利用均衡利率模型对浮动利率债券定价
朱世武 陈健恒
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内容提要 随着中国债券市场的发展。准确和合理的定价能够促进市场的交易,,。国内的浮动利率债,影响了市场的交易。尽管国内不少学者对浮动利,但都集中于交易所市场的研究,对银行间市场的研究很少,并且分析的,国内目前普遍采用的浮动利率债券定价方法还存在不少缺陷。为了更深入地研究浮动利率债券定价的问题,本文以利率均衡模型———Vasicek模型和CIR模型为基础,经过大量的经验研究,给出一套银行间债券市场浮动利率债券的定价方案,取得了比较好的效果,期望能为投资者提供了一些有益的定价方法。
关键词 债券市场 浮动利率债券 定价Vasicek模型 CIR模型
一 导言
随着中国金融市场的改革开放以及中国政府债券发行量的持续增大,仅2003年,银行间债券市场就发行了47只本币债券和1只美元债券,发行总额为7975亿元(不含1只美元债券),债券回购和现券单边交易结算总量达15.13万亿元(中国货币网2003年市场概述)。中国债券市场特别是银行间债券市场日益成为中国重要的金融市场,并成为中国政府实施货币政策的一个重要平台。债券市场已经逐渐向成熟的高度市场化方向发展。但在市场发展和活跃市场交易过程中存在着一个障碍,就是对市场交易的债券的合理定价。在国内规模最大的债券市场———银行间市场中,由于交易者类型的趋同,交易还不甚活跃,对于一些交易较少的债券难以形成合理的价格。而对于浮动利率债券,由于其基础利率(银行存款利率)不是市场化利率,给定价造成了更大的困难。在这种情况下,如何合理地对浮动利率债券定价成为市场发展过程中一个亟待解决的问题,也是一个一直困扰业界的问题。本文正是在这种背景下,研究应用国外成熟的利率均衡模型———Vasicek模型和CIR模型来对浮动利率债券进行定价。文章的结构安排如下:全文总体分为四部分。第一部分引出浮动利率债券定价的问题以及提出本文的目的,介绍中国浮动利率债券市场的情况以及目前业界所采用的定价方法,分析这些方法的缺陷。第二部分介绍了本文所采
3朱世武、陈健恒:清华大学经济管理学院金融系 100084 电子信箱:zhushw@em.tsinghua.edu.cn。
本文为国家社会科学基金(02BJY132)及国家自然科学基金(70273016)资助项目。
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用的利率模型以及利用这些模型定价的原理。第三部分主要是应用模型的经验检验。第四部分在检验了本文的定价方法之后,给出了全文的结论。
二 浮动利率市场现状以及国内的定价方法分析
1999年,国家开发银行发行了中国首只浮动利率债券。财政部和政策性银行在2000和2001年加大
了发行浮动利率债券的比例,使得浮动利率债券一度成为市场上的主体,财政部和政策性银行已经较少发行浮动利率债券,近40只)。定的而是浮动的,。而国RateNote,FRN)也有明显的差异。原因在,而这一利率不是市场化利率,受到政府的控制,(如短期同业拆借利率LIB。这些基准利率是高度市场化的利率,时刻处于变动状态,反映了市场对资金的供求状况。
国外的浮动利率债券定价从来都不是一个难题。因为其支付的利息是随着市场利率的改变而改变的。因此在付息日也就是利率调整日,债券的价格会回归至票面价值(例如100元)。也就是说,对于基础利率是高度市场化利率的浮动利率债券而言,在任何付息日,债券的价格都等于面值。在这种情况下浮动利率债券就可以看成是一个短期债券(期限等于付息间隔,如果半年付息就相当于半年期的附息债券),只要用当天的相应期限的债券收益率对面值和利息进行折现就可以得到当天的浮动利率债券价格。
国内的浮动利率债券由于其基础利率不是市场化利率,而是由政府控制的,政府是根据其货币政策来制定存款利率的,不随市场因素变动,因此浮动利率债券未来的现金流变得难以确定,其定价也不像国外的浮动利率债券那么简单有效。目前业界对浮动利率债券定价主要有两种方法,一种是现金流分解法(陈力峰,2002),另外一种是期限结构法。下面简要介绍这两种方法,并分析其缺陷。
现金流分解法的定价原理与国外对浮动利率债券的定价相似。由于国内的浮动利率债券的利息包含了两部分(基础利率和利差),因此现金流分解法就是将未来的现金流分解成这两部分,分别定价。对于基础利率部分的现金流,这种方法将基础利率视为随时调整的市场化利率,从而基础利率现金流的现值在付息日就等于债券面值(与国外的定价原理一致)。因此将这部分现金流也看成是一个短期利率债券来定价。而对于利差部分的现金流,由于是一个固定的利息支付,因此可以用当天的期限结构进行折现定价。将这两部分的价值加起来就是当天的浮动利率债券的价格。可以说,这种方法基本上与国外的定价方法是一致的,也比较简单。但是将基础利率部分看成是随时调整的市场化利率不符合国内的实际情况,是一种比较牵强的定价方法。
第二种方法是期限结构法,其原理就是利用当前时刻的即期利率期限结构推导出远期利率期限结构,以远期利率作为对未来基础利率的预测,从而确定未来的现金流,再用当前的即期利率进行折现得出浮动利率债券的价格。这种方法从理论上来说是合理的,但是却面临一些实际操作中的问题。
第一,当前能够观察到的期限结构是根据市场上的债券价格信息推导出来的,反映的是市场化利率的状况,因此以当前期限结构推导出来的远期利率是否能够有效的作为非市场化基础利率的替代或者真
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利用均衡利率模型对浮动利率债券定价实反映市场对基础利率的预期是有疑问的。
第二,在银行间市场,由于债券交易的不活跃以及部分债券交易价格的不合理,导致了通过债券价格信息推导期限结构出现困难。而中国货币网每天公布的利率期限结构,从其形状上看有时是很不合理的,目前还没有一个标准的方法能够合理地推导银行间市场的利率期限结构。因此,利率期限结构的不合理必然影响了这种方法对债券定价的准确性。从市场实际情况来看,外汇交易中心开发的债券分析系统———F系统①应用这种方法对浮动利率债券定价往往得出比市场价格低的理论价格,场实际价格吻合。
可见对浮动利率债券定价确实是一个比较复杂的问题,,的基础,三 模型介绍
(马特里尼和普里奥兰德,2002)。静态模型就是以当天市场的债券价格信息为基础,构造利率曲线函数,利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格,从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。静态模型最为常见的方法包括样条法(SplinesMethod)和Nelson-Siegel模型等(朱世武、陈健恒,2003)。利用静态模型估计银行间市场的利
率期限结构在实际操作中还存在不少困难。动态模型是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发,通过随机微分方程推导出一个理论上的利率期限结构。其中动态模型又包括均衡模型和无套利模型。所谓均衡模型是指利率的随机微分方程的形式是通过经济理论分析得出的,这种模型推导出来的利率期限结构不必与市场实际的期限结构相一致。而无套利模型是利用市场上的价格信息来推导出利率随机微分方程的形式,从而由模型诱导的利率期限结构与实际中的期限结构相一致。著名的Vasicek模型(Vasicek,1977)和CIR模型(Coxetal.,1985)就属于动态的均衡模型,这也是本文所要分析并应用的模
型,但本文只分析单因素模型。
动态均衡单因素模型假定短期利率波动是造成债券收益不确定性的惟一因素,所有债券收益之间都有很强的正相关性,债券收益率曲线以一个单一参数为特征,即单因素模型假定短期利率发生变化时,具有不同到期期限的各种债券价格的变化是正相关的。不同的短期利率动态模型给出不同形式的单因素模型。
短期利率动态模型的基本形式是:
dr=μ(t,r)dt+σ(t,r)dB
(1)
其中,μ(t,r)是漂移系数,σ(t,r)是波动率。
应用伊腾(Ito)引理,零息票债券的即期收益率为:
dP=(Pt+Prμ+
=μpPdt+σpdB
2
Prr)dt+PrσdB2
(2)
①F系统为外汇交易中心暨全国银行间拆借中心开发的债券分析系统,包括行情显示以及债券分析(如债券定价、组合风险管理、利
率期限结构计算等等)。
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其中,Pt表示9P/9t,Pr表示9P/9r,Prr表示9P/9r。由于债券价格随着利率变动而反向变动,为了σp,这里称λ是风险溢价系数(可以看成是风对利率风险给予回报,债券的超额收益率定义为μp-r=λ险的市场价格)。由式(2)得:
λ=
μp-r
(1/P)Prσ
(3)
2
2
这里要注意的一点是,从风险溢价系数的定义来看,λ是一个负数①,即λ0,而Pr
(一)Vasicek模型
在Vasicek模型中,dr=μ(t,r)dt+(r+dB
(4)
μσ都是常数, 其中,α、、模型是第一个具有均值回复性质的利率期限结构模型,rμ时就会向该水平回复,α是回复速率,σ,推导出零息票债券价格的表达式:
)=A(τ)eP(τ)=B(τ
)r(t)-B(τ)-α(τ
(5)(6)(7)
α
λσσ2σ22)=exp{-(μ-τ-B(τ)]-A(τ-}2)[α2α4α
其中,τ表示债券的剩余期限。
(二)CIR模型
在CIR模型中,短期利率的随机微分方程为:
dr=α(μ-r)dt+rdB
(8)
零息票债券价格可以表示为:
)=A(τ)exp(-B(τ)rt)P(τ
(9)
1exp(
)=A(τ
(10)
exp(
(11)
其中,
2
σ2,
CIR模型与Vasicek模型的区别在于利率随机微分方程中波动因子的构造不同。CIR模型的波动因
子随着利率水平的变化而变化,当利率很小的时候波动也很小,从而避免了出现负利率的情况,而在Va2sicek模型中,当利率水平很低时有可能出现负利率。
(三)定价原理
①在国内的一些研究当中,将λ作为正数看待是不正确的,希望引起注意。
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通过Vasicek模型和CIR模型推导出零息票债券的理论价格后,可以根据即期利率与零息票债券价格的关系进一步推导出即期利率期限结构。而这个利率期限结构是理论上的期限结构,是在模型的基础上推导出来的,未必与市场上观测的期限结构一致。
即期利率:R(τ)=
利用零息票债券价格推导出远期利率:
一年期远期利率:f(τ)=
)(-1
P(τ+(13)
P(τ
-1
纯预期理论将远期利率视为对未来利率的预测,,替代浮动利率债券未来的基础利率,,C=(远期利率+利差)/付息频率。。
:
n
P=
(1+R)
i=1
i
Cti
+
t
(1+Rn)n
(14)
其中:P;Ri为第i期贴现率;Ci为第i期息票利息;CF为最后一期返还面值;ti为从目前时点到以后第i个计息日的时间长度(以年为单位);n为债券剩余付息次数。
以下进入经验检验阶段,利用这两个模型对市场上的浮动利率债券进行定价以判断这种定价方法的可信度和适用性。
四 经验检验
(一)参数估计
Vasicek和CIR单因子模型都是经典的均衡利率模型。通过模型对短期利率运动趋势的描述可以推
导出即期利率期限结构,从而能够为各种利率型金融工具进行定价和风险管理。不少学者对这些单因子模型作了经验检验,包括利用模型对各种衍生利率产品进行定价,这些学者认为模型推导的利率期限结构能够反映未来即期利率的市场走势。其中,这些经验分析又以对CIR模型的分析居多。在检验的过程中,学者们都共同面临着这样一个问题———对参数进行估计。不同的研究中,采用了不同的参数估计方法。而不同的估计方法又使得参数的估计有着明显的不同。由于模型的可靠性和适用性取决于有效的、准确的参数估计,因此如何能够更好的对参数进行估计是本文所关心的问题,也是需要重点解决的问题。下文通过对这些参数估计的方法进行比较分析,选择出更为有效合理的参数估计方法。
不同估计方法最大的区别在于所采用的原始数据信息不同。主要可以分为三类:纯时间序列数据方法(puretime2seriesdatamethod)、纯截面数据方法(purecrosssectionaldatamethod)和混合时间序列/截面数据方法(jointtime2series/crosssectionaldatamethod)。
第一种方法主要是采用了短期无风险利率的时间序列数据对模型进行估计。Ogden(1987)曾经用这种方法对CIR模型参数进行了估计,并为逆浮动利率债券(YieldCurveNotes)定价。Ogden在估计过程中采用了极大似然法。国内也有一些学者采用时间序列数据,对Vasicek和CIR模型作了经验研究(江明波,2002;谢赤、吴雄伟,2002),并在估计过程中分别采用了回归和GMM(广义矩估计)方法。由于
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模型本身就是一个短期利率的随机微分方程,采用利率的时间序列数据进行估计的一个明显优势在于数据容易处理,估计过程也相对简单直观。但是这种方法也有一些缺陷:第一,不能够估计出风险溢价系数λ,只能将λ作为一个外生变量事先给定。第二,模型只是采用了利率变动过程的数据,而忽略了与利率相关的金融证券(如债券)的价格信息。因此模拟出来的参数未必能够与观察到的证券价格一致,从而使模型的可靠性和适用性有所降低。第三,在短期利率变动比较剧烈的情况下,模型的参数变得不稳定,而要改善这种状况就需要更长时间的数据。
第二种方法采用某个时间点各种债券价格的截面数据对模型进行估计CIR模型的参数,Brown与Dybvig(1986),1989)对商业
抵押证券进行了定价分析。由于在单因子模型下,,因此参数的估计原理是以参数来表示债券的理论价格,。:,,但是参数本(例如对CIR模型,只能估计出参数φ1、φ2和φ,,在不同的时点,这些参数的变动是很大的,即。第三,由于这种方法一般是采用零息票债券的价格信息进行估计的,考虑到中国市场的实际情况,零息票债券的数量很少,加上银行间市场的交易很不活跃,因此要在某一天获得足够多的零息票债券交易的价格数据是十分困难的,这就给参数估计带来了麻烦。因此这种方法在中国市场不太具有可操作性。
第三种方法为了克服以上两种方法的一些缺陷,将时间序列数据和截面数据综合起来对参数进行估计。Beaglehole与David(1987)、Person与Sun(1993)、Phillips与Michael(1993)分别采用了这种方法进行了研究。当然,在具体的研究过程中这些学者的估计方法也有差异。就其原理来说,第三种方法比前两种方法引入的信息更多,其估计也应该更为有效。但是由于引入了这两类数据,使得参数估计的模型更加复杂,计算更加繁琐。这也是该方法的一个缺陷。
可以说这些估计方法都有各自的优势和缺陷,本文为了使参数的估计更加有效和稳定,采用第三类方法来对模型进行估计。另外,考虑到中国债券市场的特殊情况,在具体估计过程中会对原方法做出一些相应的修改,以使得估计过程更简单一些。
下面以Phillips和Michael(1993)所介绍的方法为基础,分析如何对模型的参数进行估计。这里先以CIR模型为例,类似过程可用于估计Vasicek模型的参数。
前文提到,在CIR模型下,零息票债券的理论价格可以用模型参数以及风险溢价λ来表示。即有
)=A(τ)exp(-B(τ)rt)。但是,市场价格与理论价格是有一定的差异的,市场价格可以用下述模P(rt,τ
型描述:
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ln(Pt,τ)=ln(A(τ)exp(-B(τ)rt))+εt,τ
(15)
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εt,τ是服从正态分布的残差项,即,ε 其中,Pt,τ是市场上观察到的零息票债券价格,①τ),并t,τ～N(0,σ
σ假定ε对于不同的τ值是独立同分布的,②τ是待估参数。t,τ
2
①指债券面值为1元的零息票债券的当天市场价格,需要用市场上观测的价格除以100。
,εt,τ的方差是不同的。但本文考虑到中国市场上零息票债②在Phillips与Michael(1993)一文中,放宽了这个条件,假设对不同的τ
券较少,而且本文所观测的零息票债券剩余期限比较相近,因此将εt,τ看成是同分布的,从而减少了要估计的参数数量。
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CIR模型的离散状态形式为:
Δrt=α(μ-rt-1)Δt+