定积分应用习题

第六章 定积分的应用

习题课补充习题(供参考)

1.求曲线yx22x,y0,x1,x3所围成的平面图形的面积S，并 求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.(答：S2,Vy9）

2.求心形线r1cos所围图形与圆盘rcos的公共部分的面积. (答：A7). 12

3.求由ysinx(0x)和x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转 体的体积.(答：V22)

4.设直线yaxb与直线x0,x1及y0所围梯形面积等于A，试求 a,b使这个梯形绕x轴旋转所得体积最小.(答：a0,bA.)

5.试证曲线ysinx(0x2)的弧长等于椭圆x22y22的周长.

6.设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内有f(x)0,证明：在(a,b)内存 是曲线yf(x)与两直线yf(),xb所围平面图形面积s2的3倍. 提示：先在(a,b)内任取一点t,令 在唯一的，使曲线yf(x)与两直线yf(),xa所围平面图形的面积s1

s1[f(t)f(x)]dx,s2[f(x)f(t)]dx, attb

F(t)[f(t)f(x)]dx3[f(x)f(t)]dx, attb

问题变为：证明存在唯一的(a,b),使F()0.

7.求如图所示立体的体积，此立体的底是介于yx21和y0之间的平

4面区域，而它垂直于x轴的任一截面是一个等边三角形.(答：V3) 15

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8.设有直圆台形容器，两个底圆半径分别为R与R2，高为3R,里 33

面盛满了水，现将一铁球放入容器内，问球的半径r为多大时，溢出的水最多？

提示：由于溢出的水的体积等于放入容器内的球体体积，所以只须求后 者，先求出后者用r的表示式V(x),再求V(x)的最值.

3R2r22V(r)(ry)dy,所求rR.r2

9.设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为a、b的半椭圆，短轴为 其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c处，试求观察窗所受的水压力.

1(答：P2gab(ca).) 43

10.一开口容器的侧面和底面分别由曲线弧yx21(1x2)和直线段 y0(0x1)绕y轴旋转而成，坐标轴长度单位为m,现以2m3/min的速 度向容器内注水，试求当水面高度达到容器一半时，水面上升的速度.提示：这是利用定积分求相关变化率的问题.

4答：所求速度为m/min.5

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