拿破仑的四等分圆
问题拿破仑虽然是位军事家，但他与当时的许多法国知名数学家，如拉格朗日，拉普拉斯等交往都颇密切，一次拿破仑问拉普拉斯：“我读了您不少的大作，我对您在您的书中竟然一次都不提上帝很不理解，您能解释一下吗？”拉普拉斯不客气地回答：“陛下，我不需要那个假设。 ”对拉普拉斯的傲慢态度，拿破仑却并未发火，仍给了他很多的荣誉与职位，从这一点看，拿破仑倒颇有一点“尊重知识，尊重人材”的大将风度。
拿破仑尽管忙于打仗，但仍经常与数学家们讨论数学，有一次，拿破仑就提出这样一个问题：
“给出一个圆，只准用圆规，把圆周四等分”。
大家知道，几何作图题是规定只准使用圆规与无刻度的直尺来完成的，这两种工具的功能规定为：
（1）已知圆心及半径，用圆规作圆。
（2）已知两点，用直尺作过这两点的直线。
（3）已知两圆，或已知两直线，或已知一圆及一直线，找出它们的交点。
另外还限制只准有限次地使用这两种工具，逐步作出所需图形，如果不准使用直尺，只准使用圆规来完成作图，就是“圆规几何学”的内容，或称为“单用圆规的作图问题”。 如果补充规定用圆规“画直线”可以理解为：“若已知直线上两点，则可画出直线上任意多个点。”那么，可以证明：能用圆规与直尺完成的图，都可用圆规单独完成。 例1，作一线段等于已知线段的任意整数倍。
由于圆规很容易把一个（圆心已知的）已知圆6等分，利用这一点即可完成本作图。 如图，已知线段为AB ，以B 为圆心，BA ＝a 为半径作圆，以A 为一个分点，把圆B 六等分，与A 相对的分点为C ，则AC=2AB。
如此下去，就可以把已知线段延长任意整数值。
例2，把已知线段AB 分成n 等分（n≥2为整数）。
以n ＝3为例，由上题可知，可以作出点C ，使点C 在AB 延长线上且使AC ＝3AB 。以C 为圆心CA 为半径画圆，再以A 为圆心，AB 为半径画圆，两圆交点之一为D ，以D 为圆心，AB 为半径画圆，交AB 于M ，
证明：△ACD、△ADM均为等腰三角形，且有一个底角公用，于是△ACD∽△ADM，于是AC∶AD=AD∶AM但AC=3AD，于是可得AD=3AM即AM= 1
3AB 。
下面来看看拿破仑的“单用圆规四等分圆”的问题如何解决？
作法：取已知圆O 上任一点A ，以A 为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A 、B 、C 、D 、E 、F （如图）。分别以A 、D 为圆心，AC 、BD 为半径作圆交于G ，以A 为圆心，OG 为半径作圆，交⊙O于M 、N ，则A 、M 、D 、N 即四等分⊙O的圆周。