函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念：
①设函数y =f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有-x ∈D ， 且f (-x )=-f (x )，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出f (0)=0）
②设函数y =g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有-x ∈D ， 若g (-x )=g (x )，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x 在其定义域内时，-x 也应在其定义域内有意义。
③图像特征
如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对概念的理解：
(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。
(2)f (x ) 与f (-x ) 的关系：
f (-x ) =1时为偶函数； 当f (-x ) =f (x ) 或f (-x ) -f (x ) =0或f (x )
f (-x ) =-1时为奇函数。 当f (-x ) =-f (x ) 或f (-x ) +f (x ) =0或f (x )
二、函数的奇偶性与图象间的关系：
①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立；
②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论：
①若f (x ) 是奇函数且在x =0处有意义，则f (0)=0
②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数； 偶函数⨯偶函数=偶函数；奇函数⨯奇函数=偶函数； 偶函数⨯奇函数=奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性， 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
（二）、关于函数奇偶性的运用
1．利用奇偶性求函数式或函数值
1．设函数f (x ) 为定义域为R 上奇函数，又当x >0时f (x ) =x 2-2x -3，试求f (x ) 的解析式。
2. 已知y =f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x 2-x +1，求当x
3. 设函数f (x ) 是定义域R 上的奇函数，f (x +2) =-f (x ) ，当0
5. 已知函数f (x ) =ax 5+bx 3+4，若f (-2) =0，求f (2)的值。
16．若函数f (x ) 是偶函数，则f (1+2) -f () =。 1-2
17. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )+g (x )=，试求f (x )与g (x )x -1
的表达式。