第30卷 第4期 湖南科技学院学报 Vol.30 No.4 2009年4月 Journal of Hunan University of Science and Engineering Apr.2009
关于负频率的探讨
张朝阳
(衡阳师范学院 物理与电子信息科学系，湖南 衡阳 421008)
摘 要：文章对负频率的存在性、负频率的物理意义、负频率的工程应用进行了探讨，并且说明了负频率具有明确的物理意义和重要的工程应用价值。
关键词：负频率；角频率；复频域；傅里叶变换
中图分类号：O723 文献标识码：A 文章编号：1673-2219（2009）04-0079-03
在对任何信号进行傅立叶分析时，得出的频谱为复数，且其频率范围将从-∞～∞。在很多相当权威的主流《信号与系统》教材上这么写着： “关于双边谱，负频率只有数学意义，没有物理意义”，这个提法是否正确呢？对于负频率以及该范围的频谱，应当如何理解? 它有没有物理意义? 本文将对此进行探讨。
平面中的波形没有任何差别，这是人们对负频率的意义产生疑问的直接原因之一。很显然，在x-t 或y-t 的平面内，是不可能看出旋转的。既看不到θ，更看不到ω。只有在x-y 平面上才能看到这两个旋转参数。
二 负频率频谱的物理意义
（一）正、负角频率
如前所述，我们可以从角频率这个概念中得出正、负二种角频率。实际上，以角频率为Ω的余弦信号cos Ωt 为例，欧拉公式cos Ωt =0. 5(e
j Ωt
一 负频率的存在性探讨
（一）频率与角频率的概念
频率 f 的原始定义是每秒出现的次数，可用以衡量机械运动、电信号、乃至任何事件重复出现的频度，这当然不存在有“负”的概念。当用频率描述圆周运动时（即进入了二维信号平面），产生了“角频率ω”的概念，从机械旋转运动出发，定义为角速度，对于周期运动，角速度也就是角频率。通常θ以反时针为正，因此转动的正频率是反时针旋转角速度，负频率就是顺时针旋转角速度。正、负号是非常自然形成的。
（二）负频率与复信号
电的单位相量（电压或电流）围绕原点的转动，可以用
+e −j Ωt ) 以最简明的方式
建立了信号频域与时域的关系，它说明一个最简单的实余弦信号可以由正、负两个Ω频率分量合成。在复平面上，正的Ω对应于反时针旋转的向量，负的Ω对应于顺时针旋转的向量，当这两个向量幅度相等，相角符号 相反时，就合成为一个在实轴上的向量。推而广之，任何实周期信号必然具有正、负两组频率的频谱成分，其正、负频率频谱的幅度对称而相位相反，即是共轭的。
（二）多普勒频率[1]
在雷达测速中，目标物相对于雷达作径向运动引起回波信号的频率变化，称为多普勒频移，亦称为多普勒频率。如果信号的发射源向我们运动而来，那么多普勒频率就是正频率；如果信号的发射源向我们远离而去，那么多普勒频率就是负频率，在这里正负频率都是有明确物理意义的。多普勒频率虽是一种差频，它表现为合成信号的包络频率，在实信号域只能求出多普勒频率的大小，但检测不出它的正负。要得到负频率，必须从复信号域考虑。可见，不懂得这一点，就无法找到多普勒测速的原理框图。
e j θ表示，这是在电路中都清楚的。θ的正负所代表的物理
d θ
意义从未有什么争议，它的导数ω=的物理意义不言自
dt
明，取正取负都不影响定义。
在信号与系统课程中，为了简化问题，便于初学者掌握概念，开宗明义地把研究范围限定于实信号f(t)，也就是在电压旋转向量e j ωt =cos ωt +j sin ωt 中，只研究它在实平面或虚平面上的一个投影sin(ωt) 或cos(ωt) ，研究复信号的特性与只研究实信号sin(ωt) 或cos(ωt) 是两个不同的层次。前者是反映信号在空间的全面特性。后者只研究了信号在一个平面（x-t 或y-t 组成的平面）上投影的特性。这就必然要丢掉一些重要的信息，以致x=sin(ωt) 与sin(-ωt) 在x-t
三 负频率频谱的工程意义
（一）电机设计中的应用[2][3]
根据实信号可以看作是正、负频率频谱的幅度对称而相位相反的两个信号的合成这个概念，可以用两路在空间正交的实信号来构成旋转电磁场，设计电动机。由
收稿日期：2009－02－01
作者简介：张朝阳（1970－），男，湖南衡阳人，衡阳师范学院物理与电子信息科学系研究实习员，现从事电子信息专业课教学。
cos Ωt =0. 5(e
j Ωt
+e −j Ωt ) 可知，单位余弦波在正负两
个频率上有幅度相等，相角均为零的两根谱线；同样，由
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(e j Ωt −e −j Ωt )
可知，单位正弦波在同样正负sin Ωt =
2j
两个频率上也有幅度相等的谱线，不过它们的相角分别为±π/2。用立体图表示如图3.1。
如果把正弦和余弦两个信号的正频率成分设计得相等相反，则把它们合成以后，就只剩下负频率成分，它就构成一个单纯负向旋转的电信号。为此可以把正弦信号在空间上转动π/2，使它的正频率谱线恰好与余弦信号的正频率谱线反向，这样两个信号的合成就成为一个只有负频率谱线的信号，当然它在时域必然是复数信号。常用的二相异步电机就是这样负向转动的。而要使该电机正转，则要使两者的负频率成分互相抵消，只保留其正频率成分。
c
c
图3.SSB 调制中上边带和下边带的频谱示意图
在这里，可以看到负频率成分的重要性，在传送信号时。它是不可或缺的部分。另外，也看到负频率成分与复信号的密切关系。 图1. 单一正、余弦信号的双边频谱
（二）通信领域中的应用
实信号的双边频谱是对称的。如果它的单边频带宽W ，考虑到负频率成分，实际占的频谱区域就是±W ，
所以通信中要传输这样的信号就需要占用2W 的频带宽度。如图3.2所示，标准AM 调幅频谱示意图中，负频率段[－W H --0]调制时要随着正频率段一起往±ωc 处搬移。
c
（三）产生任意的平面运动轨迹
文献[5]曾提出根据傅立叶反变换原理产生平面运动轨迹的方法。从上面欧拉公式的几何意义不难得知，傅立叶反变换公式其实表示了多个频谱旋转向量的合成，这些向量的频率规定了它旋转的方向和角速度，它的幅度决定了该向量的大小，向量的合成可以用首尾相接的多节连杆表示，连杆的末端就是时域信号的空间轨迹。它在x 轴上的投影是信号的实部，在y 轴上的投影是信号的虚部。
（四）机械工程领域的应用
关于二维信号的傅立叶变换，国内早已有学者将其应用于工程领域，参见文献[4]、[5]。这些都是说明频谱中负频率物理意义的实际例证。
四 对负频率认识中存在的问题
频谱中负频率成分的物理意义往往不为某些人们理解，其主要原因是他们忘记了实信号平面内研究问题的局限性。
因为在信号与系统课程中研究的信号通常只限于实信号。从实信号的x-t 的波形图上根本看不出频率的转向和正负，频率只能表现为每秒信号重复的次数。分不清正负就以为是正
c
频率，只是一种习惯性的思维方法而已。
归根到底，转角和频率的正负，必须在x-y 平面或二维信号中才能观察到。因为观察的方法不对，看不到其意义，从而否认它的存在，这是认识论上的错误，不是科学的方法。这就和“瞎子摸象”的故事所说的那样，摸象腿的人否认象有鼻子，毛病出在他的验证方法。他老想在象腿（实信号域）上找到象鼻子（负频率），当然也永远找不到。正确的方法是必须换一个角度，摸别的部位（复信号域），才能得到全面的知识。
某些学者不承认负频率是由于把“频率是每秒钟循环的
图2. 标准AM 调幅频谱示意图
再如单边带调制中，为了节省频带，人们就发明了Hilbert 变换，它可以把信号的正频率频谱移相-90°，把负频率频谱移相90°，然后再将这个信号移相90°与原信号相加，使两者的负频率成分互相抵消，正频率成分加倍，构成一个没有负频率频谱的复信号, （如同上面所说的二相异步电机那样）。这个复信号的带宽就只占W 了。用这个方法，使频带节约了一半。其频谱如图3.3所示。 80
次数”的陈旧概念绝对化，其实频率的概念是不断发展充实的。每秒次数的概念只能粗糙地研究信号外部形态，无法涉及信号每周期内部的细微波形特征，而这恰好是傅立叶变换的任务。从它的核已经可以清楚地看到，正是它摒弃（或发展）了原始的频率定义，采用了角频率的概念。单位是弧度/秒，而且具有明确的方向和正负号。其实频率的概念还在继续发展，进入到数字信号处理时又进一步出现了数字频率，它的单位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范围是[-π，π]。它的物理意义已变为两次采样时刻之间向量转过的角度，在文献[1]中对此有详细的说明。如果停留在“每秒次数”的旧概念上，那“数字信号处理”也就无法发展了。
参考文献：
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（责任编校：何俊华）
The study on negative frequency
ZHANG Zhao-yang
(Hengyang Normal University, Hengyang Hunan 421008,China)
Abstract: We discuss the exist of negative frequency, the physics meaning of negative frequency, the engineering application of negative frequency, and at the same time it shows that the negative frequency has the definite physics-meaning and the important engineering- application.
Keywords: negative frequency; angular frequency; complex frequency domain; Fourier transform
（上接72页）
参考文献：
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[10]廖帮全, 赵启大, 董孝义等. 多通道全光纤声光调制器
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（责任编校：刘志壮）
Design of Control System for Spacial Light Modulator Based on C8051F005
TANG Xin-ling
( Department of Electronics Engineering and Physics, Hunan University of Science and Engineering, Hunan Yongzhou, 425100, China) Abstract: This paper designs that PC and MCU work together to control an automatic control system of spatial light modulator. And this paper also briefly analyses the structure of a system, theory as well as the achievement.The hardware of this system consists of two modules: optcial circuit module and electrocircuit module. The function of optical circuit modules is to realise the conversion and detection of light signal. The electrocircuit module is used in commanding and adjusting the excursion of offset voltage on optical circuit module, and it also realises the stabilization of AM(Amplitude Modulation). Especially, the electrocircuit module is the key of this paper.
Key words：MCU; Spatial light modulator; Offset voltage
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