《 常微分方程 》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码：110044
课程名称：常微分方程
英文名称：Ordinary Differential Equation 课程类别：专业必修课 学 时：45 学 分：2.5
适用对象: 信息与计算科学本科 考核方式：考试
先修课程：数学分析、高等代数
二、课程简介
本课程是信息与计算科学专业的专业必修课程。常微分方程（ODE）涉及经济学、管理学、生物学、工程技术等很多学科，是各学科紧密相连综合交叉的一门新学科。
This course is information and the professional professional required course of calculation science. Often the differential calculus square distance(ODE) involve economics, management to learn, biology, engineering technique's etc. is a lot of academicses, is each academics is close and conjoint comprehensive cross of a new academics.
三、课程性质与教学目的
通过本课程的理论学习和实践训练，提高学生的常微分方程水平，加深微积分训练，加强与其他数学课、物理、化学、生态学等方面的横向联系，能够全面正确地分析常微分方程在几何、物理、化学等学科应用过程中所出现的问题。培养学生初步建模的能力，为后续课程的学习打下良好的基础，将来能综合运用所学知识解决问题。
四、教学内容及要求
第一章 初等积分法 （一）目的与要求
介绍常微分方程的相关概念，阐述其基本功能、相应的解法和应用等。 1．掌握常微分方程的基本概念；
2．掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及它们的联系和解法；
3．掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的概念及它们的联系和解法； 4. 掌握全微分方程与积分因子的概念和解法；
5. 掌握可降阶的二阶微分方程的解法；
6. 掌握微分方程的应用方法，能建立一些简单的模型。
（二）教学内容
第一节 基本概念
1．主要内容
介绍微分方程(组)的定义和分类及一般形式；微分方程解的概念和形式，特解、通解及初值问题的概念，解的存在唯一性定理，微分方程作为解决工程技术问题的工具这一要求的研究主要步骤。
2．基本概念和知识点
微分方程(组)；常微分方程；偏微分方程；解；特解；通解；初值条件；初值问题。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握微分方程相关概念和研究方法步骤。 第二节 可分离变量方程、齐次方程
1．主要内容
介绍可分离变量方程的概念和解法，零齐次方程的概念和变量变换解法及零齐次方程与可分离变量方程的关系。 2．基本概念和知识点
可分离变量方程的概念；齐次方程，变量变换法。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握可分离变量方程、齐次方程的概念及关系和解法。 第三节 一阶线性微分方程、伯努利方程
1．主要内容
介绍一阶线性微分方程的定义、一般形式及齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念及这类方程的变动任意常数解法；伯努利方程的概念及与线性微分方程的关系及解法。 2．基本概念和知识点
一阶线性微分方程，齐次线性微分方程，非齐次线性微分方程，变动任意常数法，伯努利方程。 3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握一阶线性微分方程、伯努利方程的定义和解法及关系。 第四节 全微分方程与积分因子 1．主要内容
全微分方程、原函数与积分因子的概念、全微分方程的判别及求解方法，积分因子的充要条件及求法。
2．基本概念和知识点
全微分方程，积分因子，原函数，全微分方程判别定理，积分因子的充要条件。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握全微分方程与积分因子的定义、判别和解法。 第六节 可降阶的二阶微分方程 1．主要内容
三种特殊形式的二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 2. 基本概念和知识点
二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 3. 问题与应用（能力要求）
要求学生掌握二阶微分方程及高阶方程的降阶方法和解法。 第七节 微分方程的应用 1．主要内容
几何问题、变化率问题、物理问题与化学反应问题。 2. 基本概念和知识点
几何问题，变化率问题、物理问题与化学反应问题的建模方法与解法。 3. 问题与应用（能力要求）
要求学生掌握几何问题，变化率问题、物理问题与化学反应问题建模
方法。 （三）课后练习
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27、28、31、33、44、45、43、53、63、64、65、69、75、78、81。 （四）教学方法与手段
以课堂讲授为主，辅之习题课、课外辅导，注重理论联系实际，借助于计算机辅助教学。
第二章 线性微分方程
（一）目的与要求
1．掌握线性微分方程解的一般理论、相关定理、推论、引理；
2．掌握常系数线性微分方程的概念及解法步骤；
3．掌握一般线性微分方程的变量变换和变动任意常数解法。
（二）教学内容
第一节 线性微分方程解的一般理论 1．主要内容
线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程的概念，初值问题的解的存在唯一性定理，齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组。
2．基本概念和知识点
线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程、线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握线性微分方程、齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程、线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组概念，齐次线性微分方程通解的结构定理，非齐次线性微分方程通解的结构定理。 第二节 常系数线性微分方程的解法 1．主要内容
常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法。
2．基本概念和知识点
常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握常系数二阶齐次线性微分方程的解法，常系数高阶齐次线性微分方程的解法，常系数非齐次线性微分方程的解法。 第四节 一般线性微分方程的一些解法 1．主要内容
变量变换法，变动任意常数法。
2．基本概念和知识点
变量变换法将某些特殊类型的变系数线性微分方程化成常系数线性方程，然后进行降阶解题，欧拉方程，变动任意常数法。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握变量变换法将某些特殊类型的变系数线性微分方程化成常系数线性方程，然后进行降阶解题，变动任意常数法求非齐次线性方程的解。 （三）课后练习
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22、26、27、31、33、34、50、51、54、58、59。
（四）教学方法与手段
以课堂讲授为主，辅之习题课、课外辅导，注重理论联系实际，借助于计算机辅助教学。
第三章 线性微分方程组 （一）目的与要求
1．掌握微分方程组与线性微分方程组的一般概念；
2．掌握线性微分方程组解的一般理论、相关定理、推论和引理； 3．掌握常系数线性微分方程的概念及解法步骤。
（二）教学内容
第一节 微分方程组与线性微分方程组 1．主要内容
一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。
2基本概念和知识点
一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。
4．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握一阶微分方程组的标准形式、初值条件、一阶微分方程组的初值问题和通解、通积分，线性微分方程组的概念及标准形式，齐次线性微分方程组、向量函数。
第二节 常系数线性微分方程的解法 1．主要内容
线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理及零解、平凡解等概念，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组，基解矩阵。 2．基本概念和知识点
零解、平凡解，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、基解矩阵。
3．问题与应用（能力要求）
要求学生掌握线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理及零解、平凡解等概念，齐次线性微分方程组的通解结构定理，非齐次线性微分方程组通解的结构定理，线性无关、线性相关、朗斯基行列式、基本解组、基解矩阵。
第三节 常系数线性微分方程组的解法 1．主要内容
常系数齐次线性微分方程组的解法，常系数非齐次线性微分方程组的解法。
2. 基本概念和知识点
常系数齐次线性微分方程组的解法，常系数非齐次线性微分方程组的解法，特征方程，特征根，特征向量，变动任意常数法。
3. 问题与应用（能力要求）
要求学生掌握常系数齐次线性微分方程组的解法，常系数非齐次线性微分方程组的解法，特征方程，特征根，特征向量，变动任意常数法。
（三）课后练习
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（四）教学方法与手段
以课堂讲授为主，辅之习题课、课外辅导，注重理论联系实际，借助
于计算机辅助教学。
六、推荐教材和教学参考资源
1. 教材：
蔡燧林，《常微分方程》，浙江大学出版社，1988年。
2. 教学参考资源：
(1)钱详征，常微分方程解题方法，湖南科学技术出版社，1984。 (2)M.罗梭著、叶彦谦译，常微分方程，上海科学技术出版社，1984。 (3)丁同仁，常微分方程，高等教育出版社，1992。
(4)尤秉礼，常微分方程补充教程，高等教育出版社，1981。 (5)张芷芬、丁同仁、黄文灶、董镇喜，微分方程定性理论，科学出版社，1997。 (6)王高雄等，常微分方程，高等教育出版社，1994年。
七、其他说明
大纲修订人： 杨建富 修订日期：2007.4.5
大纲审定人：孙昭洪 审定日期：2007.4.25