矢量控制系统理论基础及其公式推导
目录：
1、 坐标变换理论
2、 A-B-C 静止坐标系下的感应电机数学模型
3、 任意转速旋转的d-q 坐标系下的感应电机数学模型 4、 α-β坐标系下的感应电机数学模型 5、 dq0坐标系下的感应电机数学模型 6、 间接矢量控制系统的关键公式推导 7、 磁链观测器关键公式推导 内容：
1、 坐标变换理论
A-B-C 坐标系与α-β坐标系：
⎧⎪i α=
⎪ ⎨
⎪i =β⎪⎩
(1)
推导的条件： ①磁动势相等； ②功率守恒； ③i A +i B +i C =0。
α-β坐标系与d-q 坐标系：
⎧⎪i α=i d cos ϕ-i q sin ϕ
⎨
i =i sin ϕ+i cos ϕ⎪βd q ⎩
(2)
逆变换：
⎧⎪i d =i αcos ϕ+i βsin ϕ
(3) ⎨
i =-i sin ϕ+i cos ϕ⎪αβ⎩q
其中：ϕ=ωt 为d-q 轴与α-β轴之间的夹角；ω为d-q 坐标系的旋转速度
特殊情况：
当d-q 坐标系的旋转角速度ω与同步角速度相一致时，d 轴与q 轴的分量为直流量。
2、A-B-C 静止坐标系下的感应电机动态数学模型 动态数学模型有五部分组成：电压方程、磁链方程、转矩方程、运动方程和速度方程。 电压方程： 定子电压方程
d ψA ⎧
⎪u A =i A R s +dt ⎪
d ψB ⎪
(4) ⎨u B =i B R s +dt ⎪
d ψC ⎪
u =i R +C C s ⎪
dt ⎩
转子电压方程
d ψa ⎧
u =i R +⎪a a s
dt
⎪
d ψb ⎪
u =i R +(5) ⎨b b s
dt ⎪
d ψc ⎪
⎪u c =i c R s +
dt ⎩
归纳为：u =Ri +p ψ（6）
磁链方程： 由于感应电机共有六组线圈，分别是定子三组和转子三组线圈，每组线圈的磁通量是自感产生的磁通量和其它线圈感应产生的磁通量之和，如A 相磁链为： ψA =ψAA +ψAB +ψAC +ψAa +ψAb +ψAc （7） 其中：ψAA =i A L AA ，为A 相自感产生的磁通量；ψAB =i B L AB ，为B 相在A 相感应的磁通量，其它各相感应的磁通量分别是：ψAC =i C L AC ，ψAa =i a L Aa ，ψAb =i b L Ab 和ψAc =i c L Ac 。
包含六个线圈的磁链方程为： ⎡ψA ⎤⎡L AA L AB L AC L Aa L Ab ⎢ψ⎥⎢L
⎢B ⎥⎢BA L BB L BC L Ba L Bb ⎢ψC ⎥⎢L CA L CB L CC L Ca L Cb ⎢⎥=⎢
⎢ψa ⎥⎢L aA L aB L aC L aa L ab ⎢ψ⎥⎢L L bA L bA L bA L bA ⎢b ⎥⎢bA ⎢⎣ψc ⎥⎦⎢⎣L cA L cB L cC L ca L cb 并且：
L AA =L BB =L CC =L ms +L ls ⎧⎪L aa =L bb =L cc =L ms +L lr ⎪⎪1
⎨L AB =L AC =L BA =L BC =L CA =L CB =-L ms （10）
2⎪
⎪1⎪L ab =L ac =L ba =L bc =L ca =L cb =-L ms
2⎩
L Ac ⎤⎡i A ⎤
⎢i ⎥L Bc ⎥⎥⎢B ⎥L Cc ⎥⎢i C ⎥
⎥⎢⎥（8） L ac ⎥⎢i a ⎥L bA ⎥⎢i b ⎥⎥⎢⎥L cc ⎥⎦⎢⎣i c ⎥⎦
归纳为：ψ=Li （9）
L Aa =L aA =L Bb =L bB =L Cc =L cC =L ms cos θ⎧
⎪o
⎨L Ac =L cA =L Ba =L aB =L Cb =L bC =L ms cos(θ-120) （11） ⎪L =L =L =L =L =L =L cos(θ+120o )
bA Bc cB Ca aC ms ⎩Ab
其中，L ms 为定子和转子每相互感，L ls 为定子漏感，L lr 为转子漏感，θ=ωr t 为定转子之间的夹角，ωr 为转子电角速度 式（10）分别为定子三相和转子三相的自感和互感，由于定子三相之间位置相对固定为120度，转子三相之间位
置也是固定的120度，因此，互感都是定值。 式（11）为定子与转子之间的互感，由于转子处于旋转状态，定转子之间位置并不固定，因此，定转子之间的互感为时变值，当定子A 相与转子a 相重合时，其互感最大，当两者为90度时，其互感最小。 综合式（6）和（9），可得： u =Ri +pLi （12）
由于L 和i 都是变化的，对其求微分得到： u =Ri +Lpi +
dL
ωr i （13） d θ
其中，Lpi 为电感压降，也被称为由于电流突变而导致的脉变电动势，
dL
ωr i 为与速度相关的速度反电动势。 d θ
转矩方程：
T e =n p L ms [(i A i a +i B i b +i C i c )sin θ+(i A i b +i B i c +i C i a )sin(θ+120o ) +(i A i c +i B i a +i C i b )sin(θ-120o )]（14）
运动方程：
T e -T L =
J d ωr
n p dt
（15）
其中，T L 为负载转矩，J 为转动惯量，n p 为磁极对数。
3、任意旋转速度d-q 坐标系下的感应电机数学模型
设ωdqs 为d-q 坐标系相对于定子的旋转速度，ωdqr 为d-q 坐标系相对于转子的旋转速度。 电压方程：
⎧u ds ⎪u ⎪qs ⎨⎪u dr ⎪u qr ⎩
=R s i ds +p ψds -ωdqs ψqs =R s i qs +p ψqs +ωdqs ψds =R s i dr +p ψdr -ωdqr ψqr =R s i qr +p ψqr +ωdqr ψdr
（16）
归纳为：u =Ri +Lpi +e r
其中，e r 为旋转反电动势，并且该反电动势存在d-q 轴之间的耦合。 磁链方程：
⎧ψds ⎪ψ⎪qs ⎨⎪ψdr ⎪ψqr ⎩
=L s i ds +L m i dr =L s i qs +L m i qr =L m i ds +L r i dr =L m i qs +L r i qr
（17）
3
其中，L m =L ms 。
2
由于定子和转子都转换为相同的d-q 坐标系上（图6-50所示），由于d 轴和q 轴相互垂直，不存在磁链相互耦合，并且在相同的d 轴和q 轴上都不存在绕组之间的相对运动，所以互感不再是时变参数，而是定参数。
转矩方程：
T e =n p L m (i qs i dr -i ds i qr ) （18）
运动方程为式（15）所示。
转子电角速度： ωr =ωdqs -ωdqr （19）
4、α-β坐标系下的感应电机数学模型
α-β坐标系可以认为是ωdqs =0，ωdqr =-ωr 的一种旋转坐标系，此时只需将d-q 坐标系下的数学模型中包含速度项
做相应替换即可。
5、dq0坐标系下的感应电机数学模型
dq0坐标系即是以同步角速度旋转的d-q 坐标系，此时，ωdqs =ωe ，为同步电角速度 ，ωdqr =ωsl ，为转差角速度。
dq0坐标系下的d 轴和q 轴分量均为直流量，dq0坐标系下的数学模型只需将速度项进行相应的替换即可。 电压方程：
⎧u ds =R s i ds +p ψds -ωe ψqs
⎪u =R i +p ψ+ωψ⎪qs s qs qs e ds
⎨
u =R i +p ψ-ωψs dr dr sl qr ⎪dr
⎪u qr =R s i qr +p ψqr +ωsl ψdr ⎩
（20）
dq0坐标系下的数学模型中，根据磁链方程（17），可以分别用定子磁链和转子磁链替换i dr 和i qr ，i dr 和i qr 难以检测，
所以其状态方程有两种形式，一种是以速度、定子磁链和电流为变量，另一种是以速度、转子磁链和电流为变量。 当以转子磁链为变量时，
ψdr ⎧
⎪i dr =⎪⎨
⎪i =ψqr qr ⎪⎩
-L m i ds
L r -L m i qs L r
（21）
考虑感应电机转子为短路状态，因此u dr =u qr =0，此时方程（20）中的后两项表达式为
⎧⎪0=R s i dr +p ψdr -ωdqr ψqr
（22） ⎨
0=R i +p ψ+ωψ⎪s qr qr dqr dr ⎩
将式（21）代入式（22）中，并整理得到：
L m 1⎧p ψ=-+ωψ+i ds dr sl qr ⎪dr
T r T r ⎪
（23） ⎨
L 1m ⎪p ψ=--ωψ+i qs qr qr sl dr
⎪T T r r ⎩
L
其中，T r =r
R r
将式（21）代入式（18）中，并整理得到：
T e =
n p L m L r
(i qs ψdr -i ds ψqr )
（24）
6、间接矢量控制系统的关键公式推导 间接矢量控制系统中，将dq0坐标系的d 轴建立于转子磁场方向上，此时，
⎧⎪ψdr =ψr
⎨
ψ=0⎪qr ⎩
（25）
将式（25）分别代入式（23）和（24）中，
p ψr =-
L 1
ψr +m i ds （26） T r T r
L m
i qs T r
0=-ωsl ψr +T e =
n p L m L r
（27）
i qs ψr （28）
由式（26）可知：
ψr =
L m
i ds （29） T r p +1
将式（29）代入式（28）中：
T e =
n p L 2m L r (T r p +1)
i qs i ds
（30）
由式（27）可知： ωsl =
L m i qs
（31） T r ψr
所以，转子磁链的位置： ϕ=⎰ωe dt =⎰ωr dt +⎰ωsl dt （32）
式（29）说明转子磁链只与定子d 轴电流分量相关，而转矩仍然与d 轴和q 轴电流相关，无法完全解耦，但是当转子磁场保持不变时，可以认为转矩只与q 轴电流相关
式（32）说明间接矢量控制系统磁场定向的角度计算方法，利用转子电转速度和转差角速度分别计算角度，然后相加即得到转子磁场的实际位置。
值得注意的是，磁场定向中所用到的d 轴和q 轴电流均是指令值。
7、磁链观测器关键公式推导
利用磁链观测器进行磁场定向一般是在α-β坐标系下进行。
电流模型：
α-β坐标系相当于ωdqs =0，ωdqr =-ωr 的旋转d-q 坐标系，因此，式（21）可以变换为α-β坐标系下的关系式： ψαr ⎧i =αr ⎪⎪⎨
⎪i =ψβr βr ⎪⎩
-L m i αs
L r -L m i βs L r
（33）
利用感应电机转子类似短路，因此，u αr =u βr =0，并利用式（16）得到：
1⎧
p ψ+ωψ+(ψαr -L m i αs ) =0r βr ⎪αr
T r ⎪
⎨
1⎪p ψ-ωψ+(ψ-L i ) =0
βr r αr βr m βs
⎪T r ⎩
（34）
整理得到：
1⎧
⎪ψαr =T p +1(L m i αs -ωr T r ψβr ) ⎪r
（35） ⎨
1⎪ψ=(L m i βs +ωr T r ψαr ) βr
⎪T p +1r ⎩
具体实现办法如图6-56。通过求解ψαr 和ψβr ，就可求出转子磁链的大小和所处的控制位置：
r = （36）
ϕ=arctg
ψβr
ψαr
（37）
电压模型：
在α-β坐标系下的电压方程中，利用u αr =u βr =0，可求出：
-ωr ψqr R s +ωr ψdr R s
p ψdr ⎧i =⎪dr ⎪⎨
⎪i =p ψqr ⎪qr ⎩
（38）
将式（38）代入电压方程中：
⎧L m d ψαr L 2di
=u αs -R s i αs -(L s -m ) αs ⎪
L r dt ⎪L r dt
（39） ⎨2
d ψdi L L βr βs ⎪m
=u βs -R s i βs -(L s -m )
⎪L dt L r dt ⎩r
L 2
令δ=1-m 为总漏感系数，将式（39）整理为：
L s L r
L r ⎧
⎪ψαr =L [⎰(u αs -R s i αs ) dt -σL s i αs ]⎪m
⎨
L ⎪ψ=r [(u -R i ) dt -σL i ]βr βs s βs s βs ⎪L m ⎰⎩
（40）
通过式（36）和式（37）就可实现转子磁链的观测。