相似多边形与位似图形
【学习目标】
1、了解相似多边形的含义。
2、了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。 3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。 【知识要点】
1、相似多边形的定义。 2、相似多边形的性质。 3、位似图形的定义。 4、位似图形的性质。
5、位似图形性质的应用。 【重点、难点】
重点：相似多边形及位似图形的性质。 难点：相似多边形及位似图形的性质应用。 【知识讲解】 1、相似多边形：
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
提示1：只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。
例如：两个正方形，各对应角都是90°，且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多边形。 提示2：相似多边形的读、写法，在表示两个多边形相似时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。 2、相似比：
相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。 例如：四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，A B 与A′B′
是对应边，若1∶3。
3、相似多边形的性质： (1)对应边成比例； (2)对应角相等。
如：五边形ABCDE ∽五边形A′B′C′D′E′，则有∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′，∠D ＝∠D′，∠E ＝∠E′
，且
(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。
(5)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。
4、位似图形的定义：
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。 (1)位似图形是针对两个相似图形而言的。
。
，则说四边形
ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1；反之，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD 的相似比为
(3)相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。
(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。
5、位似图形的性质：
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 (2)两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。
【例题讲解】
例1：下列多边形，一定相似的是( )
A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形
分析：根据相似多边形的定义，两个矩形只能满足对应角相等，对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°。 答案：C
例2：如图，四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，AB ＝18，A′B′＝4，B′C′＝6， ∠B ＝77°，∠C ＝83°，∠A′＝115°，求BC 的长度和∠D′的大小。
解：∵四边形A BCD ∽四边形A′B′C′D′，
∴
，即
，解得BC ＝27，
∴∠B′＝∠B ＝77°，∠C′＝∠C ＝83°， ∴∠D′＝360°－∠A′－∠B′－∠C′＝85°。
例3：四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，它们的对角线分别交于点O 、O′，那么ΔOAB 与ΔO′A′B′相似吗？为什么？
解：ΔOAB∽ΔO′A′B′，因为： ∵四边形A BCD ∽四边形A′B′C′D′，
∴ΔABD∽ΔA′B′D′，ΔABC∽ΔA′B′C′， ∴∠2＝∠4，∠1＝∠3， ∴ΔOAB ∽ΔO′A′B′。
例4：如图，已知四边形ABCD 及四边形A′B′C′D′中，∠B ＝∠B′，∠D ＝∠D′，
，那么，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′必相似。试说明理由。
分析：要说明四边形ABCD ∽A′B′C′D′，只需说明∠A ＝∠A′，∠C ＝∠C′就可以了，我们可构造相似三角形来完成∠A ＝∠A′，∠C ＝∠C′。 解：连结AC 、A′C′， ∵∠B ＝∠B′
， ∴ΔABC∽ΔA′B′C′， ∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′， 同理，ΔADC ∽ΔA′D′C′， ∴∠3＝∠3′，∠4＝∠4′，
∴∠1＋∠3＝∠1′＋∠3′，∠2＋∠4＝∠2′＋∠4′， 即∠BA D ＝∠B′A′D′，∠BCD ＝∠B′C′D′，
又因
， ，
∴四边形A BCD ∽四边形A′B′C′D′。
例5：四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′
相似比为5，那么它们的周长和面积分别是多少？
，它们的周长之和为20，面积之差为
分析：根据题意，利用相似多边形的性质，可构造方程(组) 即可求解。 解：设它们的周长分别为C 1、C 2，面积分别为S 1、S 2，
根据题意有，
(1)
由(1)得：C 1＝12，C 2＝8， 由(2)得：S 1＝9，S 2＝4，
，
(2)，
所以，它们的周长分别为12，8；面积分别为9，4。
例6：如图，已知四边形ABCD ，把它放大2倍，即新图形与原图形的相似比为2。
等于2。
分析：(1)把一个图形放大2倍，就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比 (2)位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。
解：(1)任取一点O ；
(2)以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD ；
(3)分别在射线OA 、OB 、OC 、OD 上取A′、B′、C′、D′使OA′∶OA ＝OB′∶OB ＝ OC′∶OC ＝OD′∶OD ＝2∶1；
(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。 则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形。
例7：已知，锐角三角形A BC ，求作矩形DEFG 使DE 在边BC 上，点G 和F 分别在边A B 和A C 上，且DE ∶GD ＝2∶1。
分析：这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满足全部条件的图形，因此可先作出满足一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再根据位似图形的概念进行位
似变换，以得出所求的满足全部条件的图形。
作法：1、在AB 上任取一点G 1，作G 1D 1⊥BC 于D 1； 2、在D 1C(或其延长线上) 上取一点E 1，使D 1E 1＝2G 1D 1； 3、以G 1D 1、D 1E 1为邻边作矩形D 1E 1F 1G 1； 4、作射线BF 1交AC 于点F ；
5、作EF ∥E 1F 1交BC 于点E ，作FG ∥F 1G 1交AB 于G ，作GD ∥GD 1交BC 于D 。 四边形DEFG 就是所求的矩形。
例8：已知，ΔABC 的顶点坐标分别为A(0，－2) ，B(3，－1) ，C(2，1) ，以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍得到ΔA′B′C′，请写出ΔA′B′C′的顶点坐标。 解：根据位似图形中对应点的坐标的变化规律，
点A(0，－2) 的对应点A′的坐标为(0×2，－2×2) 即A′(0，－4) ， 所以，类似的有 B′(6，－2) ，C′(4，2) 。 【过关练习】 1、选择题。
(1)两个相似多边形一组对应边分别为3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为( ) A
、
(2)在矩形ABCD 中，E 、F 分别为A B 、CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形EFCB ，那么它们的相似比为( )
B
、
C
、
D
、
A
、
B
、 C 、2 D
、
(3)一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( )
A 、6 B 、8 C 、12 D 、10
(4)ΔABC与ΔDEF是位似图形(如图) ，相似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长等于( )
A 、6 B 、5 C 、9 D
、
(5)如图所示，已知ΔADE 与ΔABC 是位似图形，且位似比为1∶2，若ΔABC的面积为12cm 2，则 ΔADE的面积为( )
A 、2cm 2 B 、3cm 2 C 、4cm 2 D 、6cm 2
2、在矩形A BCD 中，截去一个正方形ABEF ，如图所示，得到一个矩形ECDF ，如果矩形ABCD ∽矩形 ECDF ，试问矩形ABCD 是否为黄金矩形，请说明理由。
3、如图，在平行四边形A BCD 中，E 、F 分别位于边AB 、CD 上，EF ∥AD ，于是EF 将平行四边形ABCD 分成平行四边形A EFD 和平行四边形EBCF ，设边A B ＝a ，BC ＝b 。
(1)若平行四边形ABCD 与平行四边形A DFE 相似，求DF 长。 (2)若平行四边形AEFD 与平行四边形EBCF 相似，求DF 长。
(3) 若平行四边形A EFD 与平行四边形EBCF 与平行四边形ABCD 都相似，请你求出a 与b 之间的关系
4、如图，在一矩形花坛A BCD 四周修筑水路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛边AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值是多少时，能使小路边沿围成的矩形A′B′C′D′能与矩形A BCD 相似？请说明理由。
5、如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点) ，发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，已知桌面直径为1.2m ，桌面距地面1m ，灯泡距地面3m ，求地面上阴影部分的面积。
6、已知，如图，O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标为(3，－1) ，(2，1) 。 (1)以O 为相似中心在y 轴左侧，将ΔOBC放大到2倍，画出图形。 (2)分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标。
(3)如果ΔOBC内部一点M 的坐标为(x，y) ，写出M 的对应点M′的坐标。
7、已知，如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，不改变图形的形状，
把它的各边都扩大为原来的。
8、作一个等边三角形，使它的三个顶点分别在ΔABC 三边上，并且有一边和BC 平行。
【参考答案】
1、(1)A (2)A (3)B (4)A (5)B
2、分析：要判别矩形ABCD 是否为黄金矩形，
即是否有
成立，由此可作出判定。
解：矩形A BCD 为黄金矩形。理由： 由题意，矩形A BCD ∽矩形ECDF ，
∴
，
又∵A B ＝AF ＝BE ＝EF ＝CD ，EC ＝DF ，
∴
，
的比值为黄金比，
故点F 是A D
的黄金分割点，所以
从而
的比值是黄金比，
故矩形A BCD 为黄金矩形。
3、解：(1)∵平行四边形A BCD ∽平行四边形ADFE ，
∴即DF
＝。
(2)若平行四边形AEFD ∽平行四边形EBCF ，
∴，
∴DF
＝
，
若平行四边形A EFD ∽平行四边形BCFE ，
则，DF
＝(a＞2b) 。
(3)因平行四边形AEFD 与平行四边形EBCF ，平行四边形ABCD 都相似， 则有平行四边形A EFD ∽平行四边形EBCF ∽平行四边形BCDA ，
∴，
∴a
＝。
4、解：
依题意，应有
，
∴，
∴20(30＋2x) ＝30(20＋2y)
，解得，
故当
时，矩形A′B′C′D′∽矩形A BCD 。
5、解：如图，设桌面面积为S 1，阴影部分面积为S 2，
圆桌的面积为S 1
＝
(m2) ，
因桌面与阴影是位似图形，
∴
，∴，
∴S 2
＝
答：
地面上阴影部分面积为
6、解：(1)如图所示：
(m2) 。 m 2。
(2)根据位似变换中对应点坐标的变化规律，
点B 的坐标为(3，－1) ，对应点B′的坐标为(－6，2) ， 点C 的坐标为(2，1) ，对应点C 的坐标为(－4，－2) 。 (3)点M(x，y) 的对应点M′的坐标为(－2x ，－2y) 。
7、解：(1)在梯形A BCD 外任取一点O ；
(2)作射线OA 、OB 、OC 、OD ；
(3) 在射线OA 、OB 、OC 、OD 上取点A′、B′、C′、D′
使
(4) 顺次连结A′、B′、C′、D′，梯形A′B′C′D′就是所要求作的图形。
8、解：作法：
；
(1)在ΔABC 的边A C 上任取一点D′，作D′F′∥BC 交A B 于F′；
(2)以D′F′为一边作等边ΔD′E′F′；
(3)连结A E′，并延长AE′交BC 于点E ；
(4)作EF ∥E′F′交A B 于F ；
(5)作DE ∥D′E′交A C 于D ；
(6)连结FD 。
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