正余弦定理及其应用
一. 教学内容：
正余弦定理及其应用
【典型例题】
[例1] 已知在∆ABC中，∠A=45︒,AB=
6,BC=2，试解该三角形。
解法一：由正弦定理，得
sinC=
62sin45︒=32
2
因
AB⋅sinA=6⨯
2=3 BC=2,AB=6
由
∠B=180︒-60︒-45︒=75︒或∠B=180︒-120︒-45︒=15︒ 故
AC=
BC
sinA⋅sinB⇒AC=3+1或AC=-1，∠C=120︒,∠C=60︒,∠B=75︒
解法二：令AC=b，则由余弦定理
b2+()2-26bcos45︒=22
b2-23b+2=0⇒b=±1
又(6)2
=b2
+22
-2⋅2bcosC
∠B=15︒
1
⇒cosC=±,∠C=60︒
2或∠C=120︒
[例sinC-2sinCcosA=0
由sin≠0，故
cosA=
1
⇒A=60︒2
b3+1
=
2，可设 由c
b=(3+1)k,c=2k，由余弦定理，得
a2=(3+1)2k2+4k2-2(+1)k2⇒a=6k ac
=
由正弦定理sinAsinC得
sinC=
csinA
=a
2k⋅
3
=2
2 k
由c
[例3] 在∆ABC中，若a=5,b=4且
cos(A-B)=
31
32，求这个三角形的面积。
b2+c2-a2c2-9
cosA==
2bc8c 解法一：由余弦定理得
a2+c2-b2c2+9
cosB==
2ac10c
545
=⇒sinA=sinB
4由正弦定理得：sinAsinB
c2-9c2+9531
⇒⋅+(1-cos2B)=
8c10c432 c4-815c2+9231+[1-()]=410c32 80c2
82c2-16231
⇒=⇒c2=36⇒c=62
3280c c2-936-99
cosA===
8c4816 故sinA=
517S∆ABC=b⋅c⋅sinA=1624
解法二：如图，作∠CAD=A-B，AD交BC于D，令CD=x 则由a=5知，BD=5-x,AD=5-x，在∆CAD中
(5-x)2+42-x231cos(A-B)==
8(5-x)32 由余弦定理
化简得9x=9⇒x=1，在∆CAD中由正弦定理
ADCDAD
=⇒sinC=⋅sin(A-B)=4sin(A-B)sinCsin(A-B)CD
=4-cos2(A-B)=
378
S∆ABC
=
113715
AC⋅BC⋅sinC=⨯4⨯5⨯=72284
2
[例4] 在∆ABC中，已知A、B、C成等差数列，且sinAsinC=cosB，S∆ABC=4，求
三边a、b、c。
解：由已知，得
B=
A+C
2，又由A+B+C=180︒⇒B=60︒
1
4 ①
故
sinAsinC=cos260︒=
又由
S∆ABC=43=
1a⋅c⋅sinB⇒43=ac⇒ac=1624 ②
aca2c2ac=()=()=64⇒==8
sinAsinCsinAsinCsinAsinC故 b=
asinB
=8⋅sinB=8⋅sin60︒=4sinA
由
a2+c2-b21cosB=cos60︒==
2ac2 则
即(a+c)-b=3ac⇒(a+c)=48+48=96
2
2
2
⇒a+c=4 ③
把③与②联立，得
a=2(+2),c=2(6-2)或a=2(6-2),c=2(+2)
[例5] 在∆ABC中，已知A+C=2B，tanA⋅tanC=2+，求A、B、C的大小，又知顶点C的对边C
解：由已知由
tan(A+C得tanA+x2-(3+⎧tanA=1⎨tanC=2+⎩若A=45︒,C=75︒，则
a=
4343
=4=8b=
sin45︒sin60︒，，
c=
asinC8sin75︒
==4(+1)sinAsin45︒
若A=75︒,C=45︒，则
a=
4343
=8,b=
sin60︒sin75︒=46(3-1)
=4(32-6)
c=
bsinC
=8(-1)sinB
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 已知∆ABC中，a=3,b=1,
B=30︒，则∆ABC的面积（ ）
3. 在∆ABC中，
∠A=60︒,b=1，S∆ABC=3，则有sinA+sinB+sinC的值等于（83
2 A. 81
B. 3
C. 3
D. 27
4. ∆ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB+bcosA=（ ）
a+b A. 2cosC B. 2sinC
C. 2
D. c
5. 在∆ABC中，已知a2tanB=b2
tanA，则该∆ABC的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 已知∆ABC满足
sinC=
sinA+sinB
cosA+cosB，则该三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形
D. 等腰或直角三角形
7. 在∆ABC中，若sinA=tanB,tan
A
2=sinB，则角A与C的大小关系是（ ） A. A>C
B. A
C. A=C
D. 不确定
tanA
2c-b
8. 已知∆ABC中，tanB=
b，则∠A的度数为（ ）
）
A. 30︒
二. 填空题：
B. 45︒ C. 60︒ D. 75︒
9. 在∆ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且最大角为120︒，则最大的边长为 。 10. 三角形两边分别为1，3，第三边上的中线长为1，则该三角形的外接圆半径为 。 11. 已知∆ABC中，AB=6，A=30︒,B=120︒，则∆ABC的面积等于 。
12. 在四边形ABCD中，BC=1，DC=2，四个内角之比为A:B:C:D=3:7:4:10，则AB的长等于 。
22
13. 不查表cos10︒+cos50︒-sin40︒sin80︒=。
三. 解答题：
14. 某观测站C在目标A的南偏西25︒方向，从A出发有一条南偏东35︒的走向的公路，在C处观测得与C相距31
时测得CD=2115. 隔河可见对岸两目标∠ACB=75︒,∠BCD=求两目标A、B
【试题答案】
一.
1. D
析：由asinBabasinB=⇒sinA==⇒A=60︒sinAsinBb2或120︒⇒C=90︒或C=30︒ S=
1
absinC2即得
又
2. C
a2+c2-b272+52-6219cosB===
2ac2⋅7⋅535 提示：由
⇒⋅=||⋅||⋅cosB=7⋅5⋅
19
=1935
5. D
a2sinBb2sinA
=
cosA 由已知切化弦得cosB
sin2AsinBsin2BsinA=
cosBcosA 又由正弦定理
⇒sinAcosA=sinBcosB⇒sin2A=sin2B⇒2A=2B
或2A=180︒-2B⇒A=B或A+B=90︒ 6. B
A+BA-BC
2sicocoCC⇒2sisinC=co=
A+BA-BC222cocosi222
2
⇒sin
πC1C2
⇒C==⇒si=
2 2222
sinB
sinA
7. C
sinA=tanB⇒cosB=
a2+c2-b2b
=
2aca 即a2+c2-b2=2bc ① tan
AsinA=sinB⇒=sinB21+cosA
sinAb2+c2-a2a⇒1+cosA=⇒1+=
sinB2bcb ⇒b2+c2-a2=2ac-2bc ②
2
由①+②得2c=2ac⇒c=a⇒A=C
8. B
tanA+tanB2c
=
tanBb，化弦为 已知即
sinAcosB+sinBcosA
=
cosAsinB
2sinC
sinB
sin(A+B)2=2sinC⇒cosA=⇒A=45︒cosA2
二.
9. 14
由已知a=b+4,c=2b-a=b-4
故a为最长边，A=120︒，故
b2+(b-4)2-(b+4)21cosA==- 由 ACAB==12⇒AC=63sinBsinC
111S=AC⋅AB⋅sinA=⋅63⋅6⋅=93222
32
12. 2
由A+B+C+D=360︒，及A:B:C:D=3:7:4:10
0 ⇒360︒÷24=15︒⇒A=45︒,B=105︒,C=60︒,D=15︒
如图连结BD，由余弦定理，有
BD=CB+CD-2CB⋅CD⋅cos60︒=3⇒BD=3⇒∠CBD=90︒
222
222sin80︒+sin40︒-2sin80︒sin40︒cos60︒=(sin60︒) 由
三.
14. 解：由已知∠CAD=25︒+35︒=60︒，BC=31，BD=20，CD=21
BC2+BD2-CD2312+202-21223cosB===2BC⋅BD2⋅31⋅2031 由余弦定理得
sinB=-cos2B=1231
AC=BC⋅sinB=24sinA 又在∆ABC中，由正弦定理得
222 由余弦定理BC=AC+AB-2AC⋅AB⋅cosA
222即31=AB+24-2⨯AB⨯24⨯cos60︒
⇒AB2-24AB-385=0⇒AB=35或AB=-11（舍）
⇒AD=AB-BD=15（千米）
15. 解：如图，在∆ACD中，∠ACD=75︒+45︒=120︒ ∠CAD=180︒-(120︒+30︒)=30︒，由正弦定理
AD=CD⋅sin∠ACDsin120︒==3sin∠CADsin30︒
在∆BCD中，∠BDC=30︒+45︒=75︒
故∠CBD=180︒-(75︒+45︒)=60︒ BDCDsin45︒=⇒BD==2sin∠BCDsin∠CBDsin60︒由正弦定理，得
在∆ABD中，由余弦定理，得：
AB2=32+(2)2-2⋅3⋅2⋅cos45︒=5⇒AB=5（千米）