直线与平面垂直的判定定理的两种简证
立体几何中关于直线与平面垂直的判定定理的证明，由于构思复杂，过程繁琐，给教学带来了一定的困难．本文利用勾股定理及其逆定理给出该定理的两种简捷证明，供参考．
设g是α内的任一直线，先证明l、g都通过O点的情况．如图1，
证法1：在直线m、n上分别取点A、B，使OA=OB，P是l上异于O的一点，连结PA、PB、AB．
因为l⊥m，l⊥n，
所以PA2=PO2＋OA2=PO2＋OB2=PB2，
因此，△PAB、△OAB都是以AB为底边的等腰三角形．
所以AB=2PA·cos∠PAB=2OA·cos∠OAB．
设AB与g交于C，连结PC，OC．
在△PAC，△OAC中，由余弦定理得：
PC2=PA2＋AC2－2PA·AC·cos∠PAC=PA2＋AC2－AC·AB，
OC2=OA2＋AC2－2OA·AC·cos∠OAC=OA2＋AC2－AC·AB．
所以PC2=(PO2＋OA2)＋AC2－AC·AB=PO2＋(OA2＋AC2－AC·AB)=PO2＋OC2． 由勾股定理的逆定理知，PO⊥OC即l⊥g．
证法2：过g上一点C在α内作直线分别交m、n于A、B，使得AC=CB．P是l上异于O的一点，连结PA、PB、PC．
因为l⊥m，l⊥n，
所以PA2=PO2＋OA2，PB2=PO2＋OB2．
在△PAB、△OAB中，由中线定理得
PA＋PB=2(PC＋AC)
OA2＋OB2=2(OC2＋AC2)
两式相减得(PA2－OA2)＋(PB2－OB2)=2(PC2－OC2)
所以PO2＋PO2=2(PC2－OC2)
PO2＋OC2=PC2．
由勾股定理的逆定理知，PO⊥OC即l⊥g．
如果直线l、g中有一条或两条不经过点O，那么可过点O引它们的平行直线证得l⊥g．
综上所述，结论成立．
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