《找次品》课堂实录
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刘松与数学广角——《找次品》 课堂实录：让学生在探究中感悟数学 一、谈话引入
1．实话实说——请吃糖
师：同学们仔细看看老师，能用几句简短的话描述一下老师的特点吗？ 生1：老师中等身材，头发很平。
生2：老师脸很方，眼睛很小。 „„
（老师用鼓励的目光激励学生发言，随便学生怎么说，说的越奇怪越好。不管学生说什么，老师都大肆表扬同时表示感谢，以激起其他学生想说话的欲望。待三四个学生发言后，老师话锋一转，提出第二个问题。）
师：同学们非常善于观察，这么短的时间就发现了老师这么多的特点。既然如此聪明，请允许我请教第二个问题，你们必须实话实说，说实话的本老师奖励吃糖。
（拿出一瓶真的木糖醇，此时学生都好奇地等着老师会出什么问题或者看着老师手里的木糖醇，老师故意矜持一会才说出问题。）
老师的问题是：你觉得我和你们原来的数学老师相比，谁更像一位优秀的数学老师？ （听课老师有的发出了笑声，学生们也都面面相觑，微笑着不知如何作答） 生1：老师您更优秀。
师：（笑着说）瞎说！你还没听过老师上课呢。 生2：（笑着说）两个都像。
师：（笑着说）不许都选，只能选一个。 生2：（有点无奈的）那就选我们原来的老师吧。
师：说得对！咱们今天表现的如此优秀，一定是原来老师的功劳。请吃糖！
（从木糖醇瓶中倒出一粒放入该学生手中，继续面向其他同学）谁还想吃糖，请实话数说。 生3：是我们原来的老师，因为他辛辛苦苦教了我们好几年。
师：（紧紧握着该学生的手）真是一个懂得感恩的孩子，说得对，请吃糖！
（从木糖醇瓶中再倒出一粒放入该学生手中） 【对学生而言，这是一个两难的问题。有说原老师的，有说现在的老师的，也会有两边讨好的。老师对两个都选的同学一定要逼其选其一，同时给选自己原来老师的两个学生每人一粒糖吃。】
师：（笑着说）同学们不用说了，老师已经知道结果了，应该是你们原来的老师更优秀。（话锋一转）当某个人或某项事物不足够好时，我们可以称之为——（拖长音，表示疑问） 生：次品
师：对，次品。（随机板书）
【为了活跃气氛，拉近与学生的感情，更主要地为了引入“次品”的概念，课前与学生这样谈话】
师：（很认真地说）在今天在座的这么多优秀教师中找出我这样的次品老师是很容易的，可有些时候，找次品就不那么容易了。刚才谁吃我糖了，请给我站起来！（假装生气） 【吃糖的学生刚才还美滋滋的呢，现在被迫站起来。】
师：（继续假装生气）谁让你们吃糖的？（学生苦笑）瞧瞧你们惹麻烦了吧。老师刚刚买了3瓶一样的木糖醇，其中一瓶就被你们“偷吃了”两粒，（老师出示3瓶一样的木糖醇），吃掉两粒的那一瓶重量自然就变得轻一些。重量变轻了我们就可以称之为——（拖长音，表示疑问。） 生：次品（很快接上）
师：对。怎样很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的学生坐下）如果用天平称来称，至少几次才能保证找到呢？请独立思考。 （学生独立思考约30秒钟） 2．初步建立基本思维模型。
师：谁来说说至少要几次才能保证找到？
（此时学生基本有两种意见：部分或大部分人认为需要2次，部分思维好的同学会认为1次足矣。老师请认为1次的同学上台展示） 师：你见过天平吗？ 生：见过。
师：天平长什么样子？（学生茫然。老师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑曰：这就是一架美丽的天平。该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。）
师：别人都认为要2次，你说1次就行了。别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！ （该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平） 生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。 师：如果天平左右两边不平呢？ （该生再演示：天平左高右低的情况。）
生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。 师：还有一种情况呢？
（该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。） 生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。 （面向全体同学） 哪？
众生：剩下的那一瓶。 师：如果天平有一边翘起呢？ 众生：翘起的那一瓶。
师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？ 众生：1次。
师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的那位同学。 （掌声想起）
师：谁还能像刚才那位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？
【3瓶中有1瓶次品，用天平称来称，至少1次就可以找到。是找次品问题最基本的思维模型，一定要让每个学生都清晰。所以，一位同学演示后，再请一位同学上台演示，以加深每个同学的印象。】 （生再次演示，老师适时强调）
师：开始认为需要2次的同学，现在清楚了吗？3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？
众生响亮回答：1次。 3．拓展延伸，引导猜想。
师：3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少1次就可以保证找到。如果不是3瓶，假如今天来听课的老师每人1瓶，大概有两千多瓶吧。我们暂且估计有2187瓶。（随机板书）如果2187瓶中也有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你猜一猜！ （停顿约20秒，找两三个同学回答） 生1：2186次。 生2：2185次。
师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在
生3：一千多次。 生4：729次。
师：2187瓶中有1瓶次品，用天平称称，怎么也要好两千多次、一千多次或好几百次，都是这么认为吗？ 众生点头：是。
师：如果你们都是这么认为，今天这节课就非常有研究的必要。我们今天这节课就来研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，究竟至少几次才能保证找到，好吗？ 众生：好！ 二、组织探究 1.体会化繁为简
师：要解决这个问题，大家觉得2187这个数据是不是有点大呀？ 众生：是。 生1：简化 生2：化简
师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？
师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略——化繁为简（随机板书），也就是把数据转化地小一些，就是两位同学说的化简。简到什么程度呢？3瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？ 生1：4瓶。 生2：5瓶。
师：5瓶和我们书上的例1刚好一模一样，我们就先来研究如果5瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？好吗？ 众生：好！ 2.第一次探究
师：请先独立思考。可以拿出5枚硬币动手试一试。 （约1分钟后）
师：同桌同学可以小声交流交流。 （约1分钟后）
师：谁来说一说至少几次保证能找到？ 生1：1次。 生2：2次。 生3：3次。 „ „
师：你是怎么称的？请描述称的过程？
生1：我在天平左右两边各放1瓶，如果有翘起，就找到了。
师：这种情况是有可能的，但能保证吗？如果天平平衡了怎么办？你先请坐！ （生1意识到自己考虑问题的不足，带着思考坐下！）
生2：我也在天平左右两边各放1瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品；就从剩下的3瓶中再任意选两瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一边翘起，翘起的那端就是次品。一共称了2次。 师：他的方法可行吗？ 众生:可行。
师：刚才这位同学的称法，开始时，把5瓶分成了怎样的3份呀？ 生：（1、1、3）
师：真聪明！1和1要称一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我们课刚刚开始的问题一样，当然也
要1次，一共就是2次。这种称法如果用数学符号简单地记录下来，可以写成这样，用“ ”表示称一次（板书）：
5→（1、1、3）→（1、1、1）〒 2次 可以吗？ 众生:可以。
师：有没有也是2次，但称法不一样的？
生：我在天平左右两边各放2瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品，剩下的那瓶就是次品，但这不能保证。如果有一边翘起，说明次品在翘起的那一端里，然后再把翘起那一端的2个放在天平左右两边，再称一次，一定可以找到。一共称了2次。
师：真了不起！同样也是称2次，称法还真的不同。这位同学的称法如果也用数学符号简单地记录下来，可以写成这样：（板书）
5→（2、2、1）→（1、1、）〒 2次 行吗？ 众生:行！
师：比较两位同学的称法，过程不同，但结果一致！除了结果相同外，还有没有发现别的共同点？ （学生略作思考，老师随机点出）
师：老师发现刚才的两种称法，不管开始时如何分组，在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样，这是为什么呀？为什么不天平一边放2瓶，一边放3瓶呢？ 生：瓶数不一样，比较不出来。
师：由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。找次品自然要追求次数越少越好，所以这种“浪费”的称法我们当然不提倡。
师：（笑着对说要3次的同学说话）3次当然能称的出来，但并不是至少的方案，明白了吗？ 生点头示意明白。 3.第二次探究 生1：8瓶。 生2：9瓶。 生3：10瓶。 2就是9瓶） 众生：好！
师：谁再来明确一下问题？
师：5瓶我们研究过了，离2187瓶还差的远呢。再靠近点，接下来我们研究多少瓶呢？
师：同学们说的都可以，但我们上课时间有限，在一位数中9最大，我们来研究9瓶好不好？（其实例
生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
师：问题已经很明确，请先独立思考。可以拿9枚硬币分组试一试，也可以像老师一样用数学符号画一画。
（师静静地巡视约1分钟）
师：请前后桌4位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品？ （师参与讨论约2分钟）
师：老师刚才在下面听到有的同学说要4次，有的说要3次，还有的说2次就行。到底至少要几次呢？看来需要交流交流。先从多的来，谁刚才说要4次的？请说说你是怎样称的？ 生：我天平左右两边各放1个，每次称2个，这样4次就一定可以找到。 （师随着学生的表述相机板书）
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 师：他的称法可行吗？
生：可行但不是次数最少的。
师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。3次该怎样称？
生：我把9分成4、4、1三组，先称两个4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这是很幸运的。如果不平，把翘起的那4瓶再2个对2个称，如果平„„（老师礼貌地打断学生的话） 师：这时会出现平衡吗？（提醒：次品就在这4瓶里，天平左右两边各放2瓶）
生：（明白后立刻改口）一定会有一边翘起，然后再把翘起的2瓶天平两边各放1个，再称1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。 （师随着学生的表述相机板书）
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次 师：他的称法可行吗？
生：可行。我也是3次，但称法与他不一样。
师：真的吗？同样是3次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。
生：我把9分成2、2、2、2、1五组，先称两个2，如果有一边翘起，再称1次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个2，如果天平还是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这也是很幸运的。如果不平衡，再把翘起的2个分开，天平左右两边各1个，再称1次就一定找到次品了。这样也是3次保证找到了次品。 （师随着学生的表述相机板书）
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〒 3次 师：还真不错！同样是3次保证找到，称法还真不一样。 师：刚才好像还有人说2次就够了，不太可能吧？是谁说的？ （说2次的学生起立）
师：别人都是4次、3次的，你说2次就行，还坚持吗？ （学生坚持）
师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保证找到次品，他竟然坚持说2次就够了，难道我们„„请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。 （故意这样说，以引起学生都来关注他的2次是怎样称的）
生：我把9分成三组，每组3个。先称两个3，如果天平有一边翘起，次品就在翘起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎样，接下来就只要研究3瓶就可以了。前面刚学过，从3瓶里找1瓶次品，称1次就够了。这样2次就保证找到了次品。 （师随着学生的表述相机板书） 9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〒 2次 师：听得懂他的称法吗？
（有部分学生不敢大声回答，请刚才的学生再重复一遍）
师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称2次就解决了问题。为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〒 4次 9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〒 3次
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〒 3次 9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〒 2次 （学生观察思考约1分钟，老师给予适当暗示）
生：2次的称法一开始把9瓶分成了3组，每组3个。这样称1次，就可以断定次品在哪一组里。 师：说得好！把9瓶分成了3组，每组3个，也就是把物品总数均分3份，这样称1次，就可以淘汰2份6瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。而4次的称法，称1次后，最多只能
淘汰2瓶；3次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最终的次数就会相对多起来。 4．第三次探究
师：刚才9瓶中找1瓶次品（轻），那位同学一开始把9瓶平均分成3份来称，最后的次数最少。是不是所有的可以均分成3份的物品总数，一开始都平均分成3份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？ 生：继续验证。
师：（握着同学的手）说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。验证多少呢？比9大一些，可以均分3份的？ （有学生立刻回答） 生：12.
师:好的！我们就来研究12。如果12瓶中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？请先用刚才那位同学的思路，均分3份来操作。看看至少要几次？ 生说师板书：
12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〒 3次
师：按照刚才那位同学的思维模式推理，至少要3次才能保证找到。3次是否真的就是最少的次数吗？有没有比3次还少的呢？如果有，说明刚才的那位同学纯属偶然。请2人一小组，拼凑12枚硬币操作操作，或者用笔画一画，看看有没有更少的可能？ （学生思考讨论，老师巡视参与，约1～2分钟后交流） 生1：我是均分2份做的，也是3次。 （师随着学生的表述相机板书）
12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〒 3次 师：有没有比刚才的3次少？ 生1：没有。
师：谁找到比3次还少的称法了？
生2：我没找到，但我一开始均分4分来做的，最后也是3次。 （师随着学生的表述相机板书）
12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〒 3次
师：两位同学真不错，再次给我们展示了最终结果一样时，中间过程的丰富多彩。但我们都没有找到比3次还少的方案。如果再研究下去，我们会发现次数只会越来越多。比如：
12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〒 4次。其实刚才那位同学的思维模式并非偶然，真的具有一定的规律性。时间关系，我们不再继续验证。 师：刚才那位同学的思维模式是什么？
众生：物品总数如果能均分3份，就把物品尽量平均分成3份来操作。 师：为什么呢？
生：把物品总数平均分成3份来操作，这样称1次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。 三、强化训练
师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
（提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手） 生：3次。
师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27瓶呀蛮多的，3次怎么可以保证找到？
生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。然后9瓶就像刚才那位
同学那样再均分3份来称，2次就够了。我这里只增加了1次，所以3次就找到了。 （师随着学生的表述相机板书）
27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〒 3次
师：真聪明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假设看成一个超大瓶。这样，27瓶就转化为了3个超大瓶，称1次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个9里。然后把9再平均分成3份，以此类推，每称1次，都淘汰两份，剩下一份。最后的次数一定就是至少的。 师：如果不是27瓶，而是81瓶呢？
（有学生脱口说要9次，可能是想到了九九八十一） 师：（不动声色）嗯！有可能。是至少吗？ （马上有学生反应过来） 生：4次就够了。
师：（微笑着）请问怎么称？
次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平称称，4次就够了。
师：真了不起！他也学会转化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？ （立刻有学生举手）
生：5次。跟上面一样，把243均分3份，只比81瓶多称了1次。所以是5次。 师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？ 生：729。
师：（握着学生举的手表扬他）真是英雄所见略同！老师真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？ 众生：6次。
师：接下来就到哪个数了？ 众生：2187。 众生：7次。
生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，称1次就可以知道次品在哪个超大大瓶27里。27瓶刚才是3
师：现在大声地告诉老师，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
师：课刚开始时猜需要2186次的是那位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？ （该生起立，笑着无言以对）
师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实7次足矣。前后相差之大，远远超出了我们的想像。这就是数学思考的魅力。也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。其实不止是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！
（轻轻摸摸该生的头，示意他坐下） 四、全课总结 1.全课小结
师：（指着板书上的“次品”俩字）请问我们今天上的什么课？ 全体学生：（自然地答道）次品课。
师：（故作生气状）瞎说！你才上次品课呢。
（顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课老师则会心地哈哈大笑） 2.提出问题
今天我们找次品的物品总数不管是9、12，还是27、81、243„„，都是3的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是3的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。
一、内容简析
本节课内容是义务教育课程标准实验教材（人教版）数学五年级下册的数学广角。本单元主要以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。例1通过利用天平找出5件物品中的1件次品，让学生初步认识“找次品”这类问题及其基本的解决手段和方法。编排时，教材一方面注意让学生进行合作学习，小组交流，经历找次品的过程；另一方面注意引导学生体会解决问题策略的多样性。例2通过让学生探索和比较找次品的多种方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化策略解决问题的有效性。通过总结、猜测、归纳出优化方法的过程，进而培养学生的推理、抽象能力。 二、课前困惑
优化作为一种重要的数学思想方法，可有效地分析和解决问题。但如何让学生在数学活动中有充分的体验和感悟并逐渐形成一种自觉意识，仅按照教材的编排执行是否能有效地达成？我们可否对教材有适当的扩充？怎样扩充？„„ 三、几点尝试 1.降低了问题难度
找次品的基本思考模型跟3的次幂相关，而教材问题情境首先从5瓶开始研究。虽然学生探究体验策略的多样化及感受优化等没有什么困难，但恰恰忽视了3瓶的基本思考模型，所以课的引入首先从3瓶开始。
2.增加了问题难度
为了让学生更加充分地感受到数学思考的魅力，体验到数学的应用价值，从而培养学生喜欢学习数学的情感。课伊始，增设了如果2187瓶中也有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到的问题，而此时，学生凭借已有的经验或者说思维定势的影响，感觉肯定要很多次，甚至有人会认为需要2186次。而随着研究的深入，最终在课的结尾处发现，竟然仅仅7次就够了。前后三百多倍的强烈反差，让学生不由地产生一种惊讶、一种感叹、一种心灵的震撼，而在这种惊讶、感叹和震撼中学生会深深地感受到数学的价值，喜爱数学的情感就会油然而生。 3.强化了策略意识
日本数学教育家米山国藏曾说过：作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思路、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。国内有专家总结，小学六年，数学教学要留给学生三大基本能力：一是逻辑推理能力，二是透过现象看本质的能力，三是化繁为简的能力。化繁为简要成为一种能力，必须要有习惯的化繁为简的意识和熟练的化繁为简的方法，所以，在增加的问题和课本例题之间有意强化了化繁为简的策略意识。 4.注重了教学的情趣性
本节课的思维含量和难度都比较大，相对有比较枯燥，属于比较纯数学的内容。对小学生而言，怎样吸引他们的兴趣？怎样能让他们长时间饶有兴致地投入研究和思考？于是我从教学的情趣性入手，戏称自己是次品老师、步步引诱学生展开问题的思考。 „„
我的这些努力也许是无用的，老师们或许对课的引入及结尾的方式等嗤之以鼻，认为是哗众取宠。自己静心想想，的确也有些许的成分。但我想，通过这样的教学，如果学生在复杂而繁重的思维活动中建立了数学模型，掌握了优化的策略，做回次品老师又何妨！