对于整系数一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0） （1）方程有有理数根的条件是△=b -4ac为一有理数的平方； （2）若a、b、c为奇数，则方程无整数根； （3）若a、b为偶数，而c是奇数，则方程无整数根。 对于整数根，除有结论（2）、（3）外，更多的是在（1）的基础上利用求根公式、判别式、根与系数的关系（韦达定理）等二次方程的基本理论并结合整数的性质进行讨论。 例1：关于x的方程kx -（k-1）x+1=0有有理根，求整数k的值（2002年山东省初中数学竞赛试题）。 解：（1）当k=0时，x=-1，方程有有理根； （2）当k≠0时，因方程有有理根，所以若k是整数，则： △=（k-1） -4k=k -6k+1必为完全平方数，即存在非负整数m，使k -6k+1=m ，配方，得（k-3） -m =8 ∴（k-3+m）（k-3-m）=8 由于k-3+m与k-3-m是奇偶性相同的整数，其积为8，所以它们均是偶数，又k-3+m≥k-3-m，从而有： k-3+m=4k-3-m=2 k-3+m=-2k-3-m=-4 解得k值为k=0或k=6。 ［评注］设k -6k+1=m 是将讨论△为完全平方数的问题转化为解二元二次不定方程的问题，最后利用因式分解的方式求出了整数k的值。 例2：求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程kx +（k+1）x+（k-1）=0的根都是整数（第十三届江苏省初中数学竞赛试题）。 解：（1）当k=0时，所给方程为x-1=0，有根为x=1，符合题意； （2）当k≠0时，设两根为x 、x ， 则有：x +x =- =-1- x x = =1- 两式相减得：x +x -x x =-2，即： x +x -x x -1=-3 ∴（x -1）（x -1）=3 x -1=1x -1=3x -1=-1x -1=-3x -1=3x -1=1x -1=-3x -1=-1 ∴x +x =6或x +x =-2 ∴-1- =6或-1- =-2解得k=- 或k=1 又∵△=-3k +6k+1，当k=- 或1时，都有△＞0 综上所述，满足条件的k为0，- ，1。 ［评注］该题如果直接用求根公式或判别式讨论k的值则很难解决。因此，要紧紧抓住整数根的条件，利用根与系数的关系，得到x +x ，x x 与k的关系式，但由于 不一定是整数，从而消去 ，结合数的质因数分解就大大缩小了x +x 的范围，从而使问题得以顺利解决。 例3：设关于x的二次方程（k -6k+8）x +（2k -6k-4）x+k =4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值（2000年全国初中数学联赛试题）。 解：原方程可化为（k-4）（k-2）x +（2k -6k-4）x+（k-2）（k+2）=0 ［（k-4）x+（k-2）］［（k-2）x+（k+2）］=0 ∵（k-4）（k-2）≠0 ∴x =- =-1- x =- =-1- ∴k-4=- ，k-2=- （x ≠-1，x ≠-1） 消去k，得x x +3x +2=0 ∴x （x +3）=-2 由于x 、x 都是整数，所以有： x =-2x +3=1x =1x +3=-2x =2x +3=-1 解得 x =-2x =-2x =1x =-5x =2x =-4 ∴k=6，3， ，经过检验k=6，3， 均满足题意。 ［评注］由于原方程可分解，故而解出方程的根。但由于k为实数，所以消去k，根据整数的分解，最终求出两根，再求k的值。 从上面几例可以看出，求解方程的有理根或整数根的方法较为灵活，并无一定之法，关键在于依据题意，正确理解基本概念及相关知识，找出逻辑关系，寻求解决问题的有效方法。 注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文