不等式恒成立问题的几种求解策略

不等式恒成立问题的几种求解策略（学生用）

不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。

一、数形结合思想

【例1】已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.

(1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明：a≤2；

(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2; （3）当0

二、分离参数，最值转换

【例2】已知向量=(x，x+1)，= (1-x，t)。若函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

22

【例3】使不等式sinxacosxa1cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______

2

【例4】设a0为常数，且an=3-2an-1(n∈N). (1)证明：对任意n≥1,an

n-1*

1n

[3(1)n12n](1)n2na0; 5

(2)假设对任意 n≥1有an>an1,求a0的取值范围.

三、取特殊值

xx

【例5】已知函数f(x)=e-e, f(x) ≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.

四、变元转换求解

2

【例6】对|m|≤2的一切实数m，求使不等式2x-1>m(x-1)都成立的x的取值范围。

1x2x3x(n1)xnxa

1. 设f(x)lg，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n2，如

n

果f(x)当x(，1]时有意义，求a的取值范围。

2. 设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。

4(a1)2a(a1)2

2xlog2log20恒成立，求a的取值范3. 对于所有实数x，不等式xlog2

2

aa14a

2

围。

不等式恒成立问题的几种求解策略（老师用）

不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。

一、数形结合思想

【例1】已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.

(1)当b>0时，若对任意x∈R,都有f(x)≤1,证明：a≤2；

(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2; （3）当0

22

证明:（1）由已知ax-bx≤1,得bx-ax+1≥0.

要使bx-ax+1≥0对任意x∈R恒成立，可知，只需△=a-4b≤0,∴a

2

2

a2a2

),x[0,1].可知|f(x)|≤1的充要条件是 (2)|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1.f(x)b(x2b4b

a2b1,

a2b,aa2a2b,1,

1,或即(I)a2b,或(II)2b

ab1.4bab1;f(1)1.f(1)1;



当b>1时，2b>b+1，（II）无解。又由b>1，有b>,2b>2,∴由(1)得b-1≤a≤2 ∴|f(x)|≤1b-1≤a≤2√b

(3)因为a>0,0

∴当a>0,0

【评注】此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。

二、分离参数，最值转换 【例2】已知向量=(x，x+1)，= (1-x，t)。若函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。

2322

【解析】依定义f(x)x(1x)t(x1)xxtxt。则f(x)3x2xt，

2

2

若f(x)在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设f(x)0恒成立。 ∴f(x)0t3x2x在（-1，1）上恒成立。

2

1

，开口向上的抛物线， 3

2

故要使t3x2x在（-1，1）上恒成立tg(1)，即t5。

而当t5时，f(x)在（-1，1）上满足f(x)>0，即f(x)在（-1，1）上是增函数。 故t的取值范围是t5.

22

【例3】使不等式sinxacosxa1cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是_______

22

解 原不等式可化为cosx(1a)cosxa.①

a12

. 设t=cosx，则t∈[-1,1],二次函数g(t)=t+(1-a)t图象的对称轴为t2

a11

,结合抛物线图象知g(t)maxg(1)2a. ∵a

22

要使②式对一切x∈R恒成立，只需g(x)maxa(a0),即2-a≤a, ∴a≤-2.

考虑函数g(x)3x22x，由于g(x)的图象是对称轴为x

【例4】设a0为常数，且an=3-2an-1(n∈N). (1)证明：对任意n≥1,an

n-1*

1n

[3(1)n12n](1)n2na0; 5

(2)假设对任意 n≥1有an>an1,求a0的取值范围. 解(1)略

23n1(1)n132n1

(1)n2n13a0,anan1anan10 (2)由(1)知anan1

53n2n1*

而anan10,即(1)(5a01)()(nN). ①

2

13132k3

,即a0()2k3. ② 1．当n=2k-1时，①式为5a01()2525

132k311

(kN*),要使②式对一切k∈N*都成立，只需a0f(k)minf(1). 令f(k)()

5253

32k2131

,即a0()2k2. ③ 2. 当n=2k时，①式为5a01()2525

132k21

(kN*),要使③式对一切k∈N*都成立，只需a0f(k)maxf(1)0. 令f(k)()

525

11*

综上，①式对任意n∈N都成立，有0a0,即a0的取值范围(0,).

33

【评注】（1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，

利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数a从主元x中分离出来；例3把参数a0从主元n中分离出来。

（2）此题运用了结论：f(x)a恒成立f(x)mina.

三、取特殊值

xx

【例5】已知函数f(x)=e-e, f(x) ≥ax对x≥0恒成立,求a的取值范围.

'xx

解:令g(x)=f(x)-ax g(x)= e+e-a

'xx

(1)若a≤2则x≥0时g(x)= e+e-a>2-a≥0 ∴g(x)在x≥0时为增函数, ∴g(x)≥g(0)=0 即f(x) ≥ax

aa24

(2)若a>2∵方程g(x)=0的正根为ln

2

'

此时,若x∈(0,x1)则g(x)

∴ x∈(0,x1)时g(x)

【评注】 取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好办法。 四、变元转换求解

2

【例6】对|m|≤2的一切实数m，求使不等式2x-1>m(x-1)都成立的x的取值范围。

22

解 原不等式等价于不等式(x-1)m -(2x-1)

2

（1）当x-1=0时，x=±1.当x=1时，f(m)

'

f(2)0,

（2）当x-1≠0时，由一次函数单调性知f(m)0

f(2)0.

171,). 综上，所求的x(22

2

即

171x. 22

【评注】本题的关键是变元，构造m的一次函数或常函数，利用一次函数单调性顺利求解，从而避免了解

2

关于x的不等式mx-2x+1

1x2x3x(n1)xnxa

1. 设f(x)lg，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且n2，如

n

果f(x)当x(，1]时有意义，求a的取值范围。

解：本题即为对于x(，1]，有1x2x(n1)xnxa0恒成立。

这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得

12n1x

a[()x()x()](n2)，对于x(，1]恒成立。

nnn

1x2xn1x

)]，构造函数g(x)[()()(则问题转化为求函数g(x)在x(，1]上的值域。

nnnkx

由于函数u(x)()(k1，2，，n1)在x(，1]上是单调增函数，

n

1

则g(x)在(，1]上为单调增函数。于是有g(x)的最大值为：g(1)(n1)，

2

1

从而可得a(n1)。

2

2. 设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成

立，求实数a的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx2a对于任意x[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

2

解：f(x)是增函数f(1axx)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立

2

1axx22a对于任意x[0,1]恒成立

x2ax1a0对于任意x[0,1]恒成立，令g(x)x2ax1a，x[0,1]，所以原问题

g(x)min0，又g(x)min

易求得a1。

1a,a0g(0),a0

2aa

g(),2a0即g(x)mina1,2a0

24

2,a22,a2

4(a1)2a(a1)2

2xlog2log20恒成立，求a的取值范3. 对于所有实数x，不等式xlog2

2

aa14a

2

围。

解：因为log2

2a2a

的值随着参数a的变化而变化，若设tlog2， a1a1

2

则上述问题实质是“当t为何值时，不等式(3t)x2tx2t0恒成立”。

这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于

3t02a

log0， 求解关于t的不等式组：。 解得，即有t022

a1(2t)8t(3t)0

易得0a1。