥0
，前n 项和S n 最大；
⎩a n +1≤0
⎧a n ≤0
（2）若a 10，且满足⎨，前n 项和S n 最小；
a ≥0⎩n +1
（3）除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函
数的图象或配方法求解，注意n ∈N *。
〖例4〗在等差数列{a n }中，a 16+a 17+a 18=a 9=-36，其前n 项和为S n 。
（1）求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值； （2）求T n =a 1+a 2+ a n 。
⎧a n ≥0
分析：（1）可由已知条件，求出a 1,d, 利用⎨求解，亦可用S n 利用二次函数求最值；
a ≤0⎩n +1
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵
a 16+a 17+a 18=3a 17=-36, ∴a 17=-12, ∴d =
，令⎨
a 17-a 9
=3, ∴a n =a 9+(n -9) d =3n -63, a n +1=3n -6017-9
⎧a n =3n -63≤0
, 得:20≤n ≤21,
⎩a n +1=3n -60≥0
20⨯[-60+(-3)]
∴S 20=S 21==-630，∴当n=20或21时，S n 最小且最小值为-630.
2
（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。 ∴当n ≤21时，T n =-S n =-
n (-60+3n -63) 3123
=-n 2+n .
222n (-60+3n -63) 3123
当n >21时，T n =S n -2S 21=-2S 21=n 2-n +1260.
222
⎧32123
-n +n (n ≤21) ⎪⎪22
综上，T n =⎨.
3123⎪n 2-n +1260(n >21) ⎪⎩22
〖例5〗已知数列{a n }是等差数列。
（1）若a m =n , a n =m (m ≠n ), 求a m +n ; （2）若S m =n , S n =m (m >n ), 求S m +n . 解答：设首项为a 1，公差为d ， （1）由a m =n , a n =m ，d =
∴a m +n
n -m
=-1 m -n
=a m +(m +n -m ) d =n +n ⨯(-1) =0.
n (n -1) ⎧n 2+m 2+mn -m -n ⎧
m =na 1+d a 1=⎪⎪⎪⎪2mn , 解得⎨. （2）由已知可得⎨
m (m -1) ⎪n =ma +⎪d =-2(m +n ) d 1
⎪⎪⎩2mn ⎩
(m +n )(m +n -1)
∴S m +n =(m +n ) a 1+d =-(m +n )
2
【变式】已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
1
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n
log 3a n ·log 3a n ＋1
(1)解 ①当n ＝1时，由2S n ＝3a n －3得，2a 1＝3a 1－3， ∴a 1＝3.
②当n ≥2时，由2S n ＝3a n －3得， 2S n －1＝3a n －1－3.
两式相减得：2(S n －S n －1) ＝3a n －3a n －1，即2a n ＝3a n －3a n －1， ∴a n ＝3a n －1，又∵a 1＝3≠0，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝3n . 验证：当n ＝1时，a 1＝3也适合a n ＝3n . ∴{a n }的通项公式为a n ＝3n .
11
(2)证明 ∵b n ＝ log 3a n ·log 3a n ＋1log 33·log 33111＝－ (n ＋1) n n n ＋1∴T n ＝b 1＋b 2＋„＋b n
11111＝(1－) ＋() ＋„＋)
223n n ＋11
＝1－
n ＋1
跟踪训练
1. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有 （ ） A ．13项 B．14项 C．15项 D．16项
2. 已知等差数列的通项公式为a n =-3n+a，a 为常数，则公差d= （
）
3. 在等差数列{an } 中，若a 1+a2=-18，a 5+a6=-2，则30是这个数列的（ ） A ．第22项 B．第21项 C．第20项 D．第19项
4. 已知数列a ，-15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c的值是 （ ） A ．-5 B．0 C．5 D．10
5. 已知等差数列{an }中，a 1+a2+a3=-15，a 3+a4=-16，则a 1= （ ） A ．-1 B．-3 C．-5 D．-7
6. 已知等差数列{an }满足a 2+a7=2a3+a4，那么这个数列的首项是 （ ）
7. 已知数列{an }是等差数列，且a 3+a11=40，则a 6+a7+a8等于 （ ） A ．84 B． 72 C．60 D．43
8. 已知等差数列{an }中，a 1+a3+a5=3，则a 2+a4= （ ） A ．3 B．2 C．1 D．-1
9. 已知数列{a n }：3，7，，，……，则在此数列{a n }中应是（ ） A ．第21项 B．第41项 C．第48项 D．第49项
1
10. 已知数列{a n }中，a 1=3，前n 和S n =(n +1)(a n +1) -1
2
（1）求证：数列{a n }是等差数列 （2）求数列{a n }的通项公式
⎧⎫
（3）设数列⎨1⎬的前n 项和为T n ，是否存在实数M ，使得T n ≤M 对一切正整数n 都成立？若存在，
⎩a n a n +1⎭
求M 的最小值，若不存在，试说明理由。