双光栅测弱振动
在工程技术上，往往需要对微小振动的速率和幅度予以精确的测量，尤其是在航空航天领域，对微弱振动的研究更是有着深远的意义。在众多测量技术中，“双光栅”测量法以其简单实用的优点得到了广泛的应用。双光栅测弱振动是将光栅衍射原理、多普勒频移原理以及光拍测量技术等多学科结合在一起，把机械位移信号转化为光电信号测量弱振动振幅的一个实验。
1实验要求
1. 实验重点
①熟悉一种利用光的多普勒频移效应、形成光拍的原理及精确测量微弱振动位移的方法。
②了解双光栅微弱振动测量仪的原理和使用。
③作出外力驱动音叉时的谐振曲线，并研究影响共振频率和振幅的因素。
2. 预习要点
① 本实验是如何获得光拍的？你觉得还有其它方法产生光拍吗？ ② 由本实验的光拍信号你可以获得哪些信息？
③ 你认为哪些因素会影响共振频率？作外力驱动音叉谐振曲线时, 音叉驱动信号的功率需要固定吗?
④ 本实验中如何才能调出光滑的光拍？
2 实验原理
如果移动光栅相对静止光栅运动，使激光束通过这样的双光栅便产生光的多普勒现象，把频移和非频移的两束光直接平行迭加可获得光拍，再通过光的平方律检波器检测，取出差频讯号，可以精确测定微弱振动的位移。
1．位相光栅的多普勒位移
当激光平面波垂直入射到位相光栅时, 由于位相光栅上不同的光密度和光疏媒质部分对光波的位相延迟作用, 使入射的平面波变成出射的摺曲波阵面, 见图1, 由于衍射干涉作用, 在远场, 我们可以用大家熟知的光栅方程即(1)式来表示:
d sin θ=n λ ( 1 )
(式中d 为光栅常数, θ为衍射角, λ 为光波波长)
然而, 如果由于光栅在y 方向以速度v 移动着, 则出射波阵面也以速度v 在y 方向, 从而, 在不同时刻, 对应于同一级的衍射光线, 它的波阵面上出发点, 在y 方向也有一个vt 的位移量, 见图2。这个位移量相应于光波位相的变化量为∆φ(t ) 。
图1 位相光栅
∆φ(t ) =
2π
λ
∙∆S =
2π
λ
vt sin θ
( 2 )
图2 不同时刻，动光栅的同级衍射光线发生的位移
图3 动光栅的衍射光
(1)代入（2）：
∆φ(t ) =
2π
λ
vt
n λv
=n 2πt =n ωd t ( 3 )
d d
式中ωd =2π
v
。现把光波写成如下形式: d
E =E
exp i (ω0t +∆φ(t )) =E 0exp i (
[]
[ω+n ω) t ] ( 4 )
d
显然可见, 运动的位相光栅的n 级衍射光波, 相对于静止的位相光栅有一个的多普勒频移量, 如图3所示。设
ω=ω+n ω
a
d
(5 )
2. 光拍的获得与检测 光频率甚高，为了要从光频
ω中检测出多普勒频移量, 必须采用" 拍" 的方法。即要把已
频移的和未频移的光束互相平行迭加，以形成光拍。本实验形成光拍的方法是采用两片完全相同的光栅平行紧贴，一片B 静止，另一片A 相对移动。激光通过光栅后所形成的衍射光，即为两种以上光束的平行迭加。如图4所示，光栅A 按速度V A 移动起频移作用，而光栅B 静止不动只起衍射作用,
图4双光栅的衍射
故通过双光栅后出射的衍射光包含了两种以上不同频率而又平行的光束，由于双光栅紧贴，激光束具有一定尺度故该光束能平行迭加，这样直接而又简单地形成了光拍。当此光拍讯号进入光电检测器，由于检测器的平方律检波性质，其输出光电流可由下述关系求得：光束1：流：
22
⎧⎫(t +ϕ) E 10cos ω01⎪⎪22⎪⎪+E 20cos [(ω0+ωd ) t +ϕ]2⎪⎪2
I =ξ(E 1+E 2) =⎨⎬ ( 6 )
⎪+E 10E 20cos [(ω0+ωd -ω0) t +(ϕ2-ϕ1)]⎪⎪⎪+[(++) t +(+)]ϕϕ⎪21⎪⎩E 10E 20cos ω0ω0ωd ⎭
E =E cos (ω
1
10
t +ϕ) ；光束2：E 2=E 20cos [(ω0+ωd ) t +ϕ]，光电
1
2
因光波频率
ω
甚高，不能为光电检测器反应，所以光电检测器只能反应（6）式中第三项
图5 光拍波形图
拍频讯号：
i s =ξ{E E cos [ω
10
20
d
t +(ϕ-ϕ) ，光拍如图5所示，光电检测器能测
2
1
]}
到的光拍讯号的频率为拍频
F
其中
拍
=d =A =v A n θ ( 7 ) 2πd
n θ=为光栅密度，本实验n θ=100条/mm
3. 微弱振动位移量的检测
图6光拍法测量振幅，取T/2的光拍波形计数
从（7）式可知，动速度
F
拍
与光频率ω0无关，且当光栅密度n 为常数时，只正比于光栅移
θ
v
A
, 如果把光栅粘在音叉上，则
v
A
是周期性变化的。所以光拍信号频率
F
拍
也是随
时间而变化的，微弱振动的位移振幅为：
A
111=⎰v (t ) dt =⎰拍=2020n θ2n θ
T
T T T
⎰F
拍
dt （8）
（8）式中T 为音叉振动周期，
⎰F
拍
dt 可直接在示波器的荧光屏上计算（数出）波形数而得
T
到，因为
⎰F
拍
dt 表示T/2内的波的个数，其不足一个完整波形（波群的两端）的首数及尾
数，可按反正弦函数折算为波形的分数部分，即
波形数=整数波形数+分数波形数+
360
-1
a
+-1
b
360
（9）
式中，a,b 为波群的首尾幅度和该处完整波形的振幅之比。波群指T/2内的波形。分数波形数包括满1/2个波形为0.5满1/4个波形为0.25。波形计数以如图6为例，在T/2内，整数波形为4，首数部分已满1/4个波形，尾数部分b=h/H=0.6/1=0.6,代入(9)式即可得光拍波形数。
3 仪器介绍
1. 仪器用具
半导体激光器（波长650nm ），双光栅（100条/mm），光电池，音叉(谐振频率约410Hz), 导轨，双综示波器和音叉激励信号源等 2. 光路
图7 光路图
4. 实验内容
1. 连接
将双踪示波器的Y1、Y2、X 外触发输入端接至双光栅微弱振动测量仪的Y1、Y2、X 输出插座上, 开启各自的电源。 2. 操作
(1)几何光路调整
调整激光器出射激光与导轨平行，锁紧激光器。 （2）双光栅调整
静光栅与动光栅接近（但不可相碰！）用一屏放于光电池架处，慢慢转动静光栅架，务必仔细观察调节，使得二个光束尽可能重合。去掉观察屏，调节光电池高度，让某一束光进入光电池。轻轻敲击音叉，调节示波器，配合调节激光器输出功率，应看到很光滑的拍频波。若光拍不够光滑，需进一步细调静光栅与动光栅平行。
（3) 音叉谐振调节
固定功率，调节频率旋钮, 使音叉谐振(此时光拍波形数最多) 。调节时用手轻轻地按音叉顶部，找出调节方向。如音叉振动太强烈，将功率适当减小，使在示波器上看到的T/2内光拍的波形数为12个左右较合适。
（4）测出外力驱动音叉时的谐振曲线，小心调节“频率”旋钮，作出音叉的频率--振幅
曲线。
(5)改变音叉的有效质量，研究谐振曲线的变化趋势，并说明原因。（改变质量可用橡皮泥或在音叉上吸一小块磁铁。注意，此时信号输出功率不能改变）
（6）改变音叉的质量分布，研究谐振曲线的变化趋势，并说明原因。
2
（7）改变功率（用激励信号的振幅U 表征大小）观察共振频率和共振时振幅的变化, 并分析原因。 3. 数据处理
作图法作出不同情况下的谐振曲线，比较不同，并给出相应的理论依据。
5．实验后思考题
1．本实验测量方法有何优点? 估算测量微振动位移的灵敏度是多少? 2．改变音叉驱动信号的功率测得的频率-振幅曲线会变化吗？
3．从理论上说明改变音叉的有效质量频率-振幅曲线为什么会发生变化。
6. 实验注意事项
1.静光栅与动光栅不可相碰
2.双光栅必须严格平行，否则对光拍曲线的光滑情况有影响。
2
3.音叉驱动功率无法计量其准确值，以激励信号在示波器上显示的振幅为准（P ~U /R）。 4.注意调节光电池的高度，因为它对光拍的质量有很大影响，并非让光电池完全对准光斑效果就是最好。
Talbot 长度的测量
Talbot 效应又叫做衍射自成像效应，是指当一束单色平面光照射一个衍射器件（如光栅）时会在该衍射器件后的一定距离处出现自身的像。自1836年H ．F ．Talbot 首次报道了这种周期性物体的衍射自成像效应以来，对Talbot 效应的研究和应用工作一直没有间断。这种自成像效应已经在光学精密测量、光信息存储、原子光学、玻色-爱因斯坦凝聚等领域得到广泛应用，具体如光路调整、光信息处理、透镜焦距的测量、相位物体的折射率梯度测量、物体表面轮廓推算等。基于Talbot 效应的阵列照明器也已经在光通信、光计算等领域得到了广泛的应用。
准确测量Talbot 长度，对正确理解傅里叶光学的有关概念，并更好利用Talbot 效应具有重要意义。本文提出利用动态叠栅条纹光电信号的调制度测量Talbot 长度的方法，该方法原理简单，现象直观，且准确度较高。
1. 实验要求
1. 实验重点
①通过实验，了解的基本理论，加深对其基本概念的理解。 ②认识Talbot 效应在光学中的应用及其重要意义。
③掌握利用动态叠栅条纹测量不同光栅Talbot 长度的方法。 2. 预习要点
①一束激光打到平行的双光栅，透射光打到到光电池上输出的光电信号分别从衍射理论和傅立叶光学理论出发推导出的结果是否一致？
②G 2所在导轨的最小分度是0.1mm ，预测该实验中100条/mm和30条/mm的光栅组对应Talbot 长度的理论值，并设计方法具体如何测量。
③Talbot 效应必须用单色平面波照射双光栅才产生吗？
3. 实验原理
Talbot 效应是指当以单色平面波或单色球面波照明一透明周期性物体时，在物体后的某些平面上将重复出现周期性物体的像，即不用任何透镜就可得到物体的像，这些像称为Talbot 像，像与物体的距离称为Talbot 长度。不同的周期性物体，其成像位置即Talbot 长度也不同。本实验从傅里叶光学理论出发，利用动态叠栅条纹研究和测量光栅的Talbot 长度。
设二元振幅光栅G 1的光栅常量为d ，在光栅平面上建立坐标系xoy （图1），x 方向垂直于栅线。光栅透过率函数的傅立叶级数的复数形式为：
T (x ) =
x
A exp(i 2πn ) （1） ∑n
d n =-∞
∞
式中A n 为傅立叶系数。当光栅在x 方向有一平移x 0，则透过率函数可写为：
T (x -x 0) =
n =-∞
∑
∞
A n exp(i 2πn
x -x 0
) （2） d
现用振幅为1的单色平行光垂直照明光栅，在近轴条件下，经G 1投射在z 处x 1o 1y 1平面上的光场复振幅表达式为：
U (x 1, z ) =
整理得：
x -x 01∞π2
A exp(i 2πn ) ∙exp[i (x -x ) ]dx （3） n 1⎰-∞z d λz
2
⎧⎪⎡2n (x 1-x 0) λzn ⎤⎫⎪
U (x 1, z ) =A ∑C n exp ⎨i π⎢-2⎥⎬ （4）
d d ⎦⎭n =-∞⎪⎣⎪⎩
∞
光强可写为：
I 1=I 0∑C n 'cos
n =-∞
∞
πλzn 2
d 2
∙exp[i π
2n (x 1-x 0)
] （5） d
为获得叠栅条纹，在z 处放上光栅常量仍为d 的光栅G 2，栅线方向和y 1轴有夹角θ（如图1所示）。G 2的光强透过率可写为：
T 2(x 1, y 1) =
则透过G 2的光强为：
n =-∞
∑
∞
B m exp(i 2πm
x 1cos θ+y 1sin θ
) （6）
d
I =I 1T 2(x 1, y 1) =I 0∑C n '∑B m cos
n =-∞
n =-∞
∞∞
πλzn 2
d 2
⎧i 2π⎫∙exp ⎨[n (x 1-x 0) +m (x 1cos θ+y 1sin θ)]⎬
⎩d ⎭
（7）
略去高频项，仅取m =n =0和m =±1, n = 1项，并利用B =C +1B -1=C -1B +1，则经G 2后
x 1o 1y 1平面上的光强分布为：
πλz 2πθ
I =I 0'+I 1cos 2∙cos[(y 1sin θ-2x 1sin 2+x 0)] （8）
d d 2
其中（8）式表明叠栅条纹的可见度随G 2光栅的位置而变。当cos 即
πλz
d
2
=1时可见度最大，
πλz
d
2
=k π，解得：
z =
kd 2
λ
，式中k 取整数 （9）
这就是Talbot 长度，由式（8）知，光栅G 2在G 1的Talbot 距离处，叠栅条纹可见度最大；
反之，可见度下降，利用该性质，测量Talbot 长度。
为了测出不同位置处叠栅条纹的可见度，利用光电器件，将随空间（或时间）分布的光强信号转换为电信号。在G 2后设置光电接收器件，由光电器件输出的叠栅条纹光电信号电压为：
πλz 2πθπλz 2π
V =βI =βI 0'+βI 1cos 2∙cos{[y 1sin θ-2x 1sin 2() +x 0)]}=V 0+V 1cos 2∙cos[(ψ+x 0)]
d d 2d d
（10）
式中β为光电转换系数，ψ=y 1sin θ-2x 1sin () 。为简便，取y 1=0，θ=0,且x 1为常量。
2
θ
2
为获得动态叠栅条纹，使G 1在x 方向上作频率为f 的简谐振动，简谐振动的表达式为：
x 0=a 0cos(2πft +ϕ) （11）
将（11）式代入（10）式得：
V =V 0+V 1cos
πλz
d 2
∙cos{
2π
[a 0cos(2πft +ϕ) +ψ]} （12） d
（12）式为给定点(x 1, y 1, z ) 处随时间变化的光电信号, 即上个实验内容中观察到的光拍信号。半导体激光器出射的激光实际是单色球面波，所成Talbot 像随着Z 变大越来越小，直到Z =Z max =
Dd
（D 为光栅G 1的通光孔径，d 为光栅常数，λ是激光波长），像消失。因2λ
此对应的光电信号也会随着Z 变大越来越弱，直至消失。
(a )
(b )
(c )
图2
(d )
G 1作振动对应的光电信号曲线
图2画出了一组光栅G 1在x 方向按（11）式作简谐振动的光电信号曲线，
图中纵坐标表
示光电信号电压，横坐标表示时间（光栅G 1完成一个振动周期对应的时间），图2（a ），（c ），（d ）分别对应G 2在不同位置时叠栅条纹光电信号的调制度（对应光强信号就是对比度）。图2（a ），（b ）表示在相同z 处而（12）式中的初相位ψ不同时的光电信号曲线。
对给定点动态叠栅条纹光电信号的调制度为：P =
V max -V min V 1πλz
=cos 2 （13）
V max +V min V 0d
测出叠栅条纹光电信号的调制度随G 2移动的规律即可测出Talbot 长度。
3. 仪器介绍
将半导体激光器、双光栅综合实验仪调节部件、光电池按下图3所示放置，其中各部件
在光具座导轨上相互间的间距约为15cm ，本实验中所用的光栅规格为30条/mm和100条/mm，由蜂鸣器Ⅰ驱动。
图3 实验装置
4. 实验内容
1. 操作
（1）自选一组光栅，参阅双光栅测弱振动调出光滑的光拍
（2）旋转纵向移动调节手轮使静光栅尽最大可能与动光栅接近（不可相碰，防止插伤光栅！），慢慢向外旋转纵向移动调节手轮移动G 2，找出光电信号调制度的变化规律。注意在移动过程中，两次读数时，手轮只能向一个方向移动，不可中途来回调整记数，避免螺旋空程带来的误差。
2. 数据处理
根据数据，作拟合曲线，用合适的方法求出talbot 长度，与根据（9）式计算的理论值Δz 理论值比较。实验误差的主要来源有光栅常量不准确，照明光不够准直及实验过程中的测量误差等。
5. 实验后思考题
1．查阅资料，分析Talbot 效应所成像的特点？单色平面波和单色球面波作为光源结果一样吗？
2. 当光源是单色球面波时，从干涉理论出发推导Z max =Dd 。 2λ
6. 参考资料
[1] 吕洪君等，高斯光束照射下的近似Talbot 自成象效应及其两种新应用，光学学报，1988；
[2] 王伯雄等，傅立叶变换在莫尔测偏法中的应用，仪器仪表，1990；
[3] 曹国荣，双光栅相对旋转的叠栅条纹及其应用，大学物理，2001；
[4] 曹国荣，Talbot 长度的测量，物理实验，2003。