第一章：信号与系统
1.1连续时间与离散时间信号
一．连续时间信号：在连续时间信号情况下，自变量是连续可变的，因此信号在自变量的连续值上都有定义，t 表示连续时间变量。 二．离散时间信号：离散时间信号仅仅定义在离散时刻点上，即自变量仅取在一组离散值上，用n 表示离散时间变量。
注意：x[n] ，一般仅在n 的整数值有意义 ，也称序列 三．信号能量与功率
1. 信号能量和频率
在n1≤n ≤n2内的连续时间信号的总能量为⎰|x (t ) |2dt ，将其除以t2-t1即可得
t 1t 2
到平均功率。
离散时间信号的总能量为∑|x [n ]|2，将其除以n2-n1+1就得到在该区间的内
n =n 1n 2
的平均功率。
无穷区间内，连续时间信号有
+∞1E =⎰|x (t ) |2dt P =lim
-∞T →∞2T 离散时间有：
E =
⎰
T
-T
|x (t ) |2dt
n =-∞
∑|x [n ]|
+∞
2
+N +∞
12
P =lim |x [n ]|E =∑|x [n ]|2 ∑N →∞2N +1n =-N n =-∞
根据信号的能量和频率将信号分为：1. 具有有限的总能量，平均功率为零
2.其平均功率有限的信号 3.P∞与E ∞都不是有限的
1.2自变量的变换
一．自变量变换举例 1.时移
x(t) → x(t-t0) x[n] → x[n-n0]
n0/t0>0 波形右移，延时 n0/t0
x[n] → x[-n] x(t) → x(-t)
3. 连续时间信号尺度变换 （比例变换） x(t) → x(at)，a 为实常数
|a|
|a|>1，波形在时间轴上压缩到1/|a|倍 4. 离散时间信号尺度变换
注意：x[an] 与x(at)意义不同 原因：x[n]的自变量n 只能取整数 二．周期信号
周期信号是指一个每隔一定时间T ，周而复始且无始无终的信号，. 对于一个周期连续时间信号x （t ），若有
x ( t ) = x(t + T ) n = 0, 1, 2, …，则是周期信号 对一个离散时间信号 x[n]，若有 x[n]=x[n+N]，则是周期信号 N是整数
使上式成立的最小的正值T/N称为基波周期To/No. 2. 偶信号与奇信号
一. 偶信号与奇信号
任何信号都可分解为偶信号与奇信号之和, 分别称为信号的偶部xe (t) 与奇部xo (t),或偶信号分量与奇信号分量 xe (t) = [x(t)+x(-t)] /2 xo (t) = [x(t)-x(-t)] / 2 二．指数信号与正弦信号 1. 基本连续时间信号 1) 指数信号： x (t ) =Ae αt , -∞
当A ，α都为实数时，x(t)为实指数信号；当A, α都为一般复数时，x(t)为一般复指
ω0t
数 信号。当A=1，α=jω仍为复指数信号，但有两个性质:一：对于任x (0t ) 时，=e j 意的ω0， x (t ) =e j ω0t 总是基波周期为2π/|ω0|的周期信号 (ω0≠0) ，角频率为|ω0|= x (t ) =e j ω0t 的振荡频率随|ω0|单调变化， ω0的绝对值越大，振荡频率越高
2) 正弦信号：x (t ) =A sin(ω0+ϕ)
A cos(ω0t +φ) =
A j ω0t j φA -j ω0t -j φ
e e +e e =A Re{e j (ω0t +φ) }22
由欧拉公式 e j ω0t =cos ω0t +j sin ω0t 可知，即正弦信号是其相应的周期复指数信号的实数
部分，当然对于任意的ω0，它总是周期信号，且ω0越大，其震荡速率越高。 3) 单位冲击信号
∞定义： ⎧⎪-∞δ(t)dt=1
⎨
⎪⎩δ(t ) =0, t ≠0
抽样性质 x (t ) δ(t ) =x (0) δ(t ) x (t ) δ(t -t 0) =x (t 0) δ(t -t 0)
∞∞∞
x (t ) δ(t -t 0) dt =x (t 0) x (t ) δ(t ) dt =x (0) δ(t ) dt =x (0)
-∞-∞-∞
偶对称性： δ(-t ) =δ(t )
1尺度性质：
δ(at ) =δ(t )
a 4) 单位阶跃信号 定义 ⎧1, t >0
u (t ) =⎨
0, t
⎰
⎰⎰⎰
⎩
t ∞δ(t)与u(t)的关系：u (t ) =δ(τ) d τ=δ(t -τ) d τ
-∞02. 基本离散时间信号
1) 指数序列： x [n ]=A αn
当A ，α都为实数时，x[n]为实指数序列；当A, α都为一般复数时，x[n]为一般复指数序
j
列。当A=1，α=eω0时，x [n ]=e j ω0n 仍为复指数序。 欲使 e j ω 0n 是周期的, 周期N>0,必有: e j ω0(n +N ) =e j ω0n ⇒e j ω0N =1 ∴ω0N =m ⋅2π.(m 为整数)
即当ω0/2π=m/N成立时, 即ω0/2π为有理数, e j ω 0 n 就是周期的, 否则非周期. 当m 和N 无公因子时,x[n]的基波周期是N ，此时基波频率为2π/N=ω0/m
三. 指数序列与连续指数信号区别 1:连续:ω越大, 振荡频率越高.
离散:对ω具有周期性, 周期可理解为2π; ω从0->π, 振荡速率加快;
原因:n取整数, ω从π->2π, 振荡速率下降. 至ω=2π, 与ω=0相同, 为常数. 高频部分, ω=π及π的奇数值附近, 低频部分, ω=0,2π及π的偶数倍
2:连续:对任意ω均是周期的,T=2π/ω, 频率为ω.
离散:ω0/2π=m/N成立时, 是周期的(m,N都是整数). N0=m2π/ω0, 基波频率=2π/N0=ω0/m 2) 正弦序列：x[n]=Acos(ω0n+φ) 3) 单位脉冲序列
⎧0, n ≠0
δ[n ]=⎨
⎩1, n =0
⎧x [0],n =0抽样性质 x [n ]δ[n ]=x [0]δ[n ]=⎨
⎩0, n ≠0
⎧x [n 0],n =n 0
x [n ]δ[n -n ]=x [n ]δ[n -n ]=⎨000
⎩0, n ≠n 0
4) 单位阶跃序列 ⎧0, n
u[n]=⎨
⎩1, n ≥0
δ[n ]与 u ] 之间的关系: [ n
⎧δ[n ]=u [n ]-u [n -1]∞
⎪n ⎨u [n ]=δ[n -k ]
δ[m ]k =0
⎪u [n ]=
m =-∞⎩
⎰⎰
∑
∑
1.3系统
1. 连续时间与离散时间系统
一个连续时间系统是这样的的系统，输入该系统的信号是连续时间信号，系统产生的输出也是该连续时间信号。一个离散时间系统就是将离散时间输入信号变换为离散时间输出信号。
2. 系统互联
复杂系统，由简单系统互联而成互联的几种基本形式 ： 串联（级联）
2. 基本系统性质
1. 记忆系统与无记忆系统
无记忆系统 ： 系统某一时刻的输出仅取决于该时刻的输入
记忆系统：该系统具有保留或存储不是当前时刻输入信息的功能 2. 可逆性与可逆系统
一个系统在不同的输入下导致不同的输出, 则称其为可逆的, 若一个系统是可逆的, 那么就是一个可逆系统 3. 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入 注意：若某时刻以前系统的输入为零，则该时刻以前系统的输出也必为零
所有的无记忆系统都是因果的；反之不成立 4．稳定性
稳定系统：若输入有界, 则输出也有界这里有界指最大幅值是有限值 物理意义：小的输入不会使响应发散 5. 时不变性
若系统的特性行为（物理参数）不随时间而变, 该系统就是时不变的 6. 线性
线性系统 ⎧可加性:若x 1(t ) →y 1(t ), x 2(t ) →y 2(t ), 则x 1(t ) +x 2(t ) →y 1(t ) +y 2(t )
⎨
⎩比例性(齐次性, 均匀性) :若x 1(t ) →y 1(t ), 则ax 1(t ) →ay 1(t )
连续时间 ax 1(t ) +bx 2(t ) →ay 1(t ) +by 2(t ) 离散时间 ax 1[n ]+bx 2[n ]→ay 1[n ]+by 2[n ]叠加性质：若 x k [ n ] → y k [ n ] 则x [n ]=a k x k [n ]→y [n ]=a k y k [n ]
k k 0⋅x [n ]→0⋅y [n ]零输入零输出：
∑∑
第二章 线性时不变系统
2.1离散时间LTI 系统：卷积和
一．用脉冲表示离散时间信号
∞
x [n ]=x [k ]δ[n -k ] k =-∞二．离散时间LTI 系统的单位脉冲响应及卷积和表示 ∞ y [n ]=x [k ]h [n -k ]
k =-∞
记作 y [ n ] = x [ n ] * h [ n ] 称为卷积和
∑
∑
2.2连续时间LTI 系统：卷积积分
h (t ) 是系统输入为 δ(t ) 时的零状态响应-单位冲激响应，有： 若
∞
y (t ) =x (t ) *h (t ) =x (τ) h (t -τ) d τ
-∞
⎰
2.3线性时不变系统的性质
x [n ]*h [n ]=h [n ]*x [n ]=h [k ]x [n -k ]1．交换律
k =-∞
∞
x (t ) *h (t ) =h (t ) *x (t ) =h (τ) x (t -τ) d τ -∞
物理意义：输入为x[n]/x(t)，单位冲激响应为h[n]/h(t)的LTI 系统的输出，与输入为h[n]/h(t)，单位冲激响应为x[n]/x(t)的LTI 系统的输出是一样的 2. 分配律 x [n ]*(h 1[n ]+h 2[n ])=x [n ]*h 1[n ]+x [n ]*h 2[n ] x (t ) *(h 1(t ) +h 2(t )) =x (t ) *h 1(t ) +x (t ) *h 2(t ) 物理意义：
（1）LTI 系统对两个输入的和的响应等于对单个输入响应的和 （2）并联的LTI 系统可以用单一的一个LTI 系统来代替, 其单位冲激响应是并联联结中各个单位冲激响应的和 3. 结合律 x [n ]*(h 1[n ]*h 2[n ])=(x [n ]*h 1[n ])*h 2[n ] x (t ) *(h 1(t ) *h 2(t )) =x (t ) *h 1(t ) *h 2(t )
物理意义：两个LTI 系统级联 后的单位冲激响应是单个冲激响应的卷积，且与级联顺序无关
4、LIT 系统的因果性 ∞因果性:输出只决定于现在和过去的输入值对LTI 系统，y [ n ]=x [k ]h [n -k ]要求k>n时，h[n-k]=0，即n
n
y [n ]=x [k ]h [n -k ]
k =-∞
∞或 y [n ]=h [k ]x [n -k ]
k =0
连续LTI ：t
因果信号：n
LTI 系统的因果性等价于冲激响应为因果信号
t ∞
y (t ) =x (τ) h (t -τ) d τ=h (τ) x (t -τ) d τ
-∞0
5.LTI 系统的稳定性
稳定性：有界的输入产生有界的输出 对LTI 系统，当，有： x (t )
∞∞∞y (t ) =x (τ) h (t -τ) d τ≤x (τ) h (t -τd τ=A h (t -τ) d τ
-∞-∞-∞∞
h (t )
连续时间LTI 系统的稳定性: ∞
h (t )
离散时间LTI 系统的稳定性: ∞
h [n ]
-∞
6. 有记忆和无记忆LTI 系统
h (t ) =k δ(t ) h (t ) =k δ(t ) 为常数 系统无记忆 , ,k
∞
∑
⎰
∑
∑
∑
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
∑
k=1时称为恒等系统，y (t ) =x (t ) 若 h (t ) *h 1(t ) =δ(t ) 则冲激响应为的系统是冲激响应为h(t)的系统的逆系统 7.LTI 系统的单位阶跃响应g[n] / g(t)
定义：当激励为u[n] / u(t)时系统的零状态响应。
n
g [n ]=u [n ]*h [n ]=h [m ]h [n ]=∇g [n ]=g [n ]-g [n -1] m =-∞
t dg (t )
g (t ) =u (t ) *h (t ) =h (τ) d τh (t ) =-∞ dt
∑
⎰
2.4用微分和差分方程描述的LTI 系统
n -i m -j m
d d 连续时间LTI 系统可用线性常系数微分方程描述 ∑a i y (t ) =∑b j m -j x (t ) n -i dt dt i =0j =0
n
线性常系数差分方程
∑a y [n -k ]=∑b x [n -k ]
k
n
k =0
k =0
N M
N
1M
y [n ]={∑b k x [n -k ]-∑a k y [n -k ]}
a 0k =0k =1
2.5奇异函数
1. 单位冲激信号δ(t ) 的基本特性
⎰
∞
-∞
x (t ) δ(t -t 0) dt =⎰x (t +t 0) δ(t ) dt =x (t 0)
-∞
b
∞
,
⎪
δt (dt ) =⎨ab 0, >0 ⎰ϕ(t ) a
⎪无定义,ab=0⎩
δ(at ) =
1
δ(t ), δ(-t ) =δ(t ), x (t ) δ(t -t 0) =x (t 0) δ(t -t 0) |a |
x (t ) *δ(t -t 0) =x (t -t 0), δ(t -t 1) *δ(t -t 2) =δ(t -t 1-t 2)
t du (t )
=δ(t ) =u 0(t ), ⎰δ(τ) d τ=u t =u -1(t )
-∞dt
2. 单位冲激偶及其特性
d δ(t )
=δ' (t ) =u 1(t ) dt
δ' (-t ) =-δ' (t ), δ" (-t ) =-δ" (t ) ∙∙∙
u -k (t ) =u -1(t ) *∙∙∙*u -1(t ) =⎰u -(k -1) (τ) d τ, k >0
-∞t
⎰
∞
-∞
δ(t ) dt =0, ⎰δ' (τ) d τ=δ(t )
-∞
'
t
⎰
∞
-∞
x (t ) δ(n ) (t ) dt =(-1) n x (n ) (0),x (t ) *δ(k ) (t ) =x (k ) (t )