试讲拉格朗日中值定理

讲 授 课 题

拉格朗日中值定理 1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意

教 学 目 的

义和几何意义； 2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式； 3、了解拉格朗日中值定理的推论 1 和推论 2； 1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用

重 点 难 点 2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入 3、利用拉格朗日中值定理证明不等式的技巧 教 学 方 法 启发式讲授法 教 具 使 用 教 学 设 计 1 背景及回顾 2 新课讲解 2.1 拉格朗日中值定理 2.2 拉格朗日中值定理的证明 2.3 拉格朗日中值定理的应用 3 课堂小结 4 课后作业 作业布置 习题 3-16,3-17

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教学过程 1、背景及回顾 在前面， 我们引进了导数的概念， 详细地讨论了计算 导数的方法。 这样一来， 类似于求已知曲线上点的切线问 题已获完美解决。 但是如果想用导数这一工具去分析、 解 决复杂一些的问题， 那么， 只知道怎样计算导数是远远不 够的，而要以此为基础，发展更多的工具。 另一方面，我们注意到： （1）函数与其导数是两个不 同的函数； （2） 导数只是反映函数在一点的局部特征； （3） 我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态， 需要在导 数及函数间建立起联系——搭起一座桥，这个“桥”就是 微分中值定理。 由此我们学习了极值点的概念、 费马定理、 特别是罗 尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容： 若函数 f x  满足下列条件：

① 在闭区间 a, b 连续 ② 在开区间 a, b  可导 ③ f a   f b

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则在 a, b  内至少存在一点  ，使得 f '    0 。

y  f x 



2、新课讲解 1797 年，法国著名的数学家拉格朗日又给出了一个 微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明。 拉格朗日中值定理具有根本的重要性， 在分析 中是许多定理赖以证明的工具， 是导数若干个应用的理论 基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1 拉格朗日中值定理 若函数 f x  满足下列条件：

① 在闭区间 a, b 连续 ② 在开区间 a, b  可导

则在开区间 a, b  内至少存在一点  ，使得

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f '   

y

C

M

f b   f a  ba

B

N

A

y  f x 

O

a  x

b

注意： （1）深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三 个条件。 （2）若加上 f a   f b ，则

f '    f b   f a  0   0 即 f '    0 ，拉格朗日定理 ba ba

变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特 例。 （3）形象认识（几何意义） ，易知

f b   f a  为过 ba

A、B 两点的割线的斜率， f '   为曲线 f x  上过  点的

切线的斜率：若 f '   

f b   f a  即是说割线的斜率等 ba

于切线的斜率。几何意义：若在闭区间 a, b 上有一条连 续的曲线， 曲线上每一点都存在切线， 则曲线上至少有一 点 C  , f   ，使得过点 C 的切线平行于割线 AB 。它表 明 “一个可微函数的曲线段， 必有一点的切线平行于曲线

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端点的弦。 ” 2.2 拉格朗日中值定理的证明 下面我们证明一下该定理。 分析： 如何来证明该定理呢？由于罗尔定理是拉格朗日定 理的特例， 我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到 罗尔定理上来， 为此需要构造一个辅助函数  x  ， 使它满 足罗尔定理的条件。 注意罗尔定理的结果是 f '    0 ，对 应拉格朗日定理的结果是 f '   

f '    f b   f a  ，即 ba

f b   f a   0 ，实际上就是  '    0 ， ba f b   f a  即是说  '    f '    ，两边积分得 ba f b   f a   x   f x   x  C ，注意  x  要满足罗尔定理 ba

f b   f a   x  a  的三个条件，故取  x   f x    f a    ba  

证明：作辅助函数

 x   f x    f a  

 

f b   f a  x  a   ba 

易知  x  在闭区间 a, b 连续，在开区间 a, b  可导，又

 a    b ，根据罗尔定理，  x  在 a, b  内至少存在

一点  ，使得  '    0 ，而  '  x   f '  x  

f b   f a  ，于 ba

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是  '    f '    命题得证。

f b   f a  f b   f a   0 ，即 f '    ba ba

注意： （1） 本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数 学

命题的精彩典范； 同时通过巧妙地数学变换， 将一般化 为特殊， 将复杂问题化为简单问题的论证思想， 也是数学 分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数

 x   f x    f a  

f a  

 

f b   f a  中的 x  a   ba 

f b   f a  x  a  其实就是过两点 A，B 的割线方 ba

程。 （2）拉格朗日中值定理的中值点  是开区间 a, b  内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之， 这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点  的存在性， 而非“定量”地指明  的具体数值。 （3）拉格朗日中值定理的其他表达形式： 1） f b  f a  f '  b  a 。当 a  b 时也成立。 2） f x  x  f x  f '  x ， 在 x 与 x  x 之间 2.3 拉格朗日中值定理的应用 例 1 验证函数 f x   x3  3x 在区间 0,2 上是否满足拉格

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朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的  的值。 解：因为 f x   x3  3x ，在 0,2 上连续，在 0,2 内可导， 满足定理条件。 而 f ' x  3x2  3 ，由 f 2  f 0  f '  2  0得：

3 2  3  1，  2 3 3

在验证拉格朗日中值定理时，必须注意： （1）该函数是否满足定理的两个条件。 （2）是否存在一点   a, b ，使得

f b  f a  f '  b  a 成立。

例 2 证明当 x  0 时，

x  ln1  x   x 。 1 x

分析： 此题难以下手， 由此考虑到使用拉格朗日中值定理。 证明：设 f x   ln1  x  ，易知 f x  在 0, x 上满足拉格朗 日中值定理的条件，故

f x  f 0  f '  x  0， 0    x 

又 f 0  0 ， f '  x  

ln1  x   x 1 

1 ，由上式得： 1 x

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0    x  1  1   1 x 

1 1  1 1 x 1 

则

x x x  ln1  x   x ，命题得证。   x ，即 1 x 1 x 1 

小结： 用拉格朗日中值定理证明不等式， 关键是选取适当 的函数，并且该函数满足中值定理的条件。便得到 再根据 a    b 放大 f b  f a  f '  b  a, a    b ， 或缩小 f '   ，证出不等式。 推论 1 如果 f x  在区间 a, b

 内的导数恒等于零，那么

f x  在 a, b  内恒等于一个常数。

证明：在区间 a, b  内任意取两点 x1 , x2 ， （设 x1  x2 ） ，则

f x  在 x1 , x2  上满足拉格朗日中值定理条件。故有：

f x2   f x1   x2  x1  f ' c，

（ x1  c  x2 ） ，

由于 x1 , x2 是在 a, b  内任意取的两点，因此 f x  在区间

a, b  内函数值总是相等的，这表明 f x  在区间 a, b  内恒

为一个常数。 推论 2 若 x  a, b 有 f ' x   g ' x  ，则 x  a, b 有

f x   g x   c 。

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证明： x  a, b ，有  f x  g x  f x  g x  0 ，

' ' '

根据推论 1 知 f x  g x  c ，也即 f x   g x  。 3、课堂小结 （1）拉格朗日定理的内容 （2）拉格朗日定理的几何意义 （3）拉格朗日定理的证明过程——构造函数法 （4）拉格朗日定理的应用 4、课后作业 习题 3-16，习题 3-17

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