函数的零点

函数的零点教材分析

一． 外部知识结构

函数是高中数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与

其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的连结点，它从

不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

二． 内部知识结构

知识点：函数的零点的概念，函数的零点的性质，利用函数性

质作图

三． 教材内容的具体分析

1. 概念分析

一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0，则

α叫做这个函数的零点。

有时我们把一个函数图像与也叫做这个函数的零点。

（1） 概念的地位与作用：考虑函数是否有零点是研究函数性质和精

确地画出函数图像重要一步，为后续的“基本初等函数”学习

奠定基础，具有承上启下的重要作用。

2（2） 概念的存在性：通过二次函数：y =x -x -6证明函数的零点

的概念的存在性

（3） 概念的类与概念的定义：

概念是可定义概念，定义方法是属加种差，定义的关键词“实

数”“零”“x 轴”“公共点”

（4） 定义与补充规定：这里只讨论零点为实数的情况，说到零点指

的都是实零点。

2. 数学命题的分析

（1）当函数的图像通过零点时（不是二重零点），函数值变号。

（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

（1）命题的地位与作用

函数零点的性质是对函数的零点知识的深化与拓展，为接下来“二分法求方程近似解”的学习奠定基础。

（2）命题的组成

条件:函数的图像通过零点 结论：函数值变号

条件：相邻两个零点之间的所有函数值 结论：所有函数值保持同号

（3）命题的用途

利用函数零点的性质粗略的做出函数的图像

（4）命题的证明

2函数y =x -x -6的图像在零点-2的左边，函数值取正号，当

它通过第一个零点-2时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正。在零点-2与3之间函数值全为负号。

3. 例题与习题分析

32例：求函数y =x -2x -x +2的零点，并画出它的图像。

（1） 例题类型 ：解答题

（2） 解答例题所需数学水平：理解并熟悉掌握函数零点的概念，

会解简单的一元三次方程。

（3） 例题的目的与作用：通过例题进一步掌握函数零点的概念以

及性质，在掌握概念及性质的基础上，通过例题实现知识的内化，实现知识向能力的转化。

（4） 例题与练习题的搭配关系：练习A ，1；练习B ，1

32（5） 解题思路的分析：解出当y=0时函数y =x -2x -x +2的

值，即函数的零点-1,1,2，这三个零点将x 轴分成四个区间，

在这四个区间内取x 的一些值（包括零点），列出这个函数的

对应值表，利用描点法画出图像。

四． 数学思想方法分析

在本节课的内容中，通过二次函数的零点及其性质归纳总结出

函数零点的概念以及函数零点的性质，用到了特殊到一般的数学思想。将函数零点的问题转化为方程的根的问题，通过函数图像探究函数的零点的性质，让学生体会数形结合的数学思想。

五． 学情分析

本节课是在学生学习了一次函数、二次函数及其相关性质的基础上学习的。通过前面的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的性质，掌握了函数图像的一般画法，具备了初步的数形结合的能力。但是学生由特殊到一般的归纳总结能力还不够，数形结合以及转化的思想意识需要进一步培养。

六． 教学目标、重点、难点

根据新课标要求以及函数零点在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标：

知识与技能：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程跟的关系，会求简单函数的零点并利用零点的性质粗略做出函数图像。

过程与方法：通过观察例题的图像，发现函数零点的意义，总结函数零点的性质，在此过程中体会数形结合思想的意义，感悟由具体

到抽象的研究方法。

情感态度与价值观：让学生感受数学的内在美，激发学生学习热情，培养学生自主探究的能力。

重点：函数零点的定义及性质

难点：利用函数零点性质作图