5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
一、知识点
1、同角三角函数的基本关系式 ①平方关系： sin 2α＋cos 2α=1
② 商数关系：tan α=sin απcos α(α≠k π+2, k ∈Z) 2、有关弦化切的求值问题（齐次式）
3、sin α±cos α 与sin α⋅cos α的应用（知一求二）
诱导公式：k ∙
2
±α, k ∈Z，口诀:奇变偶不变，符号看象限
诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角再查表
课前预习：
1. 已知cos α=-
5
,且sin α>0 ,则tan α为 ( ) A.2 B. -2 C. 12 D. -12
2．已知sin α=
4
5且tan α
C. 43 D. 3
4
3．如果θ锐角，则sin(π+θ) =-1
2
,则cos(π-θ) = ( )
A．-
12 B. 12 C. 32 D. -2
4. 已知sin α=5
13，α是第二象限的角，则cos(π-α) = A ．125513 B . 13 C . -12
13 D . -13
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题
例1已知f (α) ＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋π)
－tan (－α－π)sin (－π－α)
） （
3π⎫1⎛
(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos α－＝5f (α) 的值．
2⎭⎝
【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.
3π
【变式训练1】已知f (x ) ＝1－x ，θ∈(，π)，则f (sin 2θ) ＋f (－sin 2θ) ＝ .
4
题型二 同角三角函数间的基本关系
例2. 已知sin θ +cosθ
1
=5, θ∈(0,π). 求值：
（1） tan θ; （2）sin θ-cos θ; （3）sin 3θ+cos3θ.
【变式训练2】
（1）．化简
-2sin 100cos 100cos 10--cos 170
2
的值是____________.
（2）. 已知 α是第三象限角，则化简
1-sin +sin -的值为__________.
1+sin α1-sin α
题型三 三角函数式的简单应用问题
π1
【例3】已知－x ＜0且sin x ＋cos x ，求：
25
(1)sin x －cos x 的值；
ππ
(2)sin3(－x ) ＋cos 3(＋x ) 的值.
22
【点拨】求形如sin x ±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x ±cos x 取值符号. 1－cos 4α－sin 4α【变式训练3】化简1－cos α－sin α
题型四 齐次下的弦切互化
tan α
=-1，求下列各式的值． 例4已知
tan α-1sin α-3cos α2①；②sin α+sin αcos α+2
sin α+cos α
1
【变式训练4】已知tan α＝2sin αcos α＋cos 2α等于( )
24A. 5
8 5
6C. 5
D.2
【变式训练5】
已知tan α=2,求下列各式的值：
（1）
2sin α-3cos α4sin α-9cos α
2sin 2α-3cos 2α4sin 2α-9cos 2α
2
;
;
（2）
（3）4sin
α-3sin αcos α-5cos 2α
.
总结提高
1. 对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin 2(－2α) ＋cos 2(－2α) ＝1是恒成立的.
2. 诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.
反馈练习：
1、已知角α的终边经过点（-3，4），则sin(2、已知tan α=-3、若
π
2
+α) -tan(π-α) =。
3π
，α∈(, π) ，那么sin α=__________。 42
tan θ+1π
=3，且θ∈(0, ) ，则sin θ=____________。
tan θ-12
25π3
4、设α是第三象限的角，cos α=－，求sin(+α) 的值
53
课后练习
1、如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( ) ．
sin αcos α
A ．tan α B ．cos α1－sin α C ．sin α＝－1－cos α D ．tan α＝
cos αsin α
12
, 则sin α等于 ( ) 13
5555A B - C D -
13121312
2、已知α是第四象限的角，cos α=
3、化简-2sin 20︒⋅cos 20︒= ( )
A sin 20︒-cos 20︒ B sin 20︒+cos 20︒ C cos 20︒-sin 20︒ D cos 20︒+sin 20︒ 4、已知sin αcos α=
1ππ
(
A
333
B - C D -
4422
5、sin(-330︒) 的值（ ）
A.
11 B -
D. 226、计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( ) ． 13119A . B. C D
44447、已知sin(π+α) =-
1
，那么cos α的值为( ) 2
A
、
11 B 、 C 、± D
、±
2222
13π
-α) 是（ ） ，那么sin(
32
8、若cos(π+α) =-
A 、-
11 B 、 C
、 D
、- 3333
9、设tan(5π+α) =m ，则
sin(α-3π) +cos(π-α)
的值为（ ）
sin(-α) -cos(π+α)
A 、
m +1m -1
B 、 C 、-1 D 、1 m -1m +1
2
4
2
2
10、化简cos α+sin α+sin αcos α的结果是 （ ）
231
B C D 1 324
3
11、已知cos (π+α)=-，则tan (2π-α)=____________．
5
π⎫5π3
θ＝，则cos ⎛－θ⎫＝________ 12、已知cos ⎛⎝6⎭3⎝6⎭
A
13、计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋„＋sin 289°＝________.
2
1
2sin αcos α+cos α=_______ 14、已知tan α=-，则
3
2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4
15、已知sin (α＋π) ＝，且sin αcos α
54cos (α－3π)1 6、 已知sin α⋅cos α=17、sin(-
1ππ
，且
19
π) 的值等于（ ）. 6
13
，则cos(π-A ) =_________________． 22
18、 若sin(π+A ) =19、sin(π+
π
6
) ⋅sin(2π+
π
6
) ⋅sin(3π+
π
6
) ⋅⋅⋅sin(2008π+
π
6
) 的值等于___________.
sin(+α) ⋅cos(3π-α) ⋅tan(π+α) 20、 化简。
-α) ⋅cos(-α-π)
2
π