习 题 解 答
第七章 线性变换
§1线性变换的定义
一、基础题：
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，Aξ=ξ+α,其中α∈V是一固定的向量；
2） 在线性空间V中，Aξ=α其中α∈V是一固定的向量； 3） 在P3
中，A(x22
1,x2,x3)=(x1,x2+x3,x3) 4） 在P3
中，A(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1)； 5） 在P[x]中，Af(x)=f(x+1)
6） 在P[x]中，Af(x)=f(x0)其中x0∈P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，Aξ= 8） 在P
n×n中，A(X)=BXC其中B,C∈P
n×n
是两个固定的矩阵.
解 1)当α=0时,A是线性变换；当α≠0时, A不是线性变换. 2) 当α=0时,A是线性变换；当α≠0时, A不是线性变换.
3)不是。例如当ξ=(1,0,0),k=2时, kA(ξ)=(2,0,0),A(kξ)=(4,0,0),
A(kξ)≠kA(ξ)
4)是.取ξ=(x1,x2,x3),η=(y1,y2,y3),有 A(ξ+η)=A(x1+y1,x2+y2,x3+y3)
=(2x1+2y1−x2−y2,x2+y2+x3+y3,x1+y1) =(2x1−x2,x2+x3,x1)+(2y1−y2,y2+y3,y1) = A(ξ)+A(η) A(kξ)=A(kx1,kx2,kx3)
=(2kx1−kx2,kx2+kx3,kx1)=(2kx
1−kx2,kx2+kx3,kx1) = kA(ξ)
故A是P3
上的线性变换.
5) 是。因任取f(x)∈P[x],g(x)∈P[x],并令
u(x)=f(x)+g(x)则
A(f(x)+g(x))=Au(x)=u(x+1)=f(x+1)+g(x+1)=Af(x)+A(g(x)) 再令v(x)=kf(x)则A(kf(x))=(v(x))=v(x+1)=kf(x+1)=kA(f(x))故A为P[x]上的线性变换.
6)是。因任取f(x)∈P[x],g(x)∈P[x]则.
A(f(x)+g(x))=f(x0)+g(x0)=A(f(x))+(g(x))
A(kf(x))=kf(x0)=kA(f(x))
7)不是。例如取α=1,k=i,则A(kα)=−i,kA(α)=i,A(kα)≠kA(α) 8)是。任取二矩阵X,Y∈P
n×n
,则
A(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=A(X)+A(Y)A(kA)=B(kX)C=kBXC=kA(X)
故A是P
n×n
上的线性变换.
二、提高题：
1、在几何空间中,取直角坐标系Oxyz以A表示将空间绕Ox轴由Oy向Oz方向旋转90度的变换,,以B表示绕Oy轴由Oz向Ox方向旋转90度的变换,以C表示绕Oz轴由Ox向Oy方向旋转90度的变换.证明:A=B=C=ε,AB≠BA,但AB=BA 并检验(AB)≠AB是否成立. 解 任取一向量α=(x,y,z)，则有 1）Aα=(x,−z,y),A
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
α=(x,−y,−z),A3α=(x,z,−y),A4α=(x,y,z),
Bα=(z,y,−x),B2α=(−x,y,−z),B3α=(−z,y,x),B4α=(x,y,z), Cα=(−y,x,z),C2α=(−x,−y,z),C3α=(y,−x,z),C4α=(x,y,z),
∴A=B=C=ε
2）AB(α)=A(z,y,−x)=(z,x,y)
4
4
4
BA(α)=A(x,−z,y)=(y,−z,−x)
∴AB≠BA
3）AB(α)=A(−x,y,−z)=(−x,−y,z)
2
2
2
B2A2(α)=(AB)(ABα)=AB(z,x,y)=(y,z,x)
∴(AB)≠AB
2
2
2
§2线性变换的运算
一、基础题：
1、在P[x]中,Af(x)=f(x)，Bf(x)=xf(x)，证明：AB−BA=ε 证 任取f(x)∈P[x],则有
'
(AB−BA)f(x)=ABf(x)−BAf(x)=A(xf(x))−B(f′(x))=f(x)+xf′(x)−xf′(x)=f(x)
故AB−BA=ε
2、.设A,B是线性变换,如果AB−BA=ε,证明:AB−BA=kA证 用数学归纳法. 当k=2时,
k
k
k−1
(k>1)
A2B−BA2=(A2B−ABA)+(ABA−BA2)=A(AB−BA)+(AB−BA)A=Aε+εA=2A
结论成立.
假设k=m时结论成立,即AB−BA=mA
m
m
m−1
则当k=m+1时,有
Am+1B−BAm+1=(Am+1B−AmBA)+(AmBA−BAm+1)=Am(AB−BA)+(AmB−BAm)A=
Amε+mεm−1A=(m+1)A
即k=m+1时结论成立.故对一切k>1结论成立.
二、提高题：
1、证明:可逆变换是双射.
证 设A是可逆变换,它的逆变换为A. 若ξ≠η
,则必有Aξ≠Aη，不然设Aξ=Aη两边左乘A,有ξ=η,这与条件矛盾.
−1
−1
−1
其次,对任一向量η,必有ξ使Aξ=η,事实上,令A因此, A是一个双射.
η=ξ即可.
2、设ε1,ε2,