第一讲 二次根式的概念及有意义的条件
一、二次根式的概念
a ≥0) 的式子叫做二次根式。a 被称为被开方数（式），
笔记：
例1：判断下列式子哪些是二次根式。
1
变式训练：
1、下列各式中是二次根式的是。
1
○2-
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2m 、n 应满足的条件是 二、二次根式有意义的条件 笔记：
例2：当x 为何值时，下列各式有意义？ （
1
(2)
变式训练：
3
(3)
x 的取值范围是 。
P(a , b ) 所在象限为。 5, 求x 2-2xy +y 2的值。
4
5、已知实数x 、
y
满足等式：y =
当堂检测 1
有意义的x 的取值范围是（ ） A. x ≥0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2
m 的值为 3、下列各式中不一定是二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4
、y =x 的取值范围为。
5
x 的值为。 6
=y +4, 求x y 的平方根。
学习心得：
第二讲
2
2=a
例1：（1
（2
变式：已知实数x 、y
|2x -3y -5|=0,
例2：（1
）计算：
（3）在实数范围内分解因式：x 4-4
x -+2
2
=0, 求x 、y 的值。
2x+3y-1的值。
2
-(-2 (2)
若2=2-x , 求x 。
变式：在实数范围内分解因式：4x 4-25
例3：在∆ABC 中，a,b,c
2|c -a -b |
变式1
2、化简求值：2a -其中a = 当堂检测
1
2、在实数范围内分解因式：2x 2-4
学习心得：
a
b
小试牛刀
一、选择题（每题5分，共35分） 1有意义的x 的取值范围是（ ） A. x ≥
0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示，且
） A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b
3、若实数a,b 满足|a +1|=0, 则(A.0 B.1 C.-1
D. ±1 4、使式子
x 的取值范围是【 】
A ．x≥－1 B ．－1≤x≤2 C ．x≤2 D ．－1＜x ＜2
5、已知实数x ，y 满足x -4，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】 A ．20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对
6、下列各式正确的是（ ）
A. （－2）2＝2 B . （－2）＝－4 C. （－2）＝2 D. （－x ）＝－x 7、如果a 是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（
）
A 、a B
、2-a C 、-a 2
D 、二、填空题（每题5分，共30分）
8
有意义的x 的取值范围是 ． 9|x﹣y ﹣3|互为相反数，则x+y= 10、当x=﹣4 ． 11、1a
2
1
有意义，则m 的取值范围是 m +1
2
12、若a -2(c -4)=0，则a -b +c =
13、若1＜x ＜4, 则化简 =
三、解答题（40分）
14、在实数范围内分解因式：（1）2x 2-4 （2） 2 2 （20分） x -
15
、计算：2-
学习心得：
（15分）
第三讲 二次根式的乘除
=
)
例1：计算：（1
）(-
(2)
变式：计算：（1
例2
：将a
变式：把(1-x a>b>0）
(3) (- （2
）
。
= )
例3、计算（1
变式：计算：（1
（2
）(- （2
）
第四讲 最简二次根式
一、判断二次根式是否为最简二次根式的三条黄金法则：
二、两个公式
= )
=( ) 例1 化简：（1
（2
（3
变式：化简：（1
（2
(3)
例2：化简：（1
提升一下：计算：（1
再提升一下：先化简再求值：
x ≥0, y ≥0)
（2
（3
（4
(-
(2) 1+x 2x
÷(x -) ,
其中，x =. 1-x 1-x
最简二次根式巩固练习
一、填空题：
1．把下列二次根式化成最简二次根式．
（1）＝________；（2）27＝________；（3）＝________；（4）2________；
（5＝________；（6250＝________；（724＝________；（8＝________； （9）＝________； （10）4. 5＝________．
1
81＝4
2．设x ＜0，则
-8
＝_________． x
3．下列二次根式45a 2 二、选择题
12
40b 54中的最简二次根式有________． 2
1．在二次根式，5a ，，，
3
x
中，最简二次根式的个数是（ ）． 2
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列各式中是最简二次根式的是（ ）． A ．4 B ．
1
C ．a D ． 2
3．下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）．
A ． B ．x +x C ．x +1 D ． 4．下列计算中正确的是（ ）． A ．
2
13-42
== B ．6-93
12
= 2 C ．+=22+32 D ．
5．如果|x -2|+y -9=0，则y (x +1) ＝（ ）．
A ．33 B ．±3 C ．-33 D ．32 6．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A ．
a +122
B ．a +1 C ．4ab D ．a b 2
7．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）． A ．
m 32
B ．8m C ．2m D ．m +16 2
8．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）．
233
A ．. 5x B ．2xy C ．x -y D ．x +9y
三、 下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由． 1． 2．x +9 3．
2
38
4．45a 8
5．2
1222
6．4ab 7．(a +b ) 8． 2
四、把下列各式化成最简二次根式． 1．
6．. 48 7．a b 8．
五、求下列各式的值：
22
1．x -2xy +y （其中x =4-2，y =4+2）
7
2．2
3
3 3．211
228 4．8
3
5．-362 83
2
1
+1 2
-b +b 2-4ac 2．（其中a ＝4，b ＝16，c ＝9）
2a
学习心得：
第五讲 二次根式的加减
同类二次根式：
根式的加减实际上是合并同类二次根式的过程。
例1 计算：（1
）
变式：计算：
练习：计算：（1
）
2
(3) (
(4) (4+-
- （2
）(1
62m 2÷
(2) -1) 2
学习心得：
第六讲 勾股定理
一、勾股定理的证明
二、勾股定理及其应用 定理：
几何语言：
例1 在Rt ∆ABC 中，∠C=90o 。（1）已知a=b=6，求c. (2)已知c=3,b=2,求a 。
（3）已知a:b=2:1，c=5，求a,b.
例2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边的长。
例3：如图，在∆ABC 中，AB=AC,∠C=30o ，DA ⊥AB 于点A ，若BC 等于6cm ，求AB 。
A
B
D
C
变式：1、若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ） A.5 B.2.4 C.3.6 D. 以上答案都不对 2、填空：（1）在Rt ∆ABC 中，∠C=90o ,a=5,b=12,则。 （2）在Rt ∆ABC 中，∠B=90o , a=5,b=12,则。
（3）在Rt ∆ABC 中，∠C=90o , ∠A=45o ，则BC:AC:AB= . （4）在Rt ∆ABC 中，∠C=90o , ∠A=30o ，则BC:AC:AB= .
例4有两棵树，一棵高10米，一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟飞行的最短距离。
D
变式：3、如图四边形ABCD ，求AD 长。
A
B
C
A
4、如图，在∆ABC 中，∠A=60o ，AB=15 cm,AC=24 cm,求BC 的长。 B
5
6、如图，正方形A,B,C 的面积有着怎么样的关系？能说说理由吗？
7、如图，Rt ∆ABC 中，∠C=90o ，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC=6,BC=8,CD=3.
A (1)求DE 长。（2）求∆ADB 的面积。
E
B C D
C
二次根式的加减巩固练习
计算：
2-+
11+，12+18－832 25
40－5
25a 2
2a 2a －8a +6
3
1
10+10 ， 1x x +4y －2y 1
y 27–4520+75
21， 712－348， 218–50+45， a 3
a －a b ＋54a －2b
(48+20) +(-) , x
a b ，12
27318–43111
-(-) 2327
21x 1x 1
-6x ) +4y -+y , x 9x -(x 2
3x 4x 2y
学习心得：
第七讲 勾股定理的逆定理
知识点：勾股定理： 逆定理： 几何语言：
勾股数：
常见的勾股数： 引申出来的概念 命题： 逆命题： 定理： 逆定理：
典题训练：
1、判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题，判断逆命题的真假。 （1）等腰三角形是轴对称图形。 （2）两直线平行，同位角相等。
（3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零。 （4）如果AB>0,那么a>0,b>0。
2．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）.
A ．12，15，17 B．9，16，25 C．5a ，12a ，13a （a>0） D．2，3，4
3．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为______________
A 56 B 48 C 40 D 321
4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB ＝8，BC ＝15，CA ＝17，则下列结论不正确的是（ ）.
A ．△ABC 是直角三角形，且AC 为斜边 B．△ABC 是直角三角形，且∠ABC ＝90° C ．△ABC 的面积是60 D．△ABC 是直角三角形，且∠A ＝60°
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. 则满足下列条件但不是直角三角形的是（ ）.
A ．∠A ＝∠B －∠C B．∠A ：∠B ：∠C ＝1：1：2
222
C ．a ：b ：c ＝4：5：6 D．a －c ＝b
6．写出一组全是偶数的勾股数是 .
7．若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ，16cm ，20cm ，则这块三角形铁皮余料的面积为
2
cm.
8．如图1，一根电线杆高8m. 为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线. 拉线工人发现所用线长为10.2m （不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）.
9．一透明的玻璃杯，从内部测得底部半径为6cm ，杯深16cm. 今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中，露在杯口外的长度为2cm .
10．若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是 . 11、已知x -6+y -8+(z -10) =0 ,则由此x , y , z 为三边的三角形是 三角形. 12、欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，梯子至少需要 米.
22
在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. a ＝n －16，b ＝8n ，c ＝n +16（n>4）. 求证: ∠C=90°.
13．如图3，AD=7，AB ＝25，BC ＝10，DC ＝26，DB ＝24，求四边形ABCD 的面积. A D
B C
图13 14．如图4，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.
(1)求DC 的长.
C
(2)求AB 的长.
(3)求证: △ABC 是直角三角形.
A D B
图14
15. 已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC 的长．
2
16. 已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB ⊥AD ，求证：BC ⊥BD ．
第8讲 勾股定理巩固与提升
复习：
（1）勾股定理的内容： （2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边；
②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的数量关系，用方程.
例1、已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°,CD=
, 求线段AB 的长.
变式训练： △ABC
中,AB=10,AC=17，BC 边上的高线AD=8,求线段BC 的长和△ABC 的面积.
2. 有一块菜地, 形状如下, 试求它的面积.
例2、在△ABC 中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC 的长.
变式1、在△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm，AB=6cm，求AC 的长.
已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边长为 .
直角三角形中，斜边与一直角边相差8，另一直角边为12，求斜边的长.
1．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的5倍，则斜边扩大为原来的 （ ） A.2倍; B. 5倍; C. 2.5倍; D. 3倍;
2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多１m ,当他把绳子的下端拉开５m 后发现下端刚好接触到地面, 则旗杆的高为 （ ） Ａ ８m B 10m Ｃ 12m Ｄ 14m ．
3. 有一个圆桶，底面直径为24cm, 高为32cm, 则桶内能容下的最长的木棒为（ ） A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm
已知：如图，△ABC 中,AC=4,∠A=45°，∠B=60°，求AB.
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
拓展：有一个圆柱, 它的高等于12厘米, 底面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的A 点有一只
蚂蚁, 它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
第9讲 平行四边形的性质
一、平行四边形的定义：
几何语言：
二、平行四边形的性质： 1、边： 2、角： 3、线： 4、面积：
三、平行线间的距离：
基础训练：
1、平行四边形具有，而一般四边形不一定具有的性质是
A 内角和等于360° B 外角和是360° C 不稳定性 D 对角线互相平分
2、在□ABCD 中，∠A: ∠B: ∠C: ∠D 的值可以是（ ） N A 1:2:3:4 B 1:2:2:1 C 1:1:2:2 D 2:1:2:1 3、在□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C 的度数是
C A 60° B 80° C 100° D 120°
4、如图，在△MBN 中，BM =6，点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上，
M 四边 形ABCD 为平行四边形，∠NDC =∠MDA , □ABCD 的周长是（ ） A
第4题 A 24 B 18 C 16 D 12
5、如图，在□ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为 D A A 3 B 4 C 12 D 24
6、下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组 成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形
C
B 一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形， 第5题
……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )
……
C
B
第7题
图① 图② 图③ 图④
12A A ．55 B ．42 C．41 D ．29
7、如图，□ABCD 中，在CA ⊥AB ，∠B =60°，则∠CAD 138、如图，四边形ABCD 是平行四边形，BD ⊥AD ，则OB 的长
B
为 第8题 9、已知□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O ，△AOB 的面积为2， 那么□ABCD 的面积为
E A
F
D
10、如图，在□ABCD 中，AB =4cm，AD =7cm，∠ABC 的平分线BF 交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = cm. 11、如图，D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点，DE ∥AC ， 第10题
DF ∥AB .
A
求证：DE+DF=AB E
F
B C D 第11题 12、如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 上的点，且BE=DF.求证：AE=CF
F A D
B E C
第12题
A 13、已知，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，
EF ∥AC 交BC 于F ，求证：BE=FC
D E
C B F
第13题
14、如图，在□ABCD 中，M 、N 分别是OA 、OC 的中点.
D 求证：（1）BM=DN （2） BM ∥DN C
N
A B
第14题
第10讲 平行四边形的判定
一、平行四边形的判定定理： 边：1、 2、 3、 角： 线：
二、三角形的中位线定理：
几何语言：
达标练习：
1．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD 是不是平行四边形．
4. 如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.
5．已知如图19-1-55所示，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点. 求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF 是平行四边形．
2、如图所示，已知□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行四边形。D E C
3. 如图，平行四边形ABCD 中，AF ＝CH ，DE ＝BG 。
求证：EG 和HF 互相平分。
D E
G
A
F
图20.1.3-1
B H
C
12
34
A F 图3
B
6. 如图所示，在四边形ABCD 中，M 是BC 中点，AM
、
BD 互相平分于点O ，那么请说明
AM=DC 且AM ∥DC
21
用心，才能铸就成功！加油，来补习数学的同学！我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母
的期望！
7. 如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC的平分线交CD 于点E,∠ADC的平分线交AB 于点F. 试证明四边形DFBE 为平行四边形.
.
8. 如图， 已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE 是平行四边形
9. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F ，那么
.
10．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，•则四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
11．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF的面积．
12．如图所示，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，
B 外选一点C ，连接AC 和BC ，•并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得
MN=20m
，
那
么A ，B 两点间的距离是多少？
C
22
用心，才能铸就成功！加油，来补习数学的同学！我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母
的期望！
第11讲 矩形的性质及判定
一、矩形的性质： 边： 角： 线：
二、矩形的判定： 边： 角： 线：
三、直角三角形斜边上的中线：
达标练习：
1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________. 2. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.
3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12， 则斜边上的中线等于 .
4. 如图，E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点，
DE ⊥AC 于E ，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.
5. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm. 6. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________.
7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等 8. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）
A ．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等 9. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A ．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C ．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分
10. 如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，M 、N 分别是AC 、BD•的中点，那么MN ⊥BD 成立吗？试说明理由．
11. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 重叠，求图中阴影部分的面积.
A
C D
2
23
B
的期望！
12. 如图，已知在四边形ABCD 中，AC ⊥DB 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．
13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，
A
F
B E
O
H
C
求证：四边形PQMN 是矩形．
★14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE =AC ，F 是AE 中点． 求证：BF ⊥DF ．
B
A
N
C
D
A
D
F
E B
C
★15. 如图，矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，AF 平分∠BAD 交EC 于F ， 求证：CF =BD ．
A
D
B
C
F
24
用心，才能铸就成功！加油，来补习数学的同学！我不会辜负你的信任，也请你不要辜负了我还有你父母
的期望！