一个重要极限（limx→0
摘要：lim x→0
sin xx
sinxx
=1）的证明
=1这一重要极限在微积分占重要地位，它对于我们理解应用
含有三角函数的微积分运算有重要帮助。本文主要介绍了该极限的几种证明方法及其推论，其中重点介绍了它的几何证明法，以加深对极限的计算的理解。 Abstract: lim x→0
sin xx
=1 takes important role in calculus. This formula can help us
understanding how to calculate the limits or derivatives which includes trigonometric functions in calculus. This article introduced several methods to prove this formula as well as its corollaries. Especially, in order to help the readers acquiring the ability to calculate limits, this paper emphasized on how to prove it geometrically.
作为第二次数学危机的产物，微积分使得困扰数学界和物理学界的许多问题突破瓶颈。它的出现并不是偶然，而是许多科学家对数学和力学问题长期探索的结果。在十七世纪下半页，英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时在总结前人的经验下提出了微积分这门学科。它的提出加深了我们对速度和距离或类似关于变化率的问题的几何理解，即曲线的切线和曲线下的面积这两类问题；除此之外，还有体积、曲线的长度、重心、密度、比重、最大最小值等问题。
AP 微积分是历年AP 考试中报考人数最多的一门课程，其知识深度和知识结构相当于美国大学一年级的微积分（仅限于单变量微积分）。学习微积分的基础在于对极限这一概念的认知与理解。本文将对学习微积分中的一个重要极限（lim x→0
sin xx
=1）进行论证，旨在加深同学对极限计算方法运用的理解以及极
限的几何认知。 一、
夹逼定理（Squeeze Theorem）
夹逼定理，又名两边夹定理（Pinching Theorem ），三明治定理（Sandwich Theorem ），是判定极限存在的两个准则之一，是函数极限的定理。
该定理被描述为：若函数F(x)和函数G(x)在x 0的领域连续，x→x0时极限都为A ，即lim x→x0F(x) =lim x→x0G(x)=A，且在该x 0的领域一直满足F(x)≤f(x)≤G(x)；则当x→x0时也有lim x→x0F(x) ≤lim x→x0f(x)≤lim x→x0G(x)，亦即A ≤lim x→x0f(x)≤A，是故lim x→x0f(x)=A。
简单来说，该定理可被描述为若函数A>B，函数B>C，函数A 的极限是X ，函数C 的极限也是X ，那么函数B 的极限就一定是X 。
夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。 二、
一个重要极限（limx→0
sinxx
=1）的几何证明
如图建立平面直角坐标系[1]，图中弧形为1/4单位圆。∠θ为正角，且θ＜2。
由图可知，S∆OAP
S∆OAP=2 base ×ℎeigℎt= 2×1×sin θ=
12
1
1
π
sin θ，
1
1
1
SSector OAT=2 r2θ=2×(1)2θ=2θ,
S∆OAP=2 base ×ℎeigℎt= 2×1×tan θ=2tan θ;
所以有，
12
1
1
1
sin θ
2
2
1
π
11
将不等式的三项同时除以2sin θ，由于θ∈(0,2) ，所以不等号不改变方向，故有：
1
θ1
>cos θ θ
sin θθ
将不等式的三项同时取倒数，不等号反向，得：
1>
又因为lim θ→0cos θ=1，由夹逼定理得证lim θ→0lim x→0三、
sin xx
=1，即
=1。
其他证明方法
1. 用洛必达法则（L'Hôpital's rule）证明
此极限是0型，满足洛必达法则使用条件，故有lim x→0
sin xx
=
(sin x) ′
lim x→0() ′
x
=lim x→0
cos x1
=1
2. 用幂级数证明
n
由泰勒展开式得sin x=∑∞0(−1)=(2n+1) ! 。
sin xx
n∑∞0(−1)=
x(2n+1)
(2n+1) !
x(2n+1)
则
lim x→0=lim x→0
x
n
=lim x→0∑∞0(−1)(2n+1) ! =
x2n
lim x→0(1−
x26
+⋯) =1
3. 用导数的定义证明
因为函数y =
sin xx
: lim x→0
sin xx
sin xx
=lim x→0
sin x−sin0
x−0
=
(sinx)′| x=0=cos 0=1, 即lim x→0四、
推论
=1得证。
1. 变形：
1) lim x→∞xsin x=1
证明：lim x→∞xsin x=lim 1x
1
1
sin
x
1=1
2) lim x→0sin x=1
证明：lim x→0sin x=lim x→02. 推广： 1) lim x→0
cos x−1
x
x
1
x
x
=
1lim x→0
=1=1 x
1
=0
cos x−1
x
证明：lim x→0
x
=lim x→0
−sin x
(cosx−1)(cosx+1)
x(cosx+1)
=lim x→0x(cosx+1)=
−sin 2x
lim x→0sin x×lim x→0cos x+1=1×0=0 2) lim x→0
sin axx
=a
sin axxa
证明：lim x→0
sin ax
=lim x→0
sin axax
×a=lim x→0
sin axax
×lim x→0a=1×a=a
3) lim x→0sin bx=b证明：
lim x→0sin bx=lim x→0
sin ax
sin axax
×sin bx×b=
bxa
lim x→0
sin axax
×lim x→0
bxsin bx
×lim x→0=1×1×=
b
b
b
aaa
总之，极限对于微积分而言犹如基石，而lim x→0
sin xx
=1这一重要极限在极
限中尤为重要。其证明过程几乎涵盖了极限证明的几种普遍形式，对于同学们复习理解极限以及后续内容——导数，特别是含有三角函数的0型极限的运算有及其重要的作用。这几种证明方法中，几何证明（三角不等式）最为出名，它形象的说明了极限的几何意义，同时也为之后学习微积分的几何意义奠定了一定基础。今后我们将进一步探索其在其他方面的应用。
参考文献:
[1]. Thomas, G.B., et al., Thomas' calculus. Updated 10th ed. / $b based on the original work by George B. Thomas, as revised by Ross L. Finney, Maurice D. Weir, and Frank R. Giordano. ed. 2003, Boston: Addison-Wesley. 1208.