1864年，JCM 提出了一个在科学历史上最为成功的理论。在皇家协会一个出名的研究报告中，他描述了9个方程式，总结了所有已知的电学和磁学定律。这不仅仅是将其罗列出来。假设的提出是需要附加条件使得方程式的前后一致。而Maxwell 提出的一个完整的场理论，我们需要一个源场，一个介质场，和一系列场微分方程。这些都允许我们用数学的方式去描述有关于影响（介质场）和诱因（源场）之间的关系。一个好的假设的提出，需要包括设定的构成关系和有关于一些场 的边界表面积和初使时间的关系。一个电磁场如果要有物理意义，我们必需将其与一些可观测的量联系起来，比如力场。最后，允许用来解决涉及数学上的不连续点的问题，必须规定一个确定的范围或一个跳变的情况条件。
在Maxwell 的方程中，源场包含矢量场 J （r,t ）（电流密度）和标量场P （电荷密度）。介质场 就是组成电磁场的四个矢量场
电流密度（矢量）
电荷密度（标量）
电场强度（矢量）
电通量密度（矢量）
磁通量密度（标量）
磁场强度（标量）
以上这些量，在一个时变场中，是任意真正作用空间，如下，方向矢量r 和时间，在静态场时任是r 的功能。
两个新的概念得先确立下：变化的电场会产生磁场，变化的磁场出会产生电场，所以我们称其为电磁场。
1. Maxwell 方程
Maxwell 电磁学理论中最重要的基础方程。以下是他们的描述
（1） 这绵左边是磁场强度用的闭环线各分（沿闭合路径的C 的积分）。它的右边是总的
电流密度的面积分，决和的电流密度对J 由于电荷 的移动（通常，它只是传导电流）及其位移电流的密度是相等时间内电流通量密度的导数（电位移密度）
积分受管于任何表面边界的轮廓C
（2） 这个定理表示，电动势包括于一个变化的磁场闭合路径等于这个闭合加布的磁通量
的对于时间的变化量。
（3） 这个定理表示穿过任意一个闭合面的磁通量为0
（4） 这个定理表示闭合回面的向外的通量密度等于局限于表面的变化
这些方程式都是积分形式，两个基本定理将MAXWELL 方程式以另外两种不同的方式表达出来。STOCKES 的定理表述了任意矢量A 的线积分和A 的卷面的面积分的关系。线积分分C 的方向遵循右手定则标准的方向的曲面。同样，Divergence 定理，闭合面S 的积分等于体积积分发散的容量V 的封闭面S 。S 的标准方向是向外的。
不同形式的MAXWELL 方程为如下所列：
这四个方程式解释了有关于电磁源和场的所有关系
（1） 传导电流，位移电流源的磁场
（2） 时变磁场产生电场
（3） 磁场是螺线管型的磁场
（4） 电荷是发散电场源
2. 电流的连续性方程
虽然它不是由maxwell 方程直接得出的，但是可以由maxw εll 方程推导出来。例如 并令 H=0，D=P。当方程连续时可以的结论如下:
3本构关系
向量方程和标量方程等效于8个标量方程由12未知量组成的（由变化的向量ΕDBH 构成的三个部分）即使我们考虑到点和密度p 和电流密度j 已知。
允许场向量的唯一性的决定，maxw εll 方程增补了关于描述介质对场的影响。这些附加的关系被称为本构关系，是通过实验或者是从原子理论推到出来的
如果场的向量是显性关系的话符合叠加定理的要求，媒介的线性是maxwell 方程的组合和线性连续关系是线性强电质的基础。
在真空，本构关系被简化：
如果在电磁场上所取得场的方向是独立的则媒介被具有各向同性。例如，简单的讨论：
这的电解质常数、相对磁导率和传导率都是标量。如果εu δ在一个空间上的任意一点都相同，这个介质被认为相同的。
在另一方面，如果戒指的电磁场性质是依靠场的方向向量，这个介质具有各向异性，例如
这里的ε和u 分别是电介质和相对磁导率。
当本构关系被用在maxwell 方程。未知向量只能是Εh 或DB
4边界条件
Maxwell 方程适用是介质物理性质连续变化，然而，通过一种介质与另一种介质的交界面本构关系如s ，u 或者δ都会发生变化。我们可以预料相对的变化在场向量，为了解决maxwell 方程从区域列在另一个以至于得到结果是唯一的并适用于所有的地方。我们要边界条件去强加在场向量和接触，边界条件是两个场之间的接触面s 可以通过maxwell 方程进行积分得出。考虑到两种不同的介质的物理特性ε1υ1δ1和ε2υ2δ2被交界面s 分开如图4-1所示。电磁场在这两个介质被另名（E1H1D1B1）和（E2H2D2B2）
表示单位向量n 和s 法线方向从一种介质到另一种介质并面积分用在maxwell 方程在小圆柱体的闭合曲面，曲面与h 和s 成正比关系。B 为恒定不变的常数。当h 趋近0时，圆柱体只有底面s 它的曲面面积变的很小。我们可以得出
当B 通过两个不同介质的边界曲面还是连续的。
同理，对d 进行积分得：
同样的，对D 执行积分，我们获得 表明在S 面前层的表面电荷密度P ，D 的垂直分量突然在界面变化，而且不连续的数量等于表面的电荷密度。如果在S 上没有表面电荷如同在两种不同电介质的情况下，D 的垂直分量一定是连续的。
转向旁边切向分量的行为，我们用一个面积为A 周围两边的长度为L ，平行界面为S ，而且末端的长度为H ，垂直于S 如同Fig.4-2所示 的小矩形环代替这圆柱体。当H —》0，我们有 表明E 穿过两种介质界面的切向分量一定是连续的。它可以用明确的当（式子）的单位切线矢量T 表示。
我们可以得到关系式 表明H 穿过任何两种介质表面的切向分量是不连续的，而且间断的数量等于表面电流密度。如果电流密度J 是有限的，依照它一定是在任何媒介有限的传导性，那么我们有
作为一个特殊情况，如果媒介1是一个理想电导体且媒介2是一个理想的电介质，表面传导电流和电荷密度可能存在。那么在媒介1里的一切场矢量恒等于零而且边界条件变成
注意表面电荷密度和电流密度也都受连续方程支配。
5.Power and energy 功率与能量
从麦斯威尔的方程式我们可以用公式表示能量守恒定律对于电磁系统。我们先从矢量特性 然后利用麦斯威尔的方程式微分形式。我们获得下一个的关系
然后通过履行一个体积积分在V 的闭合曲面球门区S 和高斯定理，我们获得下一个的关系式
因此，这个方程式只不过是在一个容量V 的能量守恒定律而且被称为坡印亭定理的积分形式。它是个幂定理。在任意的体积V 上的电磁能在罕见的时间增加是等于交叉闭曲面S 上的功率之和和热量容量V 的损耗。它适用于即使媒介是不同类的。
我们可以定义个坡印亭矢量（功率密度，测量用瓦特每平方米）为S=E+H,代表穿过在同时垂直于E 与H 的方向上单位面积的功率，而且 是代表在一个介质每单位体积每秒的耗能的焦尔热
我们可以说明W 当作测量用焦尔每立方米的电磁能量密度。让我们假设在遥远的过去，没有储存能量因为这领域为零。我们可得全部瞬时能量密度 是瞬时电能量密度 是瞬时磁性能量密度。
让我们一个各向同性的，非分散的，无损的媒介，电的和磁能的能量密度为
注意这些数量既有位置也有时间的一般功能。