六年级第8套
1993～1994学年度入掌考试
六年级初试试题
【考生注意】
本试卷包括两道大题(10道小题) ，满分100分，考试时间90分钟．
一、填空题：(本题共有5道小题，每小题8分，满分40分)
1．计算：
=________________.
3. 判断下面的加法算式是 进制的，并求出各字母所代表不同的数字。 A= ； B= ； C= ； D= 。
4．a 、b 、c 都是两位整数，且a>b>c，已知2|(a+b+c)，且abc=4004，则a= ，b= ，c= ．
5．幼儿园阿姨把一些糖果分给小军、小宁和小刚三位小朋友．已知小军比小宁多分到50％，小刚和小军所分到的糖果数之比为17:10，小刚比小宁多分到31颗，则小军、小宁、小刚 各分到 颗糖．
二、解答题：(本题共有5道小题，每小题12分，满分60分)
6．3个质数的乘积恰好等于它们的和的17倍，求这3个质数．
7．有一个三位数abc ，由a 、b 、c 组成的所有三位数中，最大的三位数与最小的三位数的差恰好等于原来的三位数．求这个三位数是多少．
8．甲、乙、丙3人做一个游戏．现在有3张纸牌，每张纸牌上各写上一个自然数，这3个自然数分别为a 、b 、C ，且a
最后一次结束后，甲、乙、丙3人分别得到了20、10、9个球，并且知道乙在最后一次分得了c 个球．问：谁在第一次得了b 个球?a 、b 、c 各为几?
9．一个自然数有12个约数d 1、d 2……d 12，且d 1
如果有一个约数d k 满足d k =(d 1+d 2+d 4)×d 5，且d 4-1=k，求此自然数．
10．有甲、乙两只桶，甲桶盛了半桶水，乙桶盛了不到半桶纯酒精．先将甲桶的水倒入乙桶，倒入的容量与乙桶的酒精量相等；再将乙桶的溶液倒入甲桶，倒入的容量与甲桶剩下的水相等；再将甲桶的溶液倒入乙桶，倒入的容量与乙桶剩下的溶液量相等；再将乙桶的溶液倒入甲桶，倒入的容量与甲桶剩下的溶液量相等．此时，恰好两桶溶液的数量相等．求此时甲、乙两桶酒精溶液的浓度比．
试题解答
一、填空题：
1
.1.
2.2.
将原式中每相邻8项放在一起计算：
3．是五进制，l 、4、2、3.
首先注意到A 是和数的首位，所以A=I．进而由个位上的运算得D=B-1．
千位上B 与1相加后对应得到1，说明百位上有进位并且进位制就是B+1．易见十位上不可能有进位，因此由百位可得B+(B-1)－(B+1)=C，也就是C=B－2．
最后看十位，就有2×(B-2)=B，从而B=4．再由前面得到的关系计算出C=2、D=3．
4．28、13、11．
a、b 、c 不能全是偶数，否则就有8|abc=4004，这不可能．但是d+b+c是偶数，所以a 、
b 、c 中恰有一个是偶数．
注意4004=4×7×11×13，4必须与某一个质因子相乘，为了使得三个数都是两位数，只能是4×7、11和13．又已知a>b>c，所以a=28、b=13、c=11．
5．30、20、51．
小军的糖数是小宁的糖数的331751倍，小刚的糖数是小宁的糖数的⨯倍，于是小=221020
宁的糖数是3l÷ ⎛51⎫-1⎪=20，那么小军和小刚分别有30和51颗糖． ⎝20⎭
二、解答题：
6．解：由于3个质数的乘积能够被17整除，所以其中必有一个是17．
——4分
设另外两个数是a 和b ，那么由题意有17×a×b=17×(17+a+b)，即a×b－a －b=17． ——6分 恒等变形为(a－1)×(b一1)=18．注意两个因数中至少有一个是奇数，所以a 和b 中至少有一个是偶数．
不妨设a=2，代入得b=19．所以3个质数是2、17、19．
——12分
7．解：设a 、b 、c 三个数从大到小排序为x>y>z，那么他们组成的所有三位数中最大的是xyz ，最小的是zyx ，由已知，有等式xyz －zyx =abc 成立．
——2分
因为z
——6分
注意z+10－9=z+1＞z ，所以c 不可能是z ，只能是y ，而a 必然是z ．观察百位的运算，可见9－l －z=z，推出z=a=4，进而有c=z+l=5，于是就是abc =495．
——12分
8．解：首先，由于每发一次牌，3个人得到的球数之和都是a+b+c，因此最后球数总和是a+b+c的倍数．而实际上最后3个人共有20+10+9=39个球，所以a+b+c是39的约数．又a+b+c至少是1+2+3=6，至多是39÷2=19.5，所以它只能是13．并且可见这个游戏一共进行了3次．
——3分
因为乙最后一次分得的球数最多，且a+b+c=13>10，所以乙另外两次分得的球数只能都是a ． ——6分 这样总球数最少的丙至多拿过一次a ．如果他一次牌a 都没拿过，那么他只能拿了3次b ，所以b=9÷3=3，进而a+c=13－3=10．可是从乙的球数可以看出，应有2a+c=lO，这不可能：所以第三次的a 肯定被丙拿到了．而他前两次不可能拿过c ，否则他3次至少得到a+b+c=13个球．那么丙前两次肯定都拿b ．于是第一次得b 个球的人是丙．
——9分 再由3个人得到的球数可以列出方程：
⎧c +c +b =20⎧a =1⎪⎪⎨a +a +c =10 ==>⎨b =4.
⎪b +b +a =9⎪c =8⎩⎩
——12分
9．解：首先设这个自然数是n ，显然d 1=l，而d 2是n 的最小质因子．注意到n 有12个约数，因此他至多有3个不同的质因子．由于d k 是n 的约数并且大于d 5，所以12≥k≥6，那么13≥d 4≥7．
——2分 下面分情况讨论： ．
①d 4=12：
那么n 至少有1、2、3、4、6这五个小于12的约数，所以12不可能是第12个约数； ②d 4=8：
这时d 1、d 2、d 3只能是l 、2、4．由d 5≤1+2+8=1l，知道d 5只能是11，于是d 7=(1+2+8)×11=121．但这时22、44肯定也是n 的约数，所以d 7最大也不超过44，矛盾! ——4分 ③d 4=7：
这时d 2只有2或者3两种可能．由于d 6=(d 1+d 2+d 4) ⨯d 5，所以可以确定d 1+d 2+d 3=d 5，且d 6=d 5．
当d 2=2时，由上式得d 5=1+2+7=10，d 6=100．但这时d 6应该等于2×7=14，矛盾! 2 当d 2=3时，由上式得d 5=1+3+7=11，d 6=121．这是n 已经有了3个不同的质因子：3、7、11．那么d 3无论取什么值都不能满足要求，仍然不可能．
④d 4=9：
这时显然d 2=3，所以d 5只能是11和13其中之二．并且
d 8=(1+3+9)×d 5=13×d 5，说明n 能被13整除．
如果d 5=11，那么肯定d 6=13，这样n 只能是9×ll×13，这时d 3该以是9，矛盾． 如果d 5=13，那么d 8=13×d 5=169．但是在d 5和d 8之间至少还应该有3×13、
9×13和d 3×13三个数是n 的约数，这不可能了.
——6分
⑤d 4=13：
这时1+d 2小于13，所以d 5肯定不是13的倍数．这样（1+d 2+13）×d 5必然不是13的倍数，而d 12(就是自然数n) 是应该是13的倍数，矛盾!
——9分
⑥d 4=11：
与上面一种情况完全类似地可以推出d 10必然不是11的倍数而d 4=11，所以d 4×d 10还是n 的约数．但是n=d 3 d 10，相互矛盾！
——9分
⑦d 4=10：
这时前_4个约数只能是1、2、5、10．又1+2+10=13是n 的约数，且n 至多只能有3个不同的质因子，所以d 5=13．这样d 9=13×13=169是n 的约数，因此
n=2×5×132=1690．
——12分
10. 解：初始状态下，甲桶全是水，浓度为0％；乙桶全是酒精，浓度为100％．第一次倒水后，乙桶里的酒精量和水量是相等的，所以浓度为50％．
——4分
而在第二次操作后，甲桶里的溶液是同等容量的水和浓度为50％的溶液混合而成，因此浓度变为50％÷2=25％．
——6分
同样道理，第三次操作后，甲桶里溶液的浓度仍为25％，而乙桶溶液的浓度变为(50％+25％)÷2=37.5％．
——8分
到最后，乙桶溶液的浓度仍为37.5％，而甲桶溶液的浓度变为(25％+37.5％)÷2=31.25％，所以此时甲、乙两桶酒精溶液的浓度比是31.25％:37.5％=5:6．
——12分