ｏｌ．３６Ｎｏ．９Ｖ（）２０１５
物 理 教 师
ＰＨＹＳＩＣＳＴＥＡＣＨＥＲ
第３６卷第９期
２０１５年
细说球面折射成像的“万能公式”
陈新华
（）江苏省常州市第一中学，江苏常州 ２１３００３
有关球面折射成像及其应用是物理竞赛对几
何光学部分考查的一个重点，出现频率很高．纵观历届真题的标准解答及各种参考书上对这一类问题的解答，绝大多数都是用折射定律及近轴光线的近似运算来处理，这样的推导过程涉及很多近似运算，步骤复杂，容易出错．本文分析了球面折射成像公式的来龙去脉，内涵外延，并在此基础上直接用球面折射成像公式解题，不仅大大简化了解题过程，还使解题过程思路清晰简洁、准确率高．１ 单球面的折射公式的推导
如图１，设球面两侧介质的折射率分别为ｎ１、
球面的曲率半径为ｎＣ是球面的球心，Ｏ为顶点，２，
现讨论物点Ｓ发出的一条近轴光线（为了可视Ｒ．
在光轴上成像的位置
．性，图中放大了角度α）
近似关系成立的前提条件是近轴光线，所以这个
公式只适用于近轴成像．２ 对公式内涵的讨论
（）符号法则．１
ｕ＞０表示实物，ｕ＜０表示虚物；ｖ＞０表示成实像，ｖ＜０表示成虚像；Ｒ＞０表示从光线凸面入射，Ｒ＜０表示从光线凹面入射．
（）取值衍生．２
出射光平行，可以得到物方焦距ｖ→∞，
图１
由折射定律，ｎｓｉｎｓｉｉｎｉｎ１１＝２２，
，所以ｎｉｉｉｎｉｓｉｎ≈１１＝２２．
而从几何关系
ｉｉα＋θ．１＝２＋β，β＝又ｕ即ｔｔｖｔｈ，ａｎａｎａｎα＝Ｒθ＝β＝
ｕｖα＝Ｒθ．β＝由上面式子可得
＝．ｎｎα＋θ）１（２（β）β－
代入上式整理得
１２２１
＋＝．ｕｖＲ
这就是球面折射成像的一般公式，上述推导
、过程应用了ｓｉ≈ｉｔｔｔｉｎａｎａｎａｎα≈α、θ≈θ等β≈β、
近似关系，没有考虑球面的弧度引起的厚度．这些
１
ｕ＝．ｆ１＝
ｎｎ２－１
平行光入射，可以得到像方焦距ｕ→∞，Ｒｎ２
ｖ＝．ｆ２＝
ｎｎ２－１
１２
将上述焦距关系代入成像公式，可得＋＝１．
ｕｖ
相当于从介质１折射入介质２，可得像Ｒ→∞，，负号表示若ｕ为正号（则像为距ｖ＝－２，实物）ｎ１
视深”虚像，ｖ就是我们常说的“．
３
公式的应用
应用１：平面折射成——视深．像—
（例１．第３１届全国
中学生物理竞赛预赛）如图２所示，一水平放置的厚度为ｔ折射率为ｎ的平行玻璃砖，下表面镀银
图２（一物点Ａ成反射镜）．
位于玻璃砖的上方距玻璃砖的上表面为ｈ处．观察者在Ａ点附近看到了Ａ点的像，Ａ点的像到Ａ点的距离等于多少？不考虑光经玻璃砖上表面的反射．
解析：Ａ点发出的光经玻璃砖表面第１次折由成像公式＋＝＝０，射，成像于Ａ２处，
ｈｖ１Ｒ
（／江苏省“十二五”规划２高中物理教学中培养学生科学素养的研究“课题批准号：０１３年度立项课题“Ｄ 基金项目：
／／）２０１３０２４３５．
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物 理 教 师
ＰＨＹＳＩＣＳＴＥＡＣＨＥＲ
ｏｌ．３６Ｎｏ．９Ｖ
（）２０１５
Ｒ→∞得ｖ１＝－
ｎｈ，为虚像
．光线ＢＣ在玻璃砖下表面发生反射，由ＣＤ经玻璃砖射向空气时，相当于从Ａ３处
发出的光（如图３）．（Ａ２、Ａ３关
于玻璃砖下表面对称）．
故此次折射物距ｕ２＝
ｎｈ＋
ｔ＋ｔ，相当于从介质射入空气的实物，物距为由折射
成像公式ｕ２＋ｖ２
＝Ｒ＝０，
得ｖ２＝－
ｈ－ｎ
（虚物）．则Ａ′与Ａ间距离为Ｈ＝
ｈ＋（－ｖ２）
＝２ｈ＋ｎ
．应用２：单球面折射成像———一道经典题的简洁处理．
例２．（全国中学生物理
竞赛第２１届预赛）
有一种高 图３
脚酒杯，如图４所示．杯内底面为一凸起的球面
，球心在顶点Ｏ下方玻璃中的Ｃ点，球面的半径Ｒ＝１．５０ｃｍ，
Ｏ到杯口平面的距离为８．０ｃｍ．
在杯脚底中心处Ｐ点紧贴一张画片，Ｐ点距Ｏ点６．３ｃｍ．这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物．已知玻璃
的折射率ｎ１＝１．５６，酒的折射率ｎ２＝
１．３４．试通过分析计算与论证解释这 图４一现象．
解析：把酒杯放平，分析成像问题（如图５）
．
图５
（１
）空杯时，光线从介质内折射至空气，从凹面入射，由符号法则及折射成像公式
ｎ１ｎ６．３＋１－１
ｖ＝
－Ｒ．解得ｖ＝７．９５ｃｍ，
是实像．因为就在杯口附近，离眼睛很近，远小于１０－
２５ｃｍ的明视距离，
反而看不清像．（２）斟酒后，光线从介质ｎ１折射至介质ｎ２
中，由折射成像公式
ｎ１ｎ２ｎ２－ｎ１
６．３＋ｖ＝
－Ｒ．解得ｖ′＝－１３．２７ｃｍ，是虚像，离杯口距离ｌ＝（１３．２７＋８）ｃｍ，
眼睛在杯口处看到的是此像经过酒的再次折射后的所成的虚像．
由折射公式２ｌ＋ｖ３＝２
Ｒ＝０，得ｖ３＝－
ｎ２
＝－１５．８７ｃｍ，
第２次成像为虚像，在眼睛的明视距离范围内，所以这个距离眼睛可以看得清．
应用３：双球面两次折射成像—
——思路清晰，事半功倍．
关于薄透镜成像公式的推导，涉及光线的两次折射，很多参考书上也是用了折射定律、近似和几何关系，过程较为复杂．以下是直接运用折射成像公式来推导薄透镜成像公式的尝试．
如图６，设左球面的曲率半径为Ｒ１，
右球面的曲率半径为Ｒ２，
薄透镜内的折射率为ｎ，透镜外的折射率为１．从物点Ｓ发出的一条近轴光线，
在左球面上发生了折射，
由折射成像公式有
图６
ｕ１＋ｖ１
＝Ｒ１．虽然是字母表达式，数据不确定，但若所成像为
“虚像”，则是第２次折射的“实物”．若所成像为“实像”，则是第２次成像的“虚物”
，故对于从透镜内射向透镜外的第２次折射而言，物距ｕ２＝－ｖ１．
第２次折射从凹面入射，运用成像公式
ｕ２＋ｖ２＝－Ｒ，即２－ｖ１＋ｖ２＝－Ｒ２．两式相加解得
ｕ１＋ｖ２
＝（ｎ－１
）Ｒ１＋Ｒ２）
．根据透镜焦距的定义，当ｕ→∞时，ｖ＝ｆ，
因此ｆ
＝（ｎ－１
）Ｒ１＋Ｒ２）
．则可得ｕ＋ｖ＝ｆ
，此为薄透镜的成像公式．
球面折射成像公式的，本质上是确定了物和像的位置关系，计算过程中只要找到每次折射对应的物和像位置，就能顺利解决问题．思路简单，
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跳过了复杂的几何关系，大大简化了运算过程．这
种简化处理越复杂的问题越能体现出其威力，例３就很好地演绎了这一点．
（例３．物理竞赛教程高三年级第１１６页例５）在直立的平面镜前放置一个半径为Ｒ的薄壁玻璃
远处一观鱼缸，缸中充满水，鱼缸中心离镜面３Ｒ．
察者沿着过球心与镜面间的垂线注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度ｖ沿缸壁游动，求观察者看到的鱼的两个像的相对速度水的折射率
对于从鱼缸右侧面射出的光线，Ｓ３相当于物距
ｕＲ－２Ｒ＝１Ｒ的虚物．１６４４＝
，，得ｖ由折射公式＋＝４＝
－１Ｒｖ－Ｒ３４４
是成像于Ｓ４处的倒立的实像．ｖｎｖ若鱼的速度是３４
放大率ｍ×＝．′＝
ｎｕ３ｕ３４
，则实像Ｓ故两个像ｖ，方向相反．４的速度是３的相对速度为２ｖ＋＝．３３
４ 点评及反思
应用１和应用２是历届物理竞赛的真题，真题卷上给出的参考答案是用折射定律和几何近似推导的；应用３中关于薄透镜成像公式的推导很多参考书上也是用了折射定律、近似和几何关系；例３取材于张大同编著的物理竞赛教程高三年级第１原书上的解答也是用几何关１６页例５，系和折射定律．可见在处理近轴的球面折射问题时，大多数人的第一反应都是用折射定律和几何近似来解决．
角度、近似和几何关系的处理原理简单，细节复杂，学生在处理这一类问题时常常会因为这种复杂而冲淡了折射的主题，使得这类问题错误率很高，学生知道原理却做不对．究其原因，每一次折射的处理都相当于重新推导了一遍折射成像公式，加上繁复的几何关系，不错也难．
本文用的３个例题都是直接运用球面折射ｎｎｎ－ｎ１
来解决问题，突出了这成像公式１＋２＝２
ｕｖＲ
个公式的优点：适用范围广；思路清晰、运算简洁；能够大大提高解题的准确率，达到事半功倍的效果．也希望这个“万能公式”能为更多的人所重视，成为解决球面折射问题的一大“利器”．
）（收稿日期：０１５－０３－０９２算错误、文字书写潦草等等．
评价试题、反思教学．旨在有效地提高中学物理教学的质量．综上，物理教学应走出题海，回归物理教育的本质，重视知识传授的同时，渗透学科的思想与方法，提升学科的能力与素养．通过教学
”过程“播种一种行为，收获一种习惯．
参考文献：
２０１５年普通高等学校招生全国统一１ 教育部考试中心．
考试理科综合科考试大纲的说明［北京：高等教Ｍ］．育出版社，２０１５：３．
（
ｎ＝
．３
）
图７
（解析：Ｓ发出的光从薄壁鱼缸右面射出，１）
成虚像Ｓ１，
，由成像公式＋＝得ｖ即Ｒ，３１＝－
２Ｒｖ－Ｒ１
负号表示所成虚像，像Ｓ此为Ｒ处，１距鱼缸右壁３
观察者看到的鱼的第一个像．
ｎｖ
则虚若鱼的速度是ｖ，放大率ｍ＝１＝２．
ｕ１
方向相同．像Ｓｖ，１的速度是２
（）通过平面镜成虚像Ｓ发出的光透过薄壁，２像距ｖ经平面镜反射的光线射到鱼缸ＳＲ，２２，２＝－左侧，相当于像距为ｕ在鱼缸左侧Ｒ的实像，４３＝发生折射．
得ｖ相当由折射公式＋＝，Ｒ，１６３＝
Ｒｖ３Ｒ４
实像．于成像于水中Ｓ３处，（上接第８５页）
、‘方法’情感态度与价值观’三维课程培养目标的”实现．毋庸置疑的是学生良好科学素养的形成不是一蹴而就的，如第（小题的第２空答案，结果１）
”、“但很多考生写成“等形应为“００．０”０．３０．３”０．３
式．试题并未给出有效数字的位数要求，但已知条件中的数据均为３位有效数字，则结果也应保留３位有效数字．又如，第（小题中甲、乙两列简谐波２）
有相当多的的波长分别为λ５０ｃｍ，６０ｃｍ，λ１＝２＝
（）式中漏写单位的考生写成５０ｍ，６０ｍ．４λλ１＝２＝
考生更多．再如，将波动图像理解为振动图像、运—８８—
（）收稿日期：０１５－０６－１４２