同步电机的基本方程式及数学模型
派克方程
1.1理想电机假设
（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作用等的影响；
（2）定子的三个绕组的位置在空间互相相差120°电角度，3个绕组在结构上完全相同。同时，他们均在气隙中产生正弦分布的磁动势；
（3）定子及转子的槽及通风沟等不影响电机定子及转子的电感，因此认为电机的定子及转子具有光滑的表面；
为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正方向。
1.2abc 坐标下的有名值方程
同步电机共有6个绕组分别为：定子绕组a,b,c ，转子励磁绕组f ，转子d 轴阻尼绕组D 以及转子q 轴阻尼绕组Q 。需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此一共需要18个方程才能求解。 电压方程：
⎧u a =p ψa -r a i a ⎪
⎨u b =p ψb -r b i b ⎪u =p ψ-r i
c c c ⎩c
⎧u f =p ψf -r f i f
⎪
⎨u D =p ψD -r D i D ≡0⎪u =p ψ-r i ≡0
Q Q Q ⎩Q
D 绕组与Q 绕组均为无外接电源闭合绕组，因此电压均为0，从而上式中一共有8个方
程。
磁链方程：
⎡ψa ⎤⎡L aa L ab L ac L af ⎢⎥⎢
⎢ψb ⎥⎢L ba L bb L bc L bf ⎢ψc ⎥⎢L ca L cb L cc L cf ⎢⎥=⎢
⎢ψf ⎥⎢L fa L fb L fc L ff ⎢ψ⎥⎢L L Db L Dc L Df ⎢D ⎥⎢Da ⎢⎣L Qa L Qb L Qc L Qf ⎣ψQ ⎥⎦⎢
⎡L 11(3⨯3) L 12(3⨯3) ⎤⎡-i abc ⎤=⎢⎥⎥⎢
⎣L 21(3⨯3) L 22(3⨯3) ⎦⎣i fDQ ⎦
L aD L bD L cD L fD L DD L QD
L aQ ⎤⎡-i a ⎤
⎢⎥-i L bQ ⎥⎥⎢b ⎥L cQ ⎥⎢-i c ⎥⎥⎢⎥L fQ ⎥⎢i f ⎥
L DQ ⎥⎢i D ⎥
⎥⎢⎥L QQ ⎥⎦⎢⎣i Q ⎥⎦
在电感矩阵中（针对凸极机），定子绕组自感和互感参数是随转子位置而变化的参数，
而在转子绕组中，转子的自感和互感参数均为常数，而且D 轴与Q 轴正交，则D 轴绕组与Q 轴绕组互感为0。定子与转子之间的互感参数显然是随转子位置变化的参数。
功率、力矩及转子运动方程： （1）电机输出电功率的瞬时值
P e =u a i a +u b i b +u c i c
输出总电功率为三相绕组输出电功率之和 （2）电磁力矩瞬时值
T e =P p
abc T ⎡01-1⎤⎢-101⎥i ⎢⎥abc ⎢⎣1-10⎥⎦
利用磁链方程以及电感参数表达式代入发电机惯例电磁力矩瞬时值表达式即可得到。
（3）转子运动方程（目的方程）
⎧1d ω
J =T m -T e
⎪⎪P p dt
⎨
⎪d θ=ω⎪⎩dt
式中θ, ω为电角度，电角速度
小结
利用电压方程、磁链方程以及转子运动方程，一共有16个方程，但是需要求解的未知数有21个（u , i , ψ, ω, θ, T m ），因此还需要五个方程，分别为： （1） u f 励磁系统输出电压，设为已知； （2） T m 原动机输出机械力矩，设为已知；
（3） 定子三相绕组与网络接口对应的3个网络方程
因此，利用21个方程可以解出21个未知数，但是从方程形式上看，该方程组为非线性变微分方程，处理难度比较大。所以，有工程师提出了变换坐标系的方法来将方程组简化为非线性常微分方程，这个变换成为派克变换（刘取的书提出派克变换是采用的前苏联学者物理解释的方法，倪以信的书采用的是数学推导的方法）。
1.3派克变换
为了解决同步电机方程中存在大量变化参数的问题，通常根据同步电机的双反应理论，把定子abc 三相绕组经过适当变换而等值成2个分别固定在d 、q 轴上，并与转子同步旋转的等值定子绕组，这种变换就称为派克变换。
经过派克变换后所得的dq0坐标下的同步电机方程中的电感参数均为定常值，有助于实用计算。
经典派克变换推导
变换前后的等值条件，即空间磁动势相等：
f ∑=f a +f b +f c =f d +f q
又d ，q 相互正交，则可以得出下式：
⎡f d ⎤⎡cos θa ⎢f ⎥=⎢
⎣q ⎦⎣-sin θa
cos θb -sin θb
⎡f a ⎤
cos θc ⎤⎢⎥
⎢f b ⎥ -sin θc ⎥⎦⎢⎥⎣f c ⎦
其中，f a , f b , f c , f d , f q 是相应轴上的投影，θa , θb , θc 为d 轴领先a ，b ，c 轴的电角度，且q 轴领先d 轴90°。
稳态对称运行时，f a , f b , f c 在时间上互差120°相位，即：
⎧f a =F cos ωt ⎪
⎨f b =F cos(ωt -120) ⎪f =F cos(ωt +120) ⎩c
其中F 为空间磁动势。
当d 轴与a 轴重合，且电网角频率与转子电角速同步时，则有：
⎧θa =ωt ⎪
⎨θb =ωt -120 ⎪θ=ωt -120⎩c
联立以上三式，可得：
3⎧f =F ⎪d
2 ⎨
⎪f q =0⎩
为了消去系数
32，于是在变换矩阵前再加上一个因子，取为。 23
⎡f d ⎤2⎡cos θa
⎢f ⎥=⎢
⎣q ⎦3⎣-sin θa
计入零轴分量，完整派克变换取为：
cos θb -sin θb
⎡f a ⎤
cos θc ⎤⎢⎥
⎢f b ⎥ -sin θc ⎥⎦⎢⎥⎣f c ⎦cos θc ⎤
⎡f a ⎤⎥-sin θc ⎥⎢⎥f b ⎥ ⎢⎥1
⎣f c ⎥⎦⎥⎢
2⎦
⎡cos θa
⎡f d ⎤
⎢⎥2⎢-sin θa ⎢f q ⎥=3⎢
⎢1⎢f ⎥
⎢⎣0⎦⎣2
经典派克变换矩阵为：
cos θb -sin θb 1
2
⎡cos θa 2⎢-sin θa
D =⎢
3⎢1⎢⎣2
cos θb -sin θb 12
cos θc ⎤-sin θc ⎥⎥
⎥1
⎥2⎦
派克变换小结
派克变换的最大特点是通过在d 和q 旋转坐标上观察电机电磁量，能更好地与转子旋转和凸极效应问题相适应。经典派克变换也存在两个缺点，其一，经典派克变换在功率上不守恒，其二，利用派克变换将abc 坐标下的同步电机有名值方程转换为dq0坐标下的有名值方程时，对应的dq0坐标下有名值电感矩阵中有些互感不可逆。
1.4dq0坐标下的有名值方程
⎡D (3⨯3)
基本过程与abc 坐标下的有名值方程几乎相同，将等式两边同时乘以⎢
⎣0(3⨯3)
会涉及相对复杂的数学推导，证明略去（见倪以信书）。
电压方程：
0(3⨯3) ⎤
，I (3⨯3) ⎥⎦
⎡u dq 0⎤⎡ψdq 0⎤⎡S dq 0⎤⎡r dq 0
=p ⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎢0⎣u abc ⎦⎣ψabc ⎦⎣0⎦⎣0⎤⎡-i dq 0⎤
⎢⎥ ⎥r fDQ ⎦⎢⎣i fDQ ⎥⎦
其中S dq 0 磁链方程：
⎡-ωψq ⎤
⎢⎥
=⎢ωψd ⎥，为速度电动势。 ⎢0⎥⎣⎦
⎡ψdq 0⎤⎡L SS
⎢⎥=⎢ψ⎢⎣fDQ ⎥⎦⎣L RS L SR ⎤⎡-i dq 0⎤
⎢⎥ L RR ⎥i ⎦⎢⎣fDQ ⎥⎦
⎡L SS
其中⎢
⎣L RS
L SR ⎤
为常数阵，但并不对称。 L RR ⎥⎦
功率、力矩及转子运动方程：
功率方程
3
P e =(u d i d +u q i q ) +3u 0i 0
2
电磁力矩方程
T e =P p
转子运动方程
3
(ψd i q -ψq i d ) 2
⎧1d ω
J =T m -T e
⎪P dt ⎪p
⎨
⎪d θ=ω⎪⎩dt
小结
未知数以及方程数与abc 坐标有名值方程相同，而不同的是互感矩阵中个元素变为常数，这就使得解该方程组成为可能。
同步电机标幺制
2.1标幺值系统的选择原则
（1）标幺基值的选取应使各种电路或力学定律相应的有名值方程和标幺值方程形式相同，从而使同步电机标幺值方程和有名值方程有相同的形式。 （2）标幺值方程中互感完全可逆，相应电感矩阵为对称阵 （3）选取适当基值，使传统的标幺电机参数保留在电机方程中 一般采用X ad 基值系统
2.2各绕组的基值
公用基值
f B =50Hz
ωB =2πf B ≈314.16rad /s
t B =
定子绕组基值
1
ωB
i aB =R 即额定相电流的峰值
u aB =R 即额定相电压的峰值 R aB , ψaB 依照定义计算即可。
励磁绕组及阻尼绕组基值
任选电压、电流（u fB , i fB ）作为基值，并依靠该基值计算出其他基值。阻尼绕组的确定方法类似。
2.3原则应用
（1）定子绕组与励磁绕组标幺值互感可逆的约束条件
S fB =S aB
同理，定子绕组与阻尼绕组也满足这样的约束条件。 则可以推得：
⎧
L =⎪⎪afB ⎨
⎪L =faB ⎪⎩
定子绕组与阻尼绕组类似。
（2）保留传统的标幺电机参数的约束
3L afB 2
ωB L df i fB =X ad i aB （从定义推得的）
阻尼绕组满足类似的约束条件。
2.4dq0坐标下的标幺值方程
电压方程
与有名值电压方程相同 磁链方程
电感矩阵变为对称阵，且矩阵中的值与发电机电抗值相对应。 功率、力矩及转子运动方程
功率方程：P e =u d i d +u q i q +2u 0i 0 力矩方程：T e =ψd i q -ψq i d
以上两方程仅与有名值方程有系数3/2的区别。 转子运动方程
⎧d ωT =T m -T e ⎪⎪J dt
⎨
d δ⎪=ω-1⎪⎩dt
转子加速度方程在速度变化不大的暂态过程中，可近似认为
T m -T e =P m -P e
同步电机实用模型
重要假设：
（1） 忽略定子绕组暂态，从而令定子电压微分方程中p ψd =p ψq =0； （2） 定子电压方程中ω≈1；
3.1三阶实用模型（忽略阻尼绕组D 、Q ）
适用范围：精度要求不十分高，但仍需要计及励磁系统动态的电力系统动态分析中，较适用
于凸极机。
基本过程：为了消去转子励磁绕组变量，引入3个定子侧等效实用变量，然后再利用3个磁链方程消去d 轴磁链，q 轴磁链和励磁电流，从而在最终同步电机模型中保留
u dq , i dq , E f , E q ', ω, δ, T m 等9个变量，其中E q ', ω, δ为状态量，电机方程由3个电压方程，
2个转子运动方程组成，当E f , T m 已知，并和网络d 轴，q 轴方程联立，从而求解。 三阶模型方程组：
d 轴，q 轴网络方程。
七个方程即可解出七个未知数。
3.2五阶实用模型
适用范围：对电力系统暂态稳定分析的精度要求较高，可忽略定子电磁暂态，而计及转子阻尼绕组作用的分析计算
基本过程：基本过程与三阶模型推导过程基本类似，但是未知量变多了。因为u D =u Q =0，则所含变量为u dqf , i dqfDQ , ψdqfDQ , T m , ω, δ，其中u f 用E f 取代，再用5个磁链方程消去3个转子电流i fDQ , ψdq ，而ψf , ψD , ψQ 则用E q ', E q '', E d '' 实用变量取代。 五阶模型方程组：
d 轴，q 轴网络方程。
总共9个方程中一共有11个未知数，而这11个未知数中有E f , T m 已知，因而可以求解。
3.3二阶模型
（1）经典二阶模型
对四阶模型，只计及转子动态，即pE q ' =pE d ' =0，且仍计及暂态凸极效应，即
x d ' ≠x q ' 。
（2）E q ' 恒定模型
对三阶模型，同理可知：pE q ' =0，x d ' ≠x q ' ，且假定x q =x q '