2集合的关系与运算

第2课 集合的关系与运算

徐琼玲

【教学目标】

一、知识目标

1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；

2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题； 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；

5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。 二、能力目标

理解集合在表述数学问题时的工具性作用，“韦恩图”在表示集合之间的关系和运算中的作用 三、情感目标

集合语言在数学中的运用及集合论的了解。 【教学重点】

集合的概念表示及集合的运算

【教学难点】

注重基础知识和基本技能，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系 【知识点梳理】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； - 1 -

实数集，记作R

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或BA）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2个子集（其中2－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； （2）若S是一个集合，AS，则，（3）简单性质：1）4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集AB{x|xA且xB}

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集AB{x|xA或xB}

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法 5．集合的简单性质：

（1）AAA,A,ABBA; （2）AA,ABBA; （3）(AB)(AB);

（4）ABABA;ABABB； （5）

CS

CSCS

CS

n

n

A={x|xS且xA}称S中子集A的补集；

CS

(A)=A；2）

S=，

CS

=S

（A∩B）=（

CS

A）∪（

CS

B），

CS

（A∪B）=（

CS

A）∩（

CS

B）。

【典型例题】

题型一、集合的基本概念表示与性质

例1: 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ）

A．AB B．BC C．A∩B=C D．B∪C=A

解析：本例主要考查子集的概念及集合的运算．易知选D． - 2 -

例2: 下列集合中表示同一集合的是（ ）

A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}

C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2)} 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。易知选C。

例3： 设集合Pxy,xy,xy，Qx2y2,x2y2,0，若PQ，求x,y的值及集合P、

Q．

解析：∵PQ且0Q，∴0P．

（1）若xy0或xy0，则x2y20，从而Qx2y2,0,0，与集合中元素的互异性矛盾，∴xy0且xy0； （2）若xy0，则x0或y0．

当y0时，Px,x,0，与集合中元素的互异性矛盾，∴y0； 当x0时，P{y,y,0}，Q{y2,y2,0}， yyyy22

由PQ得yy ① 或yy ②

y0y0

2

2

由①得y1，由②得y1，∴x0或x0，此时PQ{1,1,0}．

y1y1

变式1：设a,bR，集合{1,ab,a}{0,

ba

,b}，求ba的值.



分析：利用集合中元素互异性和集合相等性质，得到集合中对应元素的关系.

b

a1a

解：由题知，a0， ab0，则1，所以 a，解得，所以ba2.

b1ab1



b

变式1}2：已知集合P{yx，Q{y|yx1}，E{x|yx1}，

2

222

F{(x,y)|yx1}，G{x|x1}，则 （ ）

(A)PF (B)QE (C)EF (D)QG

解析：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．易知选D

点评：本题型以基础题为主，以集合中元素的性质为载体，考察学生对条件的把握分析能力，- 3 -

以寻找解题的突破口. 二、集合间的基本关系和运算

例5：(1) 已知集合A={1,2,3}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=

分析：考查集合的关系和运算．

集合的关系关键是研究好集合中元素的从属关系，分为二种情形：一是部分从属；二是全从属．集合的运算包括交、并和补．

解析：∵A∩B={2,3}，∴B中一定有元素3，则m=3.

(2) 已知U2,3,4,5,6,7，M3,4,5,7，N2,4,5,6，则 ( ) A．M

N

4,6 B．MNU C．(CuN)MU D．(CuM)NN

分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用． 解析：由U2,3,4,5,6,7，M3,4,5,7，N2,4,5,6，故选B．

A0,2,aB1,a

变式1：集合,

2

,若AB0,1,2,4,16,则a的值为( )

A.0 B.1 C.2 D.4

a216

2

A0,2,aB1,aAB0,1,2,4,16a4

解析 ∵,,∴∴a4,故选D.

（MN）= 变式2：设集合U1,2,3,4,M1,2,3,N2,3,4,则ðU

3 （C）2，4 （D）1，4 2 （B）2，（A）1，

分析：解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法 解析： MN{2,3},ðU(MN){1,4}.选D.

例6：已知集合

M



x



x3



0,N

x1

x

x„

3

，则集合

xx…1

为 ( )

ð(MN)ð(MN)

A．MN B．MN C．R D．R

分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算． 解析：依题意：∴

ðR(MN)

Mx3x1,Nxx„3

，∴MN{x|x1}，

xx…1.

故选C．

- 4 -

例7：已知集合A{x0ax26}，B{x12x4}.

（1） 若ABA，求实数a的取值范围；

（2） 集合A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，请说明理由. 分析：（1）对a进行分类讨论，利用数轴求a的取值范围. 解：B{x12x4}{x

12

x2}，A{x0ax26}{x2ax4}.

①当a0时，AR，所以AB不可能；

12

,24a2

②当a0时，A{xx，若AB，则解得a4.

aa42.

a14

,42a2

③当a0时，A{xx，若AB，则解得a8.

aa22.

a

综上所得，a的取值范围为(,8)[4,).

(2)分析一：求出满足BA时a的取值范围，再与（1）取交集.

解法一：①当a0时，AR，所以BA成立；

12

,24a2

②当a0时，A{xx，若BA，则解得0a2.

4aa2.a14

,42a2

③当a0时，A{xx，若BA，则解得1a0.

aa22.

a

综上，BA时，1a2.

ABAB且BA，若AB，则a(1,2]且a(,8)[4,)，矛盾.

所以，集合A与B不可能相等.

分析二：利用两个相等集合中元素的对应关系，建立等量关系.

解法二：①当a0时，AR，所以BA；

12

,24a2

②当a0时，A{xx，若BA，则无解.

4aa2.a

- 5 -

③当a0时，A{x

4a

x

2a

，若BA，显然不成立.

综上，集合A与B不可能相等.

N变式1：已知集合M{a,0}，N{xx23x0,xZ}，且MN{记PM1}，

，

写出集合P的所有子集.

分析：求出N，由MN{1}，可知1M，解得a，进而求出P. 解：由x23x0，得0x3；又xZ，故N{1,2}. 由M{a,0}且MN{1}，可得a1.M{1,0}，

故P的子集为：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}.

点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用．

题型三、图解法解集合问题

例8： 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},ðuB∩A={9},则A=（ ） A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}

解析：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。 因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为ðuB∩A={9}，所以9∈A， 所以选D。

例9：某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+

8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：12

例10：已知R为实数集，集合A{2x3x20.}若BCRA

R，

- 6 -

BCRA{x0x1或2x3}，求集合B。

分析：先化简集合A，由BCRAR可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.

解： A{xx2}，CRA{xx1或x2}.又BCRAR，ACRAR，可得AB.

而BCRA{x0x1或2x3}，{x0x1或2x3}B. 借助数轴可得BA{x0x1或2x3}{x0x3}.

变式1：设全集U是实数集R，M{x|x2或x2},N{x|x24x30}，则图中阴影部分所表示的集合是

A．{x|2x1} B．{x|2x2} C．{x|1x2} D．{x|x2}

答案：C

变式2：已知集合

Cx

2

2

Ax

2

x12

0

，集合

Bxx2x80

2

，集合

x4ax3a0,a0A(CRB)

，

（Ⅰ）求

； （Ⅱ）若C(AB)，试确定实数a的取值范围.

Ax3x4,Bxx4

解答：（Ⅰ）依题意得：（Ⅱ）∴

或

x2

，

A(CRB)(3,2]

ABx2x4

①若a0，则

Cxx0

2

不满足C

(AB)

∴a0

②若a0，则

Cxax3a

，由C

(AB)

得

a24

a2

33a4

3a2

a

Cx3axaa4C(AB)

③若a0，则，由得

4a2

综上，实数a的取值范围为

3

点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，有限数集多用文氏图，无限数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解． - 7 -

题型四、对新定义问题的考查 例11：（2008江西）定义集合运算：

B0,2

AB

zzxy,xA,yB.

设

A1,2

,

,则集合AB的所有元素之和为 （ ）

A．0 B．2 C．3 D．6

分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的A*B的定义，求出集合A*B，而后再进一步求解．

解析：由A*B的定义可得：A*B{0,2,4}，故选D．

变式1：（2010四川）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0S； ③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集。 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

解析：直接验证可知①正确. 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误

取S＝{0}，T＝{0,1}，满足STC,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误 答案：①②

点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆．

【方法与技巧总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号.

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 - 8 -

【巩固练习】

1.（2011福建卷文科）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于( ) (A).｛0，1｝ (B).｛-1，0，1｝ (C).｛0，1，2｝ (D).｛-1，0，1，2｝ 2.（2011新课标全国文科）已知集合

M0,1,2,3,4,N1,3,5,PMN,

则P的子集

共有( ) （A）．2个 （B）.4个 （C）.6个 （D）.8个 3.（2011辽宁高考文科）已知集合A={x （A） {x

-1＜x＜2

x＞1

}，B={x

-1＜x＜2

}，则AB=

＜x＜2

} （B）{x

x＞-1

} （C）{x

-1＜x＜1

} （D）{x}

4．（2010江苏卷）1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=___________.

A{x| |x

32|7

2，Bxm1x2m1，}

5. (2011汕头华侨中学高三摸底)设集合

若BA，则实数m的取值范围为

6. 设全集UR,A{x|x(x3)0},B{x|x1},则右图中阴影部分表示的集合为___ ．

7. 设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a的值为_____.

8. 50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人，问这种测验都优秀的有 人。

【课后作业】

一、选择题

1.( 2011西城区一模)已知集合

A{xZx5}

，

B{xx20}

，则AB等于

（A）(2,5) （B）[2,5) （C）{2,3,4} （D）{3,4,5}

ð(AB)

2. (2011西城区一模)已知全集U{1,2,3,4,5}，集合A{2,5}，B{4,5}，则U等

于

（A）{1,2,3,4} （B）{1,3} （C）{2,4,5} （D）{5} 3. (（2011北京昌平二中3月考）已知集合则MN（ ） A．

MxZx1

2

，

NxR1x2

，

1,0,1 B．0,1 C．1,0 D．1

- 9 -

4.设全集为R，集合

A{x|

2x1

1}

2

，B{x|x4}则(CRB)A（ ）

A.{x|2x1} B.{x|2x2} C.{x|1x2} D.{x|x2} 5.设集合A.

U1,2,3,4

,

A2,3

,

B1

, 则

A(CUB)

等（ ）

2

B.

3

C.

D.

2,3

（ ）

6. （2011长沙市一中高三月考） 已知全集

U{1,2,3,4,5},A{1,2,3},B{3,4},则CU(AB)

A．{3} B．{5} C．{1，2，4，5} D．{1，2，3，4}

7、已知集合A{y|ylgx,x1},B{x|0|x|2,xZ}则下列结论正确的是（ ） A．AB{2,1} BAB{x|x0} C．AB{x|x0} 8、（2011江西吉安一中高三开学模拟）xN，则

Myyx4x5

D．AB{1,2}



2

Byyx1

xN



2

A．

MÜN

B．

NÜM

C．M=N D．以上都错

9、已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1)

A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 10、若非空集合

Ax|2a1x3a5,Bx|3x22

，则使A(A∩B)成立的所有

a的值的集合是（ ） A．

a/1a9

B.{a/6a9}

C．

a/a9

D．

二、解答题 1、（2011长沙市一中高三月考（文））（本小题满分12分）

已知集合

A{x|x6x80},B{x|(xa)(x3a)0}.

2

（1）若AB,求a的取值范围； （2）若

AB{x|3x4},求a

的值。

2x22

Ax1,Bxx4x50,Cxxm2,mR

x22、已知集合



ABC，求实数m的取值范围。

（1）求AB；（2）若

- 10 -

【拓展训练】

1．（2010重庆）设m=_________.

2. 已知集合A(x,y)|x2mxy20,xR，B(x,y)|xy10,0x2， 若AB，求实数m的取值范围．

3. （2011·福建）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2 011∈[1] ②-3∈[3]；

③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.

其中，正确结论的个数是（ ）

（A）.1 （B）.2 （C）.3 （D）.4

0,1,2,3U=

xU

，A=

mx0

2

，若

U

A1,2

，则实数

【参考答案】

1. 巩固练习答案

1.选A 2.选B 3. AB=

xx2．. 4． a=1.

5. m5 6. {x|3x1} 7. 1 8. 25

2. 课后作业答案

一．1.C 2. B 3. B 4. C 5. D 6. B 7．D 8．B 9．C 10．B 二、解答题 1、解析：（1）

A{x|x6x80},A{x|2x4}

2

当a0时，B为空集，不合题意

a24

a2.

3a43B{x|ax3a}

当a0时，，应满足 3a2

a

a4

当a0时，B{x|3axa}，应满足

4

a2.

AB时，3

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（2）要满足AB{x|3,x4}，显然a0且a3时成立，

此时B{x|3x9}

而AB{x|3x4}，故所求a的值为3。

2x2

1

x4x2

0Ax4x2

2、解析：由x2

2

由

x4x50(x5)(x1)0Bxx5或x1

（1）（2）

ABx4x2xx5或x1xx5或x4ABxx2

，而由

xm2Cxm2xm2

m21

ABC0m3

m22由

3. 拓展训练答案 1．解析：

UA1,2

，A={0,3},故m= -3

2. 分析：本题的几何背景是：抛物线yx2mx2与线段yx1(0x2)有公共点，求实数m的取值范围．

xmxy20

解法一：由得x2(m1)x10 ①

xy10



2

∵AB，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，

2

首先，由(m1)40，解得：m3或m1．

设方程①的两个根为x1、x2，

（1）当m3时，由x1x2(m1)0及x1x21知x1、x2都是负数，不合题意； （2）当m1时，由x1x2(m1)0及x1x210知x1、x2是互为倒数的两个正数，故x1、x2必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m的取值范围为(,1]．

yxmx2

解法二：问题等价于方程组在[0,2]上有解，

yx1



2

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即x2(m1)x10在[0,2]上有解，

令f(x)x2(m1)x1，则由f(0)1知抛物线yf(x)过点(0,1)， ∴抛物线yf(x)在[0,2]上与x轴有交点等价于f(2)222(m1)10 ① (m1)40

1m

2或0 ② 22

f(2)22(m1)10

2

由①得m

32

，由②得

32

m1，

∴实数m的取值范围为(,1]．

3. 思路点拨：根据题目中所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的. 精讲精析：选C. 对于①：201154021，2011[1],故①正确；

（-1）+2，-3[2]，故②不正确； 对于②：-3＝5

被5除，所得余数共分为五类.Z01234对于③: 整数集Z

,故③正确；对于④：若整数a,b属于同一类，则

a5n1k,b5n2k,ab5n1k(5n2k)5(n1n2)5n

ab0

，

，若ab[0],则a-b5n，即ab5n,故a与b被5除的余数为同一个数

a与b属于同一类，所以

确结论的个数是3.

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