第2版：矩形，菱形，正方形的联系与区别
一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，理清它们的区别与联系是本节的重点，也是本章的难点。看下面的从属关系并完成列表，可以帮你理清它们的区别与联系。
（1）从属关系：
（2）列表比较
[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°，一条对角线与较短边的和为12cm，求对角线的长。
提示： 利用矩形的对角线的性质以及 ∠AOD是△AOB的一个外角，得到△AOB是等边三角形等知识。
分析与解：
∵四边形ABCD为矩形 ∴AC=BD AO=DO=OC=OB
∠BAD=90°（矩形的对角线互相平分且相等）
∵∠AOD=120° ∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边
三角形 ∴AB=OA=OB
∵AB+BD=12 ∴AB+OA+OB=12 ∴OA=OB=AB=4 ∴BD=AC=8（cm）
答：对角线长为8cm。
点拨： （1）找到BD与AB的关系是解决问题的关键
（2）在特殊四边形中，相关的计算问题可放到特殊三角形中。
[例2]已知：如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE∥BD，DE∥AC 求证：四边形AODE是菱形
提示：结合条件，要想证明四边形AODE是菱形，先证明四边
形AODE是平行四边形，再证明有两条线段相等。
分析与解：
证明：∵矩形ABCD中对角线AC、BD交于O
∴AC=BD 即AO=DO
又∵AE∥BD、DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形
∴四边形AODE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
点拨：
（1）菱形判定方法要牢记。
（2）特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。
[例3] 如图，P是对角线为4的正方形ABCD的边AD上的一点，且PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF= 。
_ C_ B提示：只要将△AOD分割成两个△AOP和△DOP，利用面积去做。
分析与解：因为四边形ABCD是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA⊥OD, 因为S△AOD=S△AOP+S△POD,所以×2×2=(AO×PE+DO×PF
2= ×2 ×
PE+ ×2×PF, 所以PE+PF=2
点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF转化成了线段OD的长了,所以PE+PF=2
思维总结：学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面：
（1）转化的思想：
在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角，相等的边，要关注边、角的等量关系的相互转化。
（2）多角度考虑的思想：
在这部分内容的证明题中，往往有许多独特的做法。要注意证明方法的多样性，比较证明的方法的异同，提高自己的逻辑思维水平。