二次根式计算专题训练
解答题（共30小题） 1．计算： （1）
2．计算：
（1）（π﹣3.14）0+|
（3）（x ﹣3）（3﹣x ）﹣（x ﹣2）2．
3．计算化简： （1） 4．计算 （1）
+； （2）（+）+（
﹣）．
﹣2|﹣
+（）﹣2． （2）
﹣4﹣（﹣）．
++
（2）2
﹣6+3．
+﹣
（2）
÷×．
（1）×+3×2
（2）2
﹣6+3．
6．计算： （1）（）2﹣20+|﹣| （3）2﹣3+； 7．计算 （1）
•（a ≥0） （3）+﹣﹣
（2）（
﹣）×
（4）（7+4）（2﹣
）2+（2+
）（2﹣） （2）÷
（4）
（3+）（﹣）
（1） 9．计算 （1）
10．计算： （1） （3）（
2
11．计算： （1）（3
+﹣
（2）3
+（﹣）+÷．
﹣4+÷
（1﹣ （2）
）（1+）+（1+
）2．
﹣4+
（2）
+2﹣（﹣）
+）（2﹣）； （4）+﹣（
﹣1）0．
+﹣4）÷
（2
）
+9
﹣2x 2•
．
①4
13．计算题 （1）
（3）（﹣1﹣ （5）
14．已知：
a=
+﹣+4； ②（7+4）（7﹣4）﹣（3
﹣1）2．
××
（2
）
﹣+2
）（﹣+1） （4）÷（﹣）
÷﹣×+
（6）
．
，b=
，求a 2+3ab +b 2的值．
15．已知x ，y 都是有理数，并且满足
16．化简：
17．计算： （1）9 （3）（
18．计算：
19．已知y=
+
﹣4，计算x ﹣y 2的值．
，求的值．
﹣a ．
+
5﹣
3； （2）
2；
）2016（
﹣
）2015．
．
20．已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，
化简
21．已知1＜x ＜5，化简：
22．观察下列等式： ①②③
===
=
==；
；
．
﹣|x ﹣5|．
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：
23．观察下面的变形规律：
=
，
=
，
=
，
=
，…
+
+
+…+
．
解答下面的问题：
（1）若n 为正整数，请你猜想（2）计算： （
+
+…+
）×（
= ；
）
24．阅读下面的材料，并解答后面的问题：
==
﹣1
==﹣；
=
=
﹣
（1）观察上面的等式，请直接写出（n 为正整数）的结果 ；
（2）计算（）（
）= ； （3）请利
用
上
面
的
规律
及
解法
计
算
（+
++…+
）（
）．
25．计算： （1）6﹣2﹣
3
（2）4+﹣+4．
26．计算 （1）|﹣2|﹣+2
（2）
﹣×+．
27．计算
．
：
28．计算 （1）9+
7
﹣
5
+2
（2）（2
﹣1）（2
+1）﹣（1﹣2
）2．
29．计算下列各题． （1）（﹣
）×
+3
30．计算 （1）9+7
﹣
5
+2
（2）
﹣
×
．
（2）（
﹣1）（
+1）﹣（1﹣2
）2．
二次根式计算专题训练
参考答案与试题解析
解答题（共30小题）
1．（2017春•钦南区校级月考）计算： （1）（2）（
++
； ）+（
﹣
）．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并得出答案； （2）首先化简二次根式，进而合并得出答案． 【解答】解：（1）=2=7
+
+5；
（2）（=4=6
+2+
++
2．
）+（
﹣
﹣）
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．（2017春•东港区月考）计算： （1）（π﹣3.14）0+|（2）
﹣4
﹣（
﹣2|﹣﹣
）．
+（）﹣2．
（3）（x ﹣3）（3﹣x ）﹣（x ﹣2）2．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质结合负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简求出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并求出答案；
（3）直接利用多项式乘法以及完全平方公式化简求出答案． 【解答】解：（1）（π﹣3.14）0+|
﹣2|﹣
+（）﹣2
=1+2﹣=12﹣5
﹣
4；
+9
（2）=2=
﹣4
﹣
﹣（+2
﹣
）
﹣4×+
；
（3）（x ﹣3）（3﹣x ）﹣（x ﹣2）2 =﹣x 2+6x ﹣9﹣（x 2﹣4x +4） =﹣2x 2+10x ﹣13．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质以及二次根式的性质等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2017春•上虞区校级月考）计算化简： （1）（2）2
+
+﹣
6
+
3．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并求出答案； （2）直接化简二次根式进而合并求出答案． 【解答】解：（1）=2=5
++
+3+2
+
2；
（2）2=2×2=14
﹣
6﹣6×
+
3+3×4
．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
4．（2017春•兰陵县校级月考）计算
（1）（2）+÷﹣× ．
【分析】先进行二次根式的化简，再结合二次根式混合运算的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）原式=2
=6﹣2．
÷
3×3 +4﹣2 （2）原式=2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及二次根式混合运算的运算法则．
5．（2017春•黄陂区月考）计算：
（1）（2）2×﹣
6+3+
3×2．
【分析】（1）二次根式乘法法则即可化简求值
（2）将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式=7
（2）原式=4﹣
2+12+30=14=37
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
6．（2017春•汇川区校级月考）计算：
（1）（
（2）（（3）2
（4）（7+4）2﹣20+|﹣| ﹣﹣
3）×+ ； ）2+（2+）（2﹣） ）（2﹣
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求值．
（2）先将各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可求值
（3）化为最简二次根式后进行合并同类二次根式即可求值
（4）先将7+4进行分解，然后提取公因式，最后再化简求值．
【解答】解：（1）原式=3﹣1+=
（2）原式=（3（3）原式=4﹣﹣
12）×+5=24 =﹣
8+5
（4）原式=（2+
=1+1
=2 ）2（2﹣）2+（2+）（2﹣）
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键熟练二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（2017春•滨海县月考）计算
（1）
（2）（3）（4）（3+•÷+﹣）（（a ≥0） ﹣﹣ ）
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）利用二次根式的除法法则运算；
（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（4）利用乘法公式展开，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式=
=6a；
（2）原式=
=；
+
3﹣2﹣4
（3）原式=2
=2﹣3；
（4）原式=3
=﹣2﹣． ﹣
3+2﹣5
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，
然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．（2017春•杭州月考）计算：：
（1）（2）3++﹣（ ﹣）+÷．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式=
（2）原式=+﹣2++3=﹣2． =2；
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
9．（2017春•临沭县校级月考）计算
（1）﹣4+÷
（2）（1﹣）（1+）+（1+）2．
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=3
=3
=3﹣2；
+5 +
2 ﹣2+ （2）原式=1﹣5+1+2
=2+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
10．（2017春•滨州月考）计算：
（1）
（2）﹣4+2+﹣（ ﹣）
（3）（2（4）++）（
2﹣（﹣）； ﹣1）0．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用平方差公式计算；
（4）先利用零指数幂的意义计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式=3
=2；
+
2﹣3+ ﹣2+ （2）原式=2
=3
﹣；
（3）原式=12﹣6
=6；
（4）原式=
=4． +1+3﹣1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．（2017春•武昌区校级月考）计算：
（1）（3
（2
）++9﹣4﹣2x 2•）÷．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并，再利用二次根式除法运算法则求出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解答】解：（1）（3
=（9+﹣2）÷4+
﹣4）÷
=8
=2；
÷4
（2
）+9﹣2x 2• =4
=7
=5+3﹣2． ﹣2x 2× 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．（2017春•孝南区校级月考）计算：
①4+﹣+4；
）﹣（
3﹣1）2． ②（7+4）（7﹣
4
【分析】①首先化简二次根式，进而合并求出答案；
②首先利用乘法公式化简，进而合并求出答案．
【解答】解：①4=4
=7
+ ﹣+4 +3+2﹣
2； +
4
②（7+4）（7﹣
4）﹣（
3
） ﹣1）2． =49﹣48﹣（45+1﹣6
=﹣45+6．
【点评】此题主要考查了二次根式混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2017春•嵊州市月考）计算题
（1）（2
）×﹣×+2
）（﹣ （3）（﹣1﹣
+1）
（4）（5）（6）÷（÷﹣． ﹣×） +
【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则求出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（3）直接利用乘法公式计算得出答案；
（4）首先化简二次根式，进而利用二次根式除法运算法则求出答案；
（5）直接利用二次根式乘除法运算法则求出答案；
（6）直接找出有理化因式进而化简求出答案．
【解答】解：（1）=
=
=2×3×5
=30；
××
（2
）=×
4
=2
=
﹣﹣2++2+2×
﹣2；
（3）（﹣1﹣
=﹣（1+）（﹣） +1） ）（1﹣
=﹣（1﹣5）
=4；
（4）=2
÷（÷（﹣﹣） ）
=2
÷
=12；
（5）=4
=4+
÷﹣﹣+2× + ÷；
（6）
===．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
14．（2017春•汇川区校级月考）已知：a=，b=，求a 2+3ab +b 2的值．
【分析】根据分母有理化法则化简a 、b ，根据完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可．
【解答】解：a=
则a +b=4，ab=1，
a 2+3ab +b 2=（a +b ）2+ab=17．
【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握分母有理化法则、平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
15．（2017春•启东市月考）已知x ，y 都是有理数，并且满足
求的值． ，=2+，b=2﹣，
【分析】观察式子，需求出x ，y 的值，因此，将已知等式变形
：
，x ，y 都是有理数，可得
有意义即可．
【解答】解：∵
∴
，求解并使原式， ．
∵x ，y 都是有理数，∴x 2+2y ﹣17与y +4也是有理数， ∴
解得
∵ 有意义的条件是x ≥y ，
∴取x=5，y=﹣4， ∴．
【点评】此类问题求解，或是转换式子，求出各个未知数的值，然后代入求解．或是将所求式子转化为已知值的式子，然后整体代入求解．
16．（2016•阳泉模拟）化简：
【分析】分别求出
【解答】解：原式=﹣a =（﹣a +1）．
=a，当a =﹣a +， ﹣a =
﹣． ，代入合并即可． 【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a ≥0时，
≤0时，
17．（2016•山西模拟）计算：
（1）9
（2）
2
（3）（）2016（+
5﹣
3； ； ﹣）2015． =﹣a ．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算；
（3）先利用积的乘方得到原式=[（
利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=9
=7；
+）（
﹣）]2015•（+），然后+10﹣12
（2）原式=2×2×2×
=；
+
+）（） ﹣
（3）原式=[（=（5﹣6）2015•（=﹣（=﹣﹣+） ． ）]2015•（+）
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（2016•崇明县二模）计算：．
【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式
=+（）2﹣2+1﹣+
=3+3﹣2
=4﹣． +1﹣2+
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是解题的关键．
19．（2016春•天津期末）已知y=+﹣4，计算x ﹣y 2的值．
，解不等式组可得x 的值，【分析】根据二次根式有意义的条件可得：
进而可求出y 的值，然后代入x ﹣y 2求值即可．
【解答】解：由题意得：
解得：x=，
，
把x=代入
y=+﹣4，得y=﹣4，
当x=，y=﹣4时x ﹣y
2=﹣16=﹣14．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
20．（2016秋•新化县期末）已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化
简
．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a +b ＞c ，b +c ＞a ，b +a ＞c ，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．
【解答】解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，
∴a +b ＞c ，b +c ＞a ，b +a ＞c ，
∴原式=|a +b +c |﹣|b +c ﹣a |+|c ﹣b ﹣a |
=a+b +c ﹣（b +c ﹣a ）+（b +a ﹣c ）
=a+b +c ﹣b ﹣c +a +b +a ﹣c
=3a+b ﹣c ．
【点评】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉绝对值符号．
21．（2016春•长春期末）已知1＜x ＜5，化简：﹣|x ﹣5|．
【分析】直接利用x 的取值范围，进而去绝对值以及化简二次根式进而得出答案．
【解答】解：∵1＜x ＜5，
∴原式=|x ﹣1|﹣|x ﹣5|
=（x ﹣1）﹣（5﹣x ）
=2x﹣6．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
22．（2016秋•安陆市期末）观察下列等式： ①==；
②③
==
==
；
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：（2）计算：
+
+
+…+
=
．
，根据规律，可得
【分析】（1
）根据观察，可发现规律；
答案；
（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化． 【解答】解：（1）原式=（=
2+
=）
+
；
原
式
+…
+
=（﹣1）．
【点评】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键．
23．（2016春•固始县期末）观察下面的变形规律：
=
，
=
，
=
，
=
，…
解答下面的问题：
（1）若n 为正整数，请你猜想
（2）计算： （
+
+…+
）×（
）
【分析】（1）根据题意确定出一般性规律，写出即可； （2）原式分母有理化后，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）
=
﹣
；
故答案为：（2）原式=[（=（=（=2016﹣1 =2015．
﹣；
﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）]（
+1）
﹣1）+（
﹣1）（）2﹣12
+1）
【点评】此题考查了分母有理化，弄清题中分母有理化规律是解本题的关键．
24．（2016秋•贵港期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题：
===
=
﹣1
==
﹣﹣
；
（1）观察上面的等式，请直接写出（2）计算（（（
3
）+
请+利）（用
上
（n 为正整数）
）= 1 ； 面
的
规）（
律
及
解）．
法
计
算：
+…+
【分析】（1）利用分母有理化的方法解答； （2）根据平方差公式计算即可；
（3）利用阅读材料的结论和二次根式的加减混合运算法则计算． 【解答】解：（1）故答案为：（2）（故答案为：1； （3）（=（=（=2017﹣1
=；
）=（
）2﹣（
=﹣，
﹣）（
）2=1，
+﹣
++…+
+1）
+…+﹣
）（
）（）
）
﹣1+
﹣1）（
=2016．
【点评】本题考查的是分母有理化的应用，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
25．（2016春•博乐市期末）计算： （1）6﹣2（2）4
+
﹣
3﹣
+4．
【分析】（1）先进行二次根式的合并，然后进行二次根式的化简； （2）先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【解答】解：（1）原式=6﹣5=6
﹣
；
+
3
﹣2
+4
（2）原式=4=7
+2
．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
26．（2016春•大冶市期末）计算 （1）|（2）
﹣2|﹣﹣×
+2
+
．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简求出答案； （2）首先化简二次根式进而合并求出答案． 【解答】解：（1）原式=2﹣=
﹣2+2
；
﹣×5+
（2）原式==﹣1+ =﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质，正确化简二次
根式是解题关键．
27．（2016春•寿光市期末）计算
【分析】观察可知，先化简括号内的并合并，再相除计算． 【解答】解：原式=（10=（10=（40=30=15
﹣
6﹣
18÷．
．
﹣6+4）÷
）÷
+4）÷
+8
【点评】熟练化简二次根式，以及合并同类二次根式，实数的运算顺序与有理数相同．
28．（2016春•禹城市期末）计算 （1）9（2）（2
+
7
﹣
5
+2
﹣1）（
2+1）﹣（1﹣2
）2．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=9=
；
﹣12 +14
﹣20
+
（2）原式=12﹣1﹣1+4=4
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式、完全平方公式以及化二次根视为最简二次根式是解题的关键．
29．（2016秋•郓城县期末）计算下列各题． （1）（（2）
﹣
）×﹣
×+3
．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【解答】解：（1）原式==6﹣6=6﹣5
+；
+1﹣．
﹣+
（2）原式==2
+1﹣
2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
30．（2016春•澄城县期末）计算 （1）9（2）（
+
7
﹣
5
+2
﹣1）（+1）﹣（1﹣2
）2．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式求出答案； （2）直接利用乘法公式化简，进而求出答案． 【解答】解：（1）9=9=
+7
﹣5+2
+
14；
﹣20+
（2）（﹣1）（+1）﹣（1﹣2）
）2
=3﹣1﹣（1+12﹣4=2﹣13+4=﹣11+4
．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．