考点40 利用导数求函数最值
1. （13课标ⅠT20）（本小题满分共12分）
已知函数f (x ) =e (ax +b ) -x -4x ，曲线y =f (x ) 在点(0,f (0))处切线方程为y =4x +4. （Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）讨论f (x ) 的单调性，并求f (x ) 的极大值.
【测量目标】导数的几何意义、利用导数求函数极值.
【考查方式】已知函数式，利用已知点处的切线方程求解原函数关系式中未知字母，利用函数的导数确定函数的单调性和极值.
【试题解析】（1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值. 解：（1）f '(x ) =e x (ax +a +b ) -2x -4. （步骤1）
由已知得f (0)=4, f '(0)=4. 故b =4, a +b =8.
从而a =4, b =4. （步骤2）
（2）由（1）知，f (x ) =4e (x +1) -x -4x , x 2x 2
1f '(x ) =4e x (x +2) -2x -4=4(x +2)(ex -). （步骤3） 2
令f '(x ) =0, 得x =-ln 2或x =-2. （步骤4）
从而当x ∈(-∞, -2) (-ln 2, +∞) 时，f '(x ) >0;
当x ∈(-2, -ln 2) 时，f '(x ）„0. （步骤5）
故f (x ) 在(-∞, -2),(-ln 2, +∞) 上单调递增，在(-2, -ln 2) 上单调递减.
-2当x =-2时，函数f (x ) 取得极大值，极大值为f (-2) =4(1-e ). （步骤6）
2. （13福建T12）设函数f (x ) 的定义域为R ，x 0(x 0≠0) 是f (x ) 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）
A ．∀x ∈R , f (x ) ≤f (x 0) B ．-x 0是f (-x ) 的极小值点
C ．-x 0是-f (x ) 的极小值点 D ．-x 0是-f (-x ) 的极小值点
【测量目标】利用导数研究函数的极值问题．
【考查方式】列出符合题目所给条件函数，通过导数求解函数的极值判定正确的选项．
【参考答案】D
x ) 3=(x (1) -1) x +【试题解析】不妨取函数f (x ) =x 3-3x ，则f '(
的极大值点，但显然f (x 0) 不是最大值，故排除A ；（步骤1） ，易判断x 0=-1为f (x )
因为f (-x ) =-x 3+3x , f '(-x ) =-3(x +1)(x -1) ，易知，-x 0=1为-f (x ) 的极大值点，故排除B ；（步骤2）
又-f (x ) =-x +3x , [-f (x ) ]'=-3(x +1)(x -1) ，易知，-x 0=1为-f (x ) 的极大值点，故3
排除C ；（步骤3）
∵-f (-x ) 的图象与f (x ) 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得-x 0应为函数-f (-x ) 的极小值点．故D 正确．（步骤4）
3. （13课标Ⅱ21）(本小题满分12分)
己知函数f (x ) = x 2e -x
（1）求f (x ) 的极小值和极大值；
（2）当曲线y = f (x ) 的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围.
【测量目标】利用导数求函数的极值，导数的几何意义.
【考查方式】给定函数f (x )，用导数判断函数的极大值和最大值.
【试题解析】（1）先求出f (x )导数，然后求出极限点，再求出极值. （2）设出切点，然后运用基本不等式求出截距的取值范围.
解：（1）f (x ) 的定义域为(-∞, +∞), f '(x )=-e x (x -2). 当x ∈(-∞,0)或x ∈(2, +∞)时，-x
f '(x )0. 所以f （x ）在(-∞,0), 2(, +∞
上单调递减. (步骤1) )上单调递减，在（0,2）
故当x =0时，f （x ）取得极小值，极小值为f （0）=0；当x =2时，f （x ）取得极大值，极大值为f （2）=4e . (步骤2) -2
(2)设切点为（t ，f （t ）），则l 的方程为y =f '(t )(x -t )+f (t ). 所以l 在x 轴的截距为m (t )=t -f (t )t 2=t +=t -2++3. (步骤3) 'f t t -2t -2
2(x ≠0), 则当x 由已知和f '(x )=-e -x x (x -2)得t ∈(-∞,0) (2, +∞). 令h (x )=x +
x ∈(0, +∞)时，h （x
）的取值范围为⎡⎣+∞; 当x ∈(-∞, -2)时，h （x ）的取值范围是)
(-∞, -3). (步骤4)
所以当t ∈(-∞,0) (2, +∞)时，m （t ）的取值范围是(
-∞,0) ⎡3, +∞. ⎣)综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(
-∞,0) ⎡3, +∞. (步骤5) ⎣)