初二数学专题练习 三角形旋转
1.D 为等腰Rt △ABC 斜边AB 的中点，DM ⊥DN ，DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F ．
（1）当∠MDN 绕点D 转动时，求证：DE=DF．
（2）若AB=2，求四边形DECF 的面积．
2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，PC=．请利用旋转的方法
求：∠CPA 的大小．
3. 已知△ABC 中，∠ACB=135°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AED ，连接CD ，CE ．
（1）求证：△ACD 为等腰直角三角形；
（2）若BC=1，AC=2，求四边形ACED 的面积．
4. 如图所示，△ABC 为等边三角形，以AB 为边向外作△ABD ，使∠ADB=120°，然后把△BCD 绕着点C 按顺时针方向旋转60°得到△ACE ，如图所示，已知BD=5，AD=3．
（1）由旋转可知线段BC ，CD ，BD 的对应线段分别是什么？
（2）求∠DAE 的度数；
（3）求∠BDC 的度数；
（4）求CE 的长．
5. 如下图是两个等边△ABC 、等边△CDE 的纸片叠放在一起的图形．
（1）固定△ABC ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连AD ，BE ，线段BE 、AD 之间的大小关系如何？证明你的结论；
（2）若将△CDE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连AD 、BE ，线段BE 、AD 之间大小关系如何？证明你的结论．
6. 将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A 摆放，斜边AB 分别交CD 、CE 于M 、N 点，
（1）如果把图A 中的△BCN 绕点C 逆时针旋转90°得到△ACF ，连接FM ，如图B ，求证：△CMF ≌△CMN ：
（2）将△CED 绕点C 旋转：
①当点M 、N 在AB 上（不与A 、B 重合）时，线段AM 、MN 、NB 之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；
②当点M 在AB 上，点N 在AB 的延长线上（如图C ）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．
7. 在△
ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，①求证：△ADC ≌△CEB ；②若AD=3，BE=2，求DE 长．
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD=3，BE=1.5，求DE 长；
（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，AD=1.5，BE=3，求DE 长．
8. 小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且OA ：OB ：OC=，求∠AOB 的度数．
小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形OO′B中．
（1）请你回答：∠AOB=______°．
（2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD 的面积．