我讨论数学概念的时候，谈到如何使一个模糊的直观概念鲜明起来或具有严整的形式，我提了这样一个问题：我们从一个模糊的直观概念出发，那么怎样才能找到一个比较鲜明的概念来忠实地对应于它? (MP：81)哥德尔反对这种表述，他说这里的任务是去更加清晰地看到或理解一个概念。此外，他建议用鲜明一词代替比较鲜明，因为他显然想要一个固定的目标，在其中没有程度问题。
后来，我在《数学到哲学》一书中，以不到两页的篇幅，用哥德尔自己的话总结了他散布各处的想法，其内容是论述我们知觉或理解概念的能力。为了理解他的思路，我在本节开始之处先讨论这个总结的部分内容。
首先，存在着概念，我们能够知觉它们，就像我们能够知觉物理客体一样。
7．3．1 如果我们从一个模糊的直观概念出发，那么怎样才能找到一个鲜明的概念来忠实地对应于它?答案是，鲜明的概念本来就在那儿，只是我们起初没有清楚地知觉到它。这就好比我们知觉一个动物，起先在远处，后来又来到近处。在图灵之前，我们没有知觉到机械过程的鲜明概念，图灵给我们一个正确的视角。然后我们的确清晰地知觉到那个鲜明的概念。
7．3．2 在感性知觉和对概念的知觉之间，相同之处多于不同之处。事实上，知觉物理客体比知觉概念更不直接。对于逻辑等价的不同概念的知觉，就好比从不同的角度感知感性客体。
7．3．3 如果一开始就没有鲜明的东西，那么很难理解在许多情形中一个模糊的概念如何可能唯一地决定一个鲜明的概念，而且没有半点儿选择的余地。
7．3．4 “尝试更加清晰地看到(即理解)一个概念”是一个正确的表达方式，表述了被模糊地描述为“考察一个词的意义”的现象。
在这个关节点上，哥德尔提出了一种猜想，就是存在某种特别的物理器官，使我们实际上能够处理抽象印象：
7．3．5 我猜想，要使处理抽象印象(与感官印象相反) 成为可能，某种物理器官是必要的，因为我们在处理抽象印象方面有弱点，而这又通过把它们与感官印象相比较或在感官印象的场合来看待它们得到克服。这样一种感性器官一定与负责语言的神经中枢密切相关。但我们现在所知实在不多，目前阶段关于这个问题的初级理论恐怕可比之于德谟克里特表述的原子论。
哥德尔所以对数学中的客观主义抱有浓厚的兴趣，对我们在许多场合清晰知觉概念能力津津乐道，一个重要理由我看就是他如下这个外推的信念，或不受限制的概括：我们在哲学中，就像在数学和物理学中一样，可以清晰地看到基本概念。不然的话，就很难理解他为什么在这里的语境中加入了如下非同寻常的劝荐和预言：
7．3．6 哲学作为一种精确的理论，应当对形而上学做一番恰如牛顿对物理学所做的事业。我认为，极有可能在下一个百年之内，甚至在更短的时间里，这样一种哲学理论就会发展出来。
哥德尔举出两种情形，作为我们能够清晰知觉概念的例子，并且在描述它们的时候，把概念的定义与关于概念的公理联系起来：
7．3．7 在适用概念的情况下，速度的直观观念所意味的精确概念很清楚是ds／dt，像是一块地的“大小”(与“形状”相对)意味的精确概念很清楚等价于皮亚诺(Peano)测度。在这些情形里，那些解再一次毫无疑问是唯一的，这是由于在这里只有它们才满足特定的公理。仔细点审视的话，我们发现那些公理无可否认蕴涵在我们已有的概念之中。比如，全等的图形有相同的面积，部分的大小不超过全体，等等。
哥德尔显然相信，对许多重要的基本概念来说，我们能够清晰地看到蕴涵在我们关于它们的直观观念中的公理。一个自然的问题是，怎样处理有歧义的概念?我们知道，这包括了大多数基本的哲学概念。哥德尔似乎提示，只有在一个直观概念中混合了两个或多个严格的概念，我们才有模棱两可的概念。——然而，我们的经验说明，很多核心概念的歧义性不能用这种方法解决。——无论如何，哥德尔澄清了两个有歧义的概念：连续性和点。虽然我并不认为这两个例子是支持他7．3．6的强断定的有用的证据，但它们有本身的价值：
7．3．8 在一些情况下，我们往一个直观概念里混合了两个或多个严格的概念，然后就似乎得到了矛盾的结果。一个例子是连续性概念。我们原初的直觉包含摇摆于光滑曲线和连续运动之间的歧义。我们在原初的直觉里并不厚此非彼。在连续运动的意义上，一条曲线保持连续，只要它在每个不管多么小的时间区间内都包含振动，而且时间区间趋于0时，振幅也趋于0。但这样一条曲线不再是光滑的。光滑曲线的概念通过可微的严格概念看得明明白白。我们发现充满空间的连续曲线的例子不好理解，因为我们直观上觉得一条连续曲线，在光滑的意义上，不能够充满那空间。当我们认识到这直观概念混合了两个不同的鲜明概念时，矛盾就消失了。这里跟感性知觉的类比也很明显。我们不能区别远处两颗邻近的星，但借助望远镜我们可以看到那里的确有两颗星。
7·3·9 同样思路上的另一个例子，是我们关于点的直观概念。在集合论中，我们认为线是它上面的点的集合，在这个意义上，我们说点是连续统的部分(这称为“集合论概念”)。在空间直觉中，我们把空间想象成一种细微的质料，每个点都没有重量，而且不是质料的一部分(只是部分之间的界限)。注意，不可能在同一个点或面P上用两种方式切割一条有形的线段或杆子，一次让P在左边，一次让P在右边，因为在这两个完全对称的部分之间，没有任何东西。按照这种直观概念，即使集中了所有那些点，我们仍然得不到那条线，那些点只是形成了线的某种骨架。我们可以很容易地把区间设想为线的部分，赋予它们长度，也可通过结合区间，赋予可测集长度，这里我们须得考虑两个可测集，区别仅在零测度集上，它们表示连续统的同一个部分。但是，当我们用集合论概念试着给线上的任意点集赋予长度时，我们就脱离了那直观的概念。这也解决了如下的悖论：人们可以用集合论的方法把一个球分成有穷多的部分，然后再把它们拼起来，正好形成一个较小的球。参照刚才所说的，这只是意味着人们可以把点所组成的骨架分成若干部分，然后把那些部分移动拼合在一起，使得它们全部处于一个较小的空间里，相互间没有重合的地方。这个结果仅对集合论概念成立，而且仅对直观概念而言是反直观的。
通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）
上面9段话，引自发表于《从数学到哲学》中的哥德尔本人的文字(MP：84--86)，但适当做了分段。在我们的谈话里，哥德尔讲了一些相关的想法，不时对他的书面表述做一点增补。
在7．3．1的地方，他说：
7．3．10 我赞成柏拉图主义观点。如果起先并没有精确的东西，说我们由某种原因达到了精确的概念就是不理智的。不如说，我们从对于概念的模糊的知觉出发，就像我们从远处看一个动物或者在使用望远镜之前把两颗星看成一个。比如，我们本来在心中有机械过程的精确概念，但在了解图灵的工作之前没有清楚地感知到它。
7．3．11 自我可能失去理性，就像它可能失去感性知觉。感性知觉也不是直接的。在数学中有客观的东西。【说了一些类似于7．3．2的话之后，哥德尔补充道：】柏拉图主义观点有助于理解事物：这个事实说明了证实一种哲学理论的可能性。
说起他的知觉概念的用语，哥德尔讲道：
7．3．12 集合是客体，但概念不是。我们知觉客体，理解概念。理解是别一种类的知觉：它是向最后的原因进行归结的一个步骤。
哥德尔做了几个与7．3．5有关的评注：
7．3．13 对概念的知觉可能是某种内部器官所为，也可能只是一种内在知觉——我们自己的经验——而不使用特殊的器官。我猜想某种物理器官对此来说是必要的。
7．3．14 我相信在概念的知觉中有一种因果联系。但目前这种理论就像德谟克里特时代的原子论。努斯(nous)在亚里士多德那里已经是个因果的事态：主动的理智作用于被动的理智。[比较6．1．22]我相信，主动的理智居于某种物理器官之中。它甚至可能有形象。——我小心翼翼，只公布我的哲学中不太有争议的部分。
7．3．15 要使处理抽象印象成为可能，某种物理器官是必需的。除非在与感性印象的比较中，或是在感性印象的场合中，没有人能够有效地处理抽象印象。这种感性器官一定与负责语言的中枢密切相关。
在我的书的手稿中，我声称：“从历史上看，只有在关键的概念——象连续性、面积、尺规构造、定理、集合，等等——形成之后，许多有趣的问题才得到回答，或至少被澄清。比如，有些连续的函数没有导数。”（MP：82)哥德尔评论这段话时，表达了与7．3．7和7．3．8相似的一些想法。
7．3．16 ds／dt毫无疑问是澄清速度概念的唯一方法。这种唯一的决定是令人惊异的。这是对理性主义的另一种证实。关于面积概念，勒贝格(Lebegue)的分析在此分析和此概念都有应用的情形里无疑是正确的：只有它们满足我们需要的公理，例如，真子集必须有较小的面积，全等的面有相同的面积。
7．3．17 相反，连续性不能以唯一的方式精确化，因为它包含了在普通知觉中未作区分的两个不同的概念——就像不用望远镜而把两颗星看成一颗。这里涉及的是歧义，不是不可避免的模糊性。我们在原初的直觉中，对于连续运动和光滑曲线并不厚此非彼。一个连续运动保持连续——但不再光滑——如果它在其最小的部分包含无穷的振动。一条光滑的曲线必须是可微的，而且不再能添满空间。
7．3．9中的想法大概是对我如下说法的回应：“在直观概称用起来不够充分的地方，形式化概念的固定性引导我们达到确定的结果。例如，只有在引入曲线的严格定义之后，一条添满空间的曲线的存在性才能确定下来。”(MP：81--82)
哥德尔与7．3．9有关的其他评论是：
7．3．18 存在对空间的分解，这意味着：人们可以把界限组成的骨架分成若干部分，然后再把这些部分移动拼合，使它们添满一个较小的或较大的空间。
7．3．19 在空间直觉中，点不是连续统的部分，而是两个部分之间的界限。如果我们把空间设想为细微的质料，那么点的重量为零，且不是这质料的部分。按照这种概念，所有的点加在一起并不组成线，只是构成一个骨架(Gerusst)或者视点的聚合。所以，人们可以移动反转它们是不足为奇的。当我们转向点的数学或集合论概念，或观察连续统的部分并且对每个部分赋予长度时，我们就从区间出发达到了可测集。我们开始把连续统看成诸部分的系统，或没有不可分元素的布尔代数。我们把连续统不设想为由点所组成，而设想为某些可测集的并，使得两个差一个零测度集的集合被看成等价的。所以，毫不奇怪，我们可以把骨架分成合适的部分，适当移动拼合它们，让它们充满一个较小的或较大的空间。在这个过程中，我们不再遵循把点作为界限的直观概念，而是把界限的和作为连续统的部分。
哥德尔最喜欢的另一个关于我们感知概念的能力的例子，是图灵对机械过程概念的分析，这我在第6章讨论过了。哥德尔也谈到对概念的分析，来代替对概念的知觉，而分析概念对他而言是哲学的中心任务。在这方面，他区别了科学和哲学，并且预先看到两者最终要收敛到一起：
7．3．20 对概念的分析是哲学的核心。科学只结合概念，不分析概念，它刺激了真正的分析，因此对分析概念有所贡献。爱因斯坦的理论本身不是对概念的分析(它不深入到最后的分析)，它的形而上学(连带它的四维框架)处理给予科学的那些观察。物理理论或快或慢地改变；它们刺激了探索，但不是正确的形而上学。严格推理、正整数和实数都出现在形而上学之中。(不太肯定拓扑学是否如此)比如，自然客体差别有大有小，度量空间探讨它们有多大差别。抽象结构自然被选定。分析要到达思维基于其上的东西：天赋的直觉。
7．3．21 认识论的问题是将我们思维的初始概念调教端正，比如，即使集合概念清楚了，即使令人满意的无穷性公理发现了，也还有从公理判定连续统假说的更多的技术(即数学)问题。这是因为今日的认识论与科学(特别是数学）相隔遥远。情形不一定必然如此延续。莱布尼茨意义上的真正的科学会克服这种隔离。换句话说，可能有另一种方式来分析概念(例如黑格尔的)，让真正的分析引致问题的解决。
7．3．22 目前我们只拥有对概念的主观分析。此种分析不导致科学问题的判定，这个事实反驳了概念和数学的主观主义观点。
7．3．23 见9．4．15。
9．4．15 按照莱布尼茨的想法，科学只“结合”概念，它不“分析”概念。比如，从莱布尼茨的观点看，爱因斯坦的相对论本身不是对概念的分析，但它刺激了真正的分析。它处理观察，不深入最后的分析，因为它预设了某种形而上学，这有别于莱布尼茨科学的“真形而上学”，而真正的分析则努力寸照正确的形而上学。
（作者：王浩哥德尔 来源：哲学园）
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