例谈用基本不等式求最值的策略

例谈用基本不等式求最值的四大策略

摘要 abab（a0,b0当且仅当ab时等号成立）是高中必2

修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。 基本不等式关键字：基本不等式 求和与积的最值 策略

一、 基本不等式的基础知识[1]

基本不等式：

abab，当且仅当ab时等号成立。 2

在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：

“一正”：a、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。 “二定”：当两正数的和ab是定值时，积ab有最大值；当两正数的积ab是定值时，和ab有最小值。

abab的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要“三相等”： ab是2

注意等号成立的条件是否一致。

二、 利用基本不等式求最值的四大策略

策略一 利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构

通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。

题型一 配凑系数

3例1 设0x，求函数y4x(32x)的最大值。 2如果a0,b0，则

分析：因为4x(32x)32x不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。但凑系数将4x拆为22x后可得到和2x(32x)3为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。 3解：因为0x ，所以 32x0 2

2x32x9故y4x(32x)22x(32x)2 222

当且仅当2x32x,即x

所以原式的最大值为9. 2330,时等号成立. 42

题型二 配凑项

1 配凑常数项

例2 已知x15，求函数y4x2的最大值。[2] 4x54

分析：因4x50，所以首先要“调整”符号。另外，y(4x2)

常数，所以对4x2要进行拆、凑项。 5解：因为x，所以54x0 4

12 所以(54x)54x

所以y4x2

当且仅当54x1154x3231 4x554x1又不是4x51，即x1时，上式等号成立，故当x1时，y取最大值54x

1.

2 配凑一般项

2例3 （2010年高考四川文科卷第11题）设a＞b＞0，则a11的最abaab小值是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析：如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值。考虑到

111a(ab)1 即(a2ab)2ab1，1，所以配凑ab、ab这a(ab)abaab

两项。

解：因为ab0，所以ab0，1110，故ab2ab2 ababab

而a(ab)0，10， a(ab)

所以a(ab)112a(ab)2 a(ab)a(ab)

2故a11112aabab＝ abaababa(ab)

＝ab11a(ab)≥2＋2＝4 aba(ab)

，式子取得2当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a

b

＝

最小值4.

故选择答案D

策略二 遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式

题型一：配凑分子，分离分式

对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。

x22x2(x1)的最小值。[2] 例4 求yx1

分析：可先将分子配凑出含有x-1的项，再将其分离。

解：因为x1，所以x10 x22x2(x1)211x12 所以x1x1x1

当且仅当x11时，也就是x2时取等号. x1

所以y的最小值为2.

题型二：同除分子，分离分母

对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现互倒的结构，再用基本不等式求最值。

x例5 求y2的值域. x9

分析：题目没有交代x的取值范围，此题需要分类讨论。

解：当x0时，分子分母同除以x,则

yx2x919xx

（1） 当x0时，有x

1

x9

x992x6， xx所以y1, 当且仅当x3时，等号成立 6

（2） 当x0时，有x9992(x)6，所以x6， xxx

故y1，当且仅当x3时，等号成立 96xx

x=0 2x91当x0时，y

11综上可知，y的取值范围是 66

策略三 遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式

15例6 求函数y2x152x(x)的最大值. 22

分析：观察式子的结构，可以看到(2x1)(52x)4是个定值，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式的结构。 解：将两y2x12x边平方，得

y2(2x12x)2422x1)(52x)4(2x1)(52x)8 又因为y>0，所以0y22

3当且仅当2x152x，即x时，取等号. 2

所以y的最大值是2.

策略四 利用1的性质，合理代换后再用基本不等式

“1”是一个特殊的数，任何式子乘以1，式子仍不变。所以如果题目条件给出某个式子的值为1，则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用基本不等式的形式。

例7 设xy0，且111，求xy的最小值. xy

分析：由于

式求最值. 解：由于1111yx1，所以xy=xy2，故可用基本不等xyxyxy1111yx1，所以xy=xy2 xyxyxy

xyyxyx又由于xy0，所以x和y0和0，故22 yxxyxy

所以xy=2yx224， xy

当且仅当xy，即xy1或1时，取等号. yx

所以，原式的最小值为2.

总结

以上四种策略，是用基本不等式解决最值问题的常用方法。无论是配凑系数与项、分离分子与分母、平方去根号，还是利用“1”整体代换，其目的只有一个，那就是构造出和为定值或者是积为定值的两项，然后才可用基本不等式。构造可用基本不等式的结构，是解决此类最值问题的根本所在。

参考文献

[1]人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书 数学必修5A版 2004.5第一版 第五章

[2] 童其林;毛金才;应用基本不等式求最值的八种变换技巧[J];新高考(语文数学英语);2010年02期

[3]段军长;均值不等式的应用[J];数理化解题研究；2012年第5期